К проблеме несуществования диссипативной оценки для дискретных кинетических уравнений

Полный текст

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 106-143 УДК 517.958:533.723 К ПРОБЛЕМЕ НЕСУЩЕСТВОВАНИЯ ДИССИПАТИВНОЙ ОЦЕНКИ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Е. В. Радкевич Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Россия, 119899, Москва, Воробьёвы горы. E-mail: evrad07@gmail.com Для дискретных уравнений кинетики доказано существование глобального реше- ния в пространствах Соболева, получено разложение его по суммируемости, ис- следовано влияние осцилляций, порождаемых оператором взаимодействия. До- казано существование подмногообразия Mdiss начальных данных (u0 , v0 , w0 ), для которых существует диссипативное решение. Показано, что при отклонении начальных данных (u0 , v0 , w0 ) от подмногообразия Mdiss оператор взаимодей- ствия порождает недиссипативную часть решения солитоны (бегущие вол- ны). Амплитуда солитонов пропорциональна расстоянию от (u0 , v0 , w0 ) до под- многообразия Mdiss. Отсюда следует стабилизация решений при t только на любом компакте пространственных переменных. Ключевые слова: диссипативные оценки, дискретные кинетические уравнения. 1. Введение. В этой статье мы продолжим исследование [1] проблемы несуществования диссипативной оценки Коши для дискретных кинетических уравнений (модели типа Бродуэлла [2] газовой динамики с конечным числом различных скоростей частиц и конечным числом разных парных взаимодей- ствий): tni + (ixx + iyy + izz)ni = = k,l,j;k=i,l=i,j=i ij kl(nknl - ninj), i = 1, 2, . . . , N, (1) поставленной в 1974 г. в [3]. Общим для таких систем с кинетическим урав- нением Больцмана является выполнение уравнения неразрывности t N j=1 nj + x N j=1 (jxx + jyy + jzz)nj = 0, сохранение импульса и справедливость H-теоремы Больцмана [4-6] t(ni ln ni) + (ixx + iyy + izz)(ni ln ni) = = k,l,j;k=i,l=i,j=i ij kl ln ninj nlnk (nknl - ninj). Евгений Владимирович Радкевич (д.ф.-м.н., проф.), профессор, отделение математики, каф. дифференциальных уравнений. 106 К проблеме несуществования диссипативной оценки . . . Отличие состоит в том, что не сохраняется энергия и нет диссипативной оценки. В этой статье мы постараемся выяснить причину отсутствия дисси- пативной оценки для одномерной модели типа Бродуэлла (см. [3]). Доказа- тельство переносится на двумерную и трёхмерную модели в [3]. Рассмотрим задачу Коши: tu + xu = 1 (v2 - uw), tv = - 2 (v2 - uw), tw - xw = 1 (v2 - uw); (2) v(0) = v0 , u(0) = u0 , w(0) = w0 , на прямой x R для t > 0. Система (2) является кинетическим уравнением Больцмана модельного одномерного газа [4], состоящего из частиц со скоро- стями c = 1, 0, -1 (их плотности соответственно u = n1(x, t), v = n2(x, t), w = n3(x, t)). 2. Малые возмущения. В окрестности состояния равновесия v2 e = uewe решение будем искать в виде u = ue + 2 u1/2 e u, v = ve + 2 v1/2 e v, w = we + 2 w1/2 e w. Тогда система запишется следующим образом: tU + AxU + 1 BU = 1/2 (U, U), (3) U(0) = U0 где A = 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 , B = we -2

Об авторах

Евгений Владимирович Радкевич

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Email: evrad07@gmail.com
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

Дополнительные файлы