The Steklov nonlocal boundary value problem of the second kind for the simplest equations of mathematical physics

Abstract

The Steklov nonlocal boundary value problem of the second kind for the simplest equations of mathematical physics is studied. A priori estimates for the solutions of the considered problems are obtained by using the method of energy inequalities. Uniqueness and continuous dependence of the solutions on the input data follow from these estimates.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 15-23 Уравнения математической физики УДК 517.954 НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В. А. СТЕКЛОВА ВТОРОГО КЛАССА ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ А. А. Алиханов Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова 360004, Россия, Нальчик, ул. Чернышевского, 173. E-mail: alikhanov-tom@yandex.ru Для простейших уравнений математической физики исследуется нелокальная краевая задача В. А. Стеклова второго класса. Методом энергетических нера- венств получены априорные оценки для решений рассматриваемых задач. Из по- лученных оценок следует единственность и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи. Ключевые слова: нелокальная краевая задача, уравнения математической физи- ки, априорные оценки для решения. Введение. В работе В. А. Стеклова [1, стр. 67] изучалась нелокальная краевая задача u(b, t) = u(a, t), ux(b, t) = ux(a, t) + u(a, t), названная задачей с условиями второго класса. В ней были получены ре- зультаты для случая - 1 = 0, 0. Внимание к нелокальным краевым задачам было привлечено в известной работе А. В. Бицадзе и А. А. Самарско- го [2]. Для оператора Штурма Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках изучены нелокальные краевые задачи первого и второго родов в работах [3-5]. В работе [5] изучена также и нелокальная краевая задача пер- вого рода для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в разностной трактовке. В работе [6] изучена нелокальная краевая задача второго рода для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициен- тами. В этой работе получены двусторонние априорные оценки для решения задачи по начальным данным и правой части в норме L2(0, l), а также априор- ные оценки в нормах C(0, l) и C( DT ). В работах [7-9] изучалась устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности с постоянными коэффи- циентами и нелокальным условием второго рода. В работах [10, 11] получены априорные оценки для решений дифференциальных и разностных уравнений с нелокальными краевыми условиями. В данной работе получены априорные оценки решений простейших урав- нений математической физики с нелокальными краевыми условиями 1 Анатолий Алиевич Алиханов (к.ф.-м.н.), декан, математический факультет. 15 А. А. А л и х а н о в В. А. Стеклова второго класса. Отличительной особенностью данной работы от работ [10, 11] является то, что константа полученной априорной оценки для решения уравнения теплопроводности не зависит от временной переменной. 1. Нелокальная краевая задача В. А. Стеклова второго класса для ста- ционарного уравнения теплопроводности. Рассмотрим нелокальную краевую задачу d dx k(x) du dx - q(x)u(x) = -f(x), (1) u(0) = u(1), k(1)u (1) = k(0)u (0) + u(1), (2) где коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют следующим условиям: k(x) C(1)[0, 1], q(x), f(x) C[0, 1], k(x) c1 > 0, q(x) 0, k(x) = k(1 - x), q(x) = q(1 - x) всюду на [0, 1], , , заданные действительные числа. Теорема 1. Если выполняются условия = = 1, 0, то для решения задачи (1), (2) справедлива априорная оценка u(x) W 2 2 (0,1) M f(x) L2(0,1), (3) где M > 0 известная постоянная. Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножим уравнение (1) на u(x) и проинтегрируем по x от 0 до 1: - 1 0 (k(x)ux(x))xu(x)dx + 1 0 q(x)u2 (x)dx = 1 0 u(x)f(x)dx. (4) Из тождества (4) и нелокальных граничных условий следует равенство 1 0 k(x)u2 x(x)dx + 1 0 q(x)u2 (x)dx - u2 (1) = 1 0 u(x)f(x)dx. (5) Так как = 1, справедливо неравенство u2 (1) = 1 1 - 1 0 ux(x)dx 2 1 (1 - )2c1 1 0 k(x)u2 x(x)dx. Оценим величину 1 0 u(x)f(x)dx. В силу равенства u(x) = u(1)- 1 x us(s)ds, имеем 1 0 u(x)f(x)dx = 1 0 f(x) u(1) - 1 x us(s)ds dx = = u(1) 1 0 f(x)dx - 1 0 ux(x)dx x 0 f(s)ds 2 u2 (1) + 1 2 1 0 f2 (x)dx + 1 0 |ux(x)|dx 1 0 |f(s)|ds 2 u2 (1) + 1 2 1 0 f2 (x)dx + 2c1 1 0 k(x)u2 x(x)dx + 1 2 1 0 f2 (x)dx 16 Нелокальная краевая задача В. А. Стеклова второго класса. . . 1 2(1 - )2c1 + 1 2c1 1 0 k(x)u2 x(x)dx + 1 1 0 f2 (x)dx. С учётом приведённых неравенств из (5) получим 1 - 1 2(1 - )2c1 + 1 2c1 1 0 k(x)u2 x(x)dx 1 1 0 f2 (x)dx. (6) Из неравенства (6) при = (1 - )2(1 + (1 - )2)-1c1 следует оценка ux(x) L2(0,1) M1 f(x) L2(0,1), M1 = |1 - |-1 2(1 + (1 - )2). (7) Из уравнения (1) следует оценка uxx L2(0,1) M2 ux L2(0,1) + u L2(0,1) + f(x) L2(0,1) . (8) Из оценки (7) в силу неравенства (8) и теоремы вложения u L2(0,1) M3( ux L2(0,1) + u2 (1, t)) M3(1 + (1 - )-2 c-1 1 ) ux L2(0,1) следует справедливость априорной оценки (3). Заметим, что если = = 1, = 0, q(x) 0, то задача (1) некорректно поставлена, так как соответствующая ей однородная задача имеет ненулевое решение u(x) = 1. Функция v(x) = u(x) + u(1 - x) при = 1, -, , является решением следующей нелокальной задачи: d dx k(x) dv dx - q(x)v(x) = -f1(x), (9) v(0) = 1v(1), k(1)v (1) = 1k(0)v (0) + 1v(1), (10) где 1 = + 1 + , 1 = - 1 - , 1 = (2 - 1) ( + )( - ) , f1(t) = f(x) + f(1 - x). Найдём такое значение , что для задачи (9), (10) будут выполняться условия теоремы 1. Условие 1 = 1 приводит к квадратному уравнению 2 - 2 - 1 - + 1 = 0, которое при (2 -1)(2 -1) > 0 имеет два действительных различных корня: 1 = - 1 - (2 - 1)(2 - 1) - , 2 = - 1 + (2 - 1)(2 - 1) - . При 2 -1 < 0 и 2 -1 < 0 будем брать = 1, а при 2 -1 > 0 и 2 -1 > 0 возьмём = 2. Это обеспечит выполнение условия = -, . 17 А. А. А л и х а н о в Рассмотрим эти два случая по отдельности: 1) || < 1, || < 1 и = 1; в этом случае второе условие теоремы 1 (1 0) имеет вид (