Boundary value problem for mixed-compound equation with fractional derivative, functional delay and advance

Abstract

Full Text

Введение. Функционально-дифференциальные уравнения в частных производных [1, 2] и функционально-дифференциальные уравнения смешанного типа [3, 4] служат математическими моделями для многих прикладных задач [5]. Целью настоящей работы является исследование краевой задачи Трикоми для смешанно-составного уравнения, содержащего дробную производную, кратные функциональные запаздывания и опережения: L (, ) L(() (1 (), ) + () (1 (), )+ =1 + () (2 (), ) = 0, (1) =1 где L 2 2 + H() 2 H()D0 P H() 2 (2) — дифференциально-разностный оператор смешанного типа, в котором D0 — оператор [6, c. 43] дробного (в смысле Римана—Лиувилля) интегро-дифференцирования порядка , 0 < < 1, действующий на функцию (, ) по переменной , определяемый соотношением 1 1 D (, ) = ( ) (, ); (3) D0 (, ) = 0 (1 ) 0 () — гамма-функция [7, c. 947]; P — оператор сдвига по : P (, ) = (, ), 0 < const; H() — функция Хевисайда; (), (), () — непрерывные достаточно гладкие функции; , N; 1 () и 2 () — сохраняющие ориентацию взаимно обратные диффеоморфизмы класса C2 , удовлетворяющие условиям 1' () > 1 (1' () < 1), 1 () < и 2' () < 1 (2' () > 1), 2 () > , то есть представляющие собой соответственно растягивающе(сжимающе)-запаздывающее и сжимающе(растягивающе)-опережающее отображения, для которых выполняются тождества 3 ( ()) = , = 1, 2, (4) где принадлежит области определения (), причём 0 = 0, а определены корректно, согласно (4), любым из следующий равносильных равенств: = 1 (+1 ), +1 = 2 ( ). Например, если = 2, 5, то 2 = 12 (0 ) < 1 = 11 (0 ) < 0 = 0 = 20 (0 ) < 1 = 21 (0 ) < 2 = = 22 (0 ) < 3 = 23 (0 ) < 4 = 24 (0 ) < 5 = 25 (0 ). Здесь и далее обозначено () ( (. . . ( ()) . . . )), если > 0, 0 () , раз () 3 (3 (. . . (3 ()) . . . )), если < 0; = 1, 2. раз 1. Постановка задачи. Не ограничивая общности, для наглядности рассмотрим уравнение (1) в смешанной области = + при , = 2, 1 () = 1 () = 0, 2 () = (), 2 () = (), то есть уравнение L (, ) L(() (1 (), ) () (12 (), ) + () (22 (), )) = 0, (5) где L — оператор смешанного типа (2) в области D с линией изменения типа = {(, ) : 0 < < 3 , = 0}; + = 0+ 1+ 2+ = {(, ) : 0 < < < 3 , > 0} и = 0 1 2 — соответсвенно «параболическая» и эллиптическая части области D, причём + = {(, ) : < < +1 , > 0}, = 2, 4; — односвязная область при 0, = 2, 4, ограниченная простой дугой Ляпунова : = (), () = 1 ()(1 1 ()), +1 и отрезком [ , +1 ] оси абсцисс; т.е. = {(, ) : < < +1 , () < < 0}, () = 0 (1 ()); = 1 2 , где = {(, ) : = , > 0}, = 1, 2. Пусть = + , где = {(, ) : < < +1 , = 0}, = 2, 4, то есть = + = 2=0 (+ ) = + =0 . Тип функциональных отклонений очевиден из следующий представлений: (1 (), ) = ( ( 1 ()), ) = ( 1 (), ), (12 (), ) = ( ( 12 ()), ) = ( 2 (), ), (2 (), ) = ( + (2 () ), ) = ( + 3 (), ), (22 (), ) = ( + (22 () ), ) = ( + 4 (), ), где 1 () = 1 () > 0, 2 () = 12 () > 0, 3 () = 2 () > 0, 4 () = 22 () > 0. Решение (, ) уравнения (5) будем называть регулярным в области D, + 1 D (, ) C( + ), если D1 0 0 (, ) C( ), (, ) C( ), (, ) C(( )), (, ) C( ). Задача Т. В области D найти регулярное решение (, ) уравнения (5), удовлетворяющее краевым условиям (0 , ) = (3 , ) = 0, (, ) := () = (), (, ) = (, ), 22 0, +1 , (6) = 0, 1, 2, (, ) 2 1 , (7) (, ) = (, ), (, ) 3 4 ; (8) условиям сопряжения lim (, ) = lim D1 0 (, ) = (), 0 lim (, ) = lim 0 0+ 0+ 1 D0 (, ) = (), 0 3 , 0 < < 3 , = 1 , 2 ; условиям согласования 2 (3 ) = 0 (0 ) = 0, (+1 ) = +1 (+1 ), = 0, 1; (3 ) = (0 ) = 0; ( , ) = 0, = 2, 1, 0; ( , ) = 0, = 3, 4, 5, (9) где (), (), (), (), = 0, 1, 2, (, ), (, ), 1 (), 2 () — заданные непрерывные достаточно гладкие функции. Положив (, ) = () (1 (), ) () (12 (), ) + () (22 (), ), (10) приведём уравнение (5) к системе L (, ) (, ) + H() (, ) H()D0 (, ) H( ) (, ) = 0, (, ) ; () (1 (), ) () (12 (), )+ +() (2 (), ) = (, ), 2 (, ) , которую в терминах функций ± (, ) = (, ), ± (, ) = (, ), (, ) ± , = 0, 1, 2, (11) ± , = 0, 1, 2, (12) (, ) с учетом (7), (8) можно записать в форме матричной системы: L (, ) (, ) + H() (, ) H()D0 (, ) ± H( ) (, ) = 0, (, ) 0 , ± () (, ) (, ) = (, ), (, ) 0± , (13) (14) где ( ) (, ) = 0± (, ), 1± (2 (), ), 2± (22 (), ) , ( ) ± (, ) = 0± (, ), 1± (2 (), ), 2± (22 (), ) , ( ) () = 0 (), 1 (), 2 () , ( ) (, ) = 0 (, ), 1 (, ), 2 (, ) , (15) (16) (17) (18) причём компоненты матрицы () из (17) и вектор-функции (, ) из (18) имеют следующий вид: 0 () = (0, 0, ()), 1 () = ((2 ()), 0, 0), 2 () = ((22 ()), (22 ()), 0); 0 (, ) = ()(12 (), ) ()(1 (), ), 1 (, ) = (2 ())(1 (), ) (2 ())(23 (), ), 2 (, ) = (22 ())(24 (), ). Если определитель |()| = 0, 0 1 , то единственное решение задачи T в области D в терминах функций (11), (12), (15), (16) может быть получено из (14) в форме ( ) ± (, ) = 1 () (, ) + (, ) , (, ) 0± , (19) где обратная матрица ) ( 1 1 1 1 () = 0 (), 1 (), 2 () , имеет компоненты ( ) 1 0 () = |()|1 0, ()(22 ()), 0 , ( ) 1 1 () = |()|1 0, ()(22 ()), ()(2 ()) , ( ) 1 2 () = |()|1 (2 ())(22 ()), 0, 0 и |()| = ()(2 ())(22 ()), а для (, ) согласно (6)–(9) и равенству (10) должна быть решена Задача T . Найти в области 0 = 0+ 0 0 регулярное решение (, ) уравнения (13), удовлетворяющее краевым условиям (0 , ) = (1 , ) = 0, (, ) 0 :=0 () 0, = ()() (, 0 ()), (20) 0 1 ; (21) условиям сопряжения 1 lim (, ) = lim D0 (, ) = ()() (, 0), 0 0+ 0 1 , (22) lim (, ) = lim 1 D0 (, ) = ()() (, 0), 0 < < 1 , (23) 0 0+ ( ) max ()() (, 0) < 1 , () условию согласования (0 , 0 ) = 0, 24 0 < < 1; где ( ) () = 0 (), 1 (2 ()), 2 (22 ()) — заданная непрерывная достаточно гладкая вектор-функция, а ( ) ( ) () = (), (2 ()), (22 ()) , () = (), (2 ()), (22 ()) (24) — вектор-функции, подлежащие определению. 2. Однозначная разрешимость задачи Т. Теорема 1. Если (), (), (), 1 (), 2 () C[0, 3] C2 (0 , 3 ), () C[ , +1 ]C2 ( , +1 ), = 0, 1, 2; (, ) C(2 1 )C2 (2 1 ); (, ) C(3 4 ) C2 (3 4 ) абсолютно интегрируемы на своих промежутках; (3 ) = (0 ) = 0, 0 (0 ) = 2 (3 ) = 0, (+1 ) = = +1 (+1 ), = 0, 1; ( , ) = 0, = 2, 1, 0; ( , ) = 0, = 3, 4, 5, то существует единственное решение задачи Т. Д о к а з а т е л ь с т в о. 2.1. Единственность решения задачи Т для уравнения (5) в области D следует из того, что однородная задача Т имеет тривиальное решение ± ± (, ) 0 в 0 при условии, что однородная задача Т имеет в обла± сти 0 тривиальное решение (, ) 0. Доказательство этого факта основано на установлении знакоопределенности интеграла 1 [ ][ ] = ()() (, 0) ()() (, 0) . 0 Лемма 1. Если (, ) — регулярное решение уравнения (13) в области 0 из класса C(0 ) C2 (0 ), обращающееся в нуль на = 0 (), 0 1 , то 0 (25) и = 0 [ ] ( (, ))2 + ( (, ))2 . (26) Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 1 для уравнения L (, ) (, ) + (, ) = 0, (, ) 0 , (131 ) следует из тождества ( ) ( ) (, )L (, ) (, ) (, ) + (, ) (, ) ( )2 (, ))2 ( (, ) = 0, (, ) 0 , интегрируя которое по области 0 = {(, ) : '0 < < '1 , 0 () < < }, ' ' где 0 , 1 — корни уравнения 0 () = , 0 < const, применяя формулу Грина [8, c. 541–544], в пределе при 0 на основании (22), (23) и регуляр ности решения (, ) получим (25), (26). Лемма 1 доказана. Лемма 2. Если (, ) — регулярное решение уравнения (13) в области 0+ , обращающееся в нуль при = , = 0, 1, 0, то 0 и 1 [ )]2 ( 1 ()() (, 0) . = (27) () 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. В области 0+ из уравнения + + L (, ) (, ) D0 (, ) H( ) (, ) = 0, (, ) 0+ , (132 ) + в силу регулярности решения (, ) и условий (22)–(24) при 0+ найдём выражение ] ] [ 2 [ () ()() (, 0) = 2 ()() (, 0) , 0 < < 1 , (28) являющееся функциональным соотношением между () и (), привнесенным из 0+ на линию изменения типа 0 = {(, ) : 0 < < 1 , = 0}. Тогда с учётом (28) и (9) 1 [ ][ ] = ()() (, 0) ()() (, 0) = 0 = 1 () 1 [ 0] 2 [ ] ()() (, 0) ()() (, 0) = 2 1 [ )]2 1 ( = ()() (, 0) 0. () 0 Из лемм 1 и 2 в силу (25), (27) имеем = 0. Поэтому на основании регулярности решения из положительной определенности интеграла (26) следует (, ) 0, (, ) 0 . (29) Кроме того, в силу = 0 и положительной определенности интеграла в (27) имеем ] [ ()() (, 0) 0, 0 1 . Значит, ()() (, 0) const, 0 1 , и на основании (22) + lim D1 0 (, ) const, 0+ 0 1 . + Регулярность решения (, ) и однородность условий приводит к утверждению + lim D1 0 (, ) = 0, 0+ 26 ()() (, 0) = 0, 0 1 . (30) Следовательно, в силу (28) и (23) получаем + lim 1 D0 (, ) = 0, ()() (, 0) = 0, 0+ 0 < < 1 . (31) Лемма 3. Однородная смешанная задача (132 ), (20), (30) в области 0+ имеет тривиальное решение, то есть + (, ) 0, + (, ) 0 . (32) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть + 0+ = {(, ) : 0 < < 1 , > 0} = + =0 0 , где +0 = {(, ) : 0 < < 1 , < < ( + 1) }. Уравнение (132 ) в области +0 запишем в форме + + + L (, ) (, ) D, (, ) D0, (, ) + H( ) (, ) = 0, (, ) +0 и проинтегрируем по области +0 = {(, ) : 0 < < 1 , + < < ( + 1) }, 0 < const тождество ( ) ( + ) + 1 + D1 , (, ) L (, ) (, )D, (, ) ) 1 ( + + + (, ))2 (, )D1 (, ) (D1 , , 2 + + H( ) (, )D1 , (, ) ( ) + + D1 (, ) D0, (, ) = 0. , Применяя формулу Грина [8, c. 541–544], однородность граничных условий (20) и регулярность решения задачи Т , в пределе при 0 получим 1 2 )2 )2 1 1 ( 1 + + D1 (, ) D (, ) , , = =(+1) 2 0 0 [ ( ) + + + 1 + (, )D, (, ) + D1 , (, ) D0, (, )+ 1 ( D+ 0 ] + 1 + + H( ) (, )D, (, ) = 0, (, ) +0 . (33) Первый двойной интеграл в (33) положительно определён, поскольку аналогично [9, c. 43] с учётом (3) можно показать, что + D+ 0 + (, )D1 , (, ) = [( (+1) )2 + ( ) 1 1 + 1 (, ) cos() + = sin 2 0 0 ( (+1) )2 ] + + (, ) sin() 0. (34) Следовательно, при = 0, то есть в области 0+0 = {(, ) : 0 < < 1 , 0 < < }, из (33) и (31), (34) приходим к положительно определенной форме )2 1 1 ( 1 + + + (, )D1 D0 (, ) = + 0 (, ) = 0, + 2 0 D0 0 которая позволяет утверждать, что + lim D1 0 (, ) = 0, (35) и в силу регулярности решения + (, ) 0, (, ) 00 . (36) Аналогично, при = 1, то есть в области 1+0 = {(, ) : 0 < < 1 , < < 2 }, из (33) и (35), (36) приходим к положительно определенной форме )2 1 1 ( 1 + + (, )D1 D, (, ) =2 + , (, ) = 0, + 2 0 1 0 которая позволяет утверждать, что + lim D1 , (, ) = 0, 2 и в силу регулярности решения + (, ) 0, + (, ) 10 . Продолжая этот процесс, на -том шаге, т.е. в области +0 = {(, ) : 0 < < 1 , < < ( + 1) }, придём к утверждениям lim (+1) + + D1 , (, ) = 0, (, ) 0, + (, ) 0 , = 2, 3, . . . . Таким образом, + + (, ) 0, (, ) 0 и лемма 3 доказана. Равенства (29), (32) приводят к выводу, что (, ) = 0, (, ) 0 . 28 Краевая задача для смешанно-составного уравнения с дробной производной. . . Единственность решения задачи Т доказана. Из (19) в силу (, ) 0, (, ) 0 следует тривиальность решения однородной задачи Т в области 0 , то есть единственность решения задачи Т. 2.2. Нахождение решения (, ) задачи Т в области 0 . Лемма 4. Если (), () C[0, 1]C2 (0 , 1 ), (0 ) = (1 ) = (0 ) = = (1 ) = 0, то существует единственное решение (, ) C(0 ) C2 (0 ) задачи Дирихле (131 ), (20)–(22) вида (, ) = + ( ] )[ 0 ()(+1) P20 () P P2 P ()() (, 0) + =0 + + ( (0 ()+) )[ ] 0 () 0 ()) P2 P P( ()() (, 0 ()) . (37) =0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение задачи Дирихле для уравнения (131 ) в области 0 будем искать с помощью непосредственно проверяемого общего решения (, ) = 1 ( + ) + 2 ( ), (38) где 1 (), 2 () — дважды непрерывно дифференцируемые произвольные вектор-функции. Используя условия (21), (22) в (38), аналогично [10] найдём вектор-функции 1 () = + [ ] 0 () P2 ()() (, 0) =0 + [ 0 () ( )] 0 () P2 P ()() (, 0 () , =0 2 () = + [ 0 () ( )] 0 () P2 P ()() (, 0 () =0 + [ ] 0 ()(+1) P2 ()() (, 0) , =0 которые после подстановки в (38) приведут к решению (37) задачи Дирихле (131 ), (20)–(22). Лемма 4 доказана. Найдём функциональное соотношение между () и (), привнесенное из 0 на линию изменения типа 0 = {(, ) : 0 < < 1 , = 0}. Условие (23) и решение (37) позволяют записать ] [ ()() (, 0) + + ] [ 0 () + 2 P2 ()() (, 0) ()() (, 0) = =0 2 + ( 0 () 0 () P2 P =0 ]) [ ()() (, 0 ()) , 0 1 , т.е. 0 () (1 P2 )(()() (, 0)) = ( ( )) 0 () = (1 + P2 ) ()() (, 0) ( ( )) 0 () 2P ()() (, 0 ()) , 0 < < 1 . (39) Полученное выражение является искомым функциональным соотношением. + 2.3. Нахождение решения (, ) задачи Т в области 0+ . Лемма 5. Если () C[0, 1] C2 (0 , 1 ), (0 ) = (1 ) = 0, то суще+ ствует единственное регулярное решение (, ) смешанной задачи (132 ), (20), (22) в области 0+ вида 1 [ ] + (, ) = (, , ) ()() (, 0) , (40) 0 где + 2 (, , ) = () sin sin 1 (41) =1 — фундаментальное решение задачи (132 ), (20), (22) = /1 , а () = + +1 (1) H( )( )(+1)1 ,(+1) (2 ( ) ), (42) =0 причём , () — обобщенная функция типа Миттаг—Леффлера [11, с. 45, 67], определяемая рядом , () = + =0 [ (1,1) ] 1 () = H11 12 (0,1),(1,) , ( + )! () (43) [ ( , ) ] () — символ Похгаммера [10, с. 24], а H, , ( , ) — функция Фокса [11, с. 54]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение задачи (132 ), (20), (22) будем искать в виде ряда Фурье + (, ) = + =1 30 () sin , + (, ) 0 , (44) где () — функция, подлежащая определению. Разложимость начальной функции () в ряд Фурье по синусам является необходимым условием разрешимости задачи (132 ), (20), (22) в классе функций, определяемых рядом (44). Такое представление имеет место тогда и только тогда, когда функция () непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывные производные второго порядка и (0 ) = (1 ) = 0. + Считая, что ряд (44) равномерно сходится в 0 , равномерно сходятся ряды, полученные двукратным дифференцированием по и взятием дробной производной по y порядка 0 < < 1 в 0+ , и подставляя (44) в (132 ), (20), (22), для определения () придем к задаче (45) D0 () + 2 () + H( ) ( ) = 0, 0, (46) lim D1 0 () = , 0+ где = 2 1 1 [ ] ()() (, 0) sin . 0 Будем искать решение () задачи (45), (46) с помощью интегрального преобразования Лапласа [12, с. 30]. Пусть + () () = () 0 — изображение по Лапласу функции (), причем H( ) ( ) (), а [11, с. 84] D0 () () lim D1 0 () = () . 0+ Применяя к (45), (46) преобразование Лапласа, получим операторное уравнение ( + 2 + ) () = , которое даёт операторное решение () = + (1) = , + 2 + (2 + 2 )+1 (47) =0 так как 2 < 1 при достаточно больших . + 2 Учитывая, что [11, с. 47] ( 1 +1 (+1)1 ,(+1) (2 ), + 2 )+1 = 0, 1, 2, . . . , по теореме о запаздывании оригинала найдём ( )(+1)1 * ( + 2 )+1 +1 * ,(+1) (2 ( ) )H( ), = 0, 1, 2, . . . . (48) Таким образом, для изображения () операторного решения (47) уравнения (45) имеем (на основании (47), (48)) оригинал () = (), 0, где () определяется равенством (42). Воспользовавшись для (43) асимптотикой H -функции Фокса [11, с. 62] при больших значениях аргумента [ ( , ) ] H, , ( , ) = 0( ), [ 1] , = min 1 получим для ряда () из (43) абсолютно и равномерно сходящийся при всех мажорирующий ряд + H( ) 2(+1) ( =0 , + 1)( ) что позволяет доказать абсолютную и равномерную сходимость ряда (41) + + + в 0 и, значит, (, ) C(0 ). Аналогично можно показать, что ряды, полученные из (41) двукратным почленным дифференцированием по и взятием почленно дробной производ+ ной по y порядка , сходятся абсолютно и равномерно в 0+ , то есть (, ) удовлетворяет уравнению (132 ), начальному и граничным условиям (20), (22) и является единственным регулярным решением задачи Т в 0+ . Лемма 5 доказана. Функциональное соотношение (28) между () и (), привнесенное из 0+ на линию изменения типа 0 = {(, ) : 0 < < 1 , = 0}, можно найти из (40), учитывая условие (23). Функциональное соотношение (26) представимо в интегральной форме 1 ] [ ] [ (, ) ()() (, 0) , (28' ) ()() (, 0) = 0 где () (, ) = 1 { , 1 , , . 2.4. Вопрос существования решения задачи Т в области 0 в силу условий сопряжения (22), (23) сводится к разрешимости системы функциональных соотношений (28' ), (39), то есть к разностному интегральному уравнению ( ) 0 () (1 P2 ) ()() (, 0) = 1 [ ] 20 () = (1 + P ) (, ) ()() (, 0) 0 32 Краевая задача для смешанно-составного уравнения с дробной производной. . . ( ( )) ()() (, 0 ()) , которое можно представить в виде 0 () 2P 0 < < 1 , ) 1 + ( 0 () ()() (, 0) ()() (, 0) = P2 1 ( ( )) 2 0 () ()() (, 0 () , 0 < < 1 , (49) P 1 где 1 (, )[· · · ]. = 0 Так как < 1, из (49) будем иметь ()() (, 0) = 2 =0 где = ( ( )) ()() (, 0 ()) , 0 () () P2 (1 + ), =0 = (50) () 0 () . =0 В силу свойств функций (), входящих в (50), выполняется включение ()() (, 0) C1 (0 , 1 ), а на основании (39) выполняется ()() (, 0) C2 (0 , 1 ) C[0, 1]. Подставляя найденные значения ()() (, 0), ()() (, 0) + в (37), (40), получим окончательный вид решений (, ) и (, ) зада + чи Т в области 0 и 0 , то есть искомую функцию (, ) задачи Т в области 0 0 0+ 0 . Теорема 1 доказана.

About the authors

Alexandr Nikolaevich Zarubin

Orel State University named after I. S. Turgenev

Email: alex_zarubin@chat.ru, matdiff@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Elena Viktorovna Chaplygina

Orel State University named after I. S. Turgenev

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files