On the problem with generalized operators of fractional differentiation for mixed type equation with two degeneracy lines

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 150-158 УДК 517.956.6 О ЗАДАЧЕ С ОБОБЩEННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ ВЫРОЖДЕНИЯ О. А. Репин1,2 , С. К. Кумыкова3 1 Самарский государственный экономический университет, 443090, Россия, Самара, ул. Советской Армии, 141. 2 Самарский государственный технический университет, Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. 3 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова Россия, 360004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173. E-mails: matstat@mail.ru, bsk@rect.kbsu.ru Для уравнения смешанного типа с перпендикулярными линиями вырождения ис- следована нелокальная задача, когда на эллиптической части границы области задано условие Дирихле, а в гиперболических частях обобщённые производные от значений решения на характеристиках поточечно связаны со значениями решения и нормальных производных от неё на линиях параболического вырож- дения. Ключевые слова: нелокальная задача, регулярное решение, операторы дробного интегро-дифференцирования, задача Коши, уравнение Фредгольма, сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши, регуляризатор, уравнение Абеля. 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение смешанного типа |y|k uxx + sign(xy)|x|k uyy = 0, k > 0 (1) в конечной односвязной области , ограниченной кривой Жордана с конца- ми в точках A(1; 0), B(0; 1), расположенной в первом квадрате x > 0, y > 0, и характеристиками BC : (-x)p + yp = 1, CD : x + y = 0, AD : xp + (-y)p = 1, 2p = k + 2 уравнения (1). Обозначим через 1 и 2 гиперболические части смешанной области , где x > 0 и x < 0 соответственно, а через 3 эллиптическую часть области ; I1 (I2) интервал 0 < x < 1 (0 < y < 1) прямой y = 0 (x = 0). Пусть (I,, 0+ f)(x) и (I,, 1- f)(x) операторы обобщённого дробного инте- гро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса F(a, b; c; z), введённые в работе [1] (см. также [2, с. 326-327]) и имеющие при действитель- ных , , и x > 0 вид (I,, 0+ f)(x) = x-- () x 0 (x - t)-1 F + , -; ; 1 - t x f(t)dt ( > 0), (2) (I,, 0+ f)(x) = d dx n (I+n,-n,-n 0+ f)(x) ( 0, n = [-] + 1); (3) Олег Александрович Репин (д.ф.-м.н., проф.), зав. кафедрой, каф. математической стати- стики и эконометрики1 ; профессор, каф. прикладной математики и информатики2 . Светлана Каншубиевна Кумыкова (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. теории функций и функ- ционального анализа. 150 О задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования. . . (I,, 1- f)(x) = (1 - x)-- () 1 x (t - x)-1 F + , -; ; t - x 1 - x f(t)dt ( > 0), (4) (I,, 1- f)(x) = - d dx n (I+n,-n,-n 1- f)(x) ( 0, n = [-] + 1). (5) Определение. Под регулярным в области решением уравнения (1) по- нимается функция u(x, y) C()C1()C2(123), удовлетворяющая уравнению (1) и такая, что uy(x, 0), ux(0, y) на концах интервалов I1, I2 могут обращаться в бесконечность порядка не выше 1 - 2. Задача A. Найти регулярное в области решение u(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям u(x, y) = (x, y) (x, y) , a1(x)I-1,1-2,0 0+ u[1 0(t)] + b1(x)I-1,1-2,0 1- u[1 1(t)]+ +c1(x)uy(x, 0) + d1(x)u(x, 0) = f1(x) x I1, (6) a2(y)I-1,1-2,0 0+ u[2 0(t)] + b2(y)I-1,1-2,0 1- u[2 1(t)]+ +c2(y)ux(0, y) + d2(y)u(0, y) = f2(y) y I2, где = k 2k + 4 , 0 < < 1 2 , 1 2p = 1 2 - , i 0(x) и i 1(x) точки пересечения характеристик уравнения (1), выходя- щих из точек (x, 0) I1 и (0, y) I2 с характеристиками OD, AD и OC, BC соответственно; (x, y), ai(t), bi(t), ci(t), di(t), fi(t) заданные непре- рывные функции такие, что a2 i (t) + b2 i (t) + c2 i (t) + di(t)2 = 0, t Ii, i = 1, 2, (x, y) C1 (), ai(t), bi(t), ci(t), di(t), fi(t) C(2,h) (Ii), h > 0. (7) Отметим, что задача А относится к классу краевых задач со смещением (по терминологии А. М. Нахушева [3]). Нелокальные задачи для уравнений с двумя линиями вырождения были объектом исследования в публикациях [4-7]. 2. Единственность решения задачи А. Решение задачи Коши для уравне- ния (1) с данными на линии вырождения y = 0 в области 1 даётся форму- лой [4, 8] u(x, y) = -23-4 p (2) 2() xy b 1 p a 1 p t2p-1 (t2p - a2 )-1 (b2 - t2p )-1 1(t)dt- - 24-1 p (2 - 2) 2(1 - ) b 1 p a 1 p t2p-2 (t2p - a2 )- (b2 - t2p )- 1(t)dt, (8) 151 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а где a = xp - (-y)p, b = xp + (-y)p, 1(x) = u(x, 0), 1(x) = uy(x, 0), а в области 2 даётся формулой u(x, y) = -23-4 p (2) 2() xy d 1 p c 1 p t2p-1 (t2p - c2 )-1+ (d2 - t2p )-1+ 2(t)dt- - 24-1 p (2 - 2) 2(1 - ) d 1 p c 1 p t2p-2 (t2p - c2 )- (d2 - t2p )- 2(t)dt, (9) где 2(t) = u(t, 0), 2(x) = ut(0, t), c = yp - (-x)p, d = yp + (-x)p. Из (8) в силу (2)-(5) после некоторых преобразований находим u[1 0(x)] = (2) () I,0,-1 0+ 1(t) (x) - 24-2 (2 - 2) (1 - ) I1-,2-1,-1 0+ t- 1 2p 1(t) (x), u[1 1(x)] = (2) () I,0,-1 1- 1(t) (x) - 24-2 (2 - 2) (1 - ) I1-,2-1,-1 1- t- 1 2p 1(t) (x), где 1(x) = 1(x2p), 1(x) = 1(x2p). Подставляя u[1 0(x)] и u[1 1(x)] в краевое условие (6), учитывая компози- ционные свойства обобщённых операторов [2, с. 327] I,, 0+ (I,,+ 0+ f)(t) (x) = (I+,+, 0+ f)(x) ( > 0), I,, 1- (I,,+ 1- f)(t) (x) = (I+,+, 1- f)(x) ( > 0) и легко проверяемые равенства (I0,0, 0+ f)(x) = (I0,0, 1- f)(x) = f(x), (I-,, 0+ f)(x) = (D 0+f)(x), (I-,, 1- f)(x) = (D 1-f)(x), > 0, где (D 0+f)(x) и (D 1-f)(x) дробные производные Римана Лиувилля [2, с. 44], получим 24-2 (2 - 2) (1 - ) (a1(x) + b1(x)) x - 1 2p - c1(x) 1(x) = = (2) () a1(x)D1-2 0+ 1(t) + b1(x)D1-2 1- 1(t) + d1(x)1(x) + f1(x). (10) Аналогично устанавливается функциональное соотношение между 2(y) и 2(y), принесенное на I2 из области 2, которое имеет вид 152 О задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования. . . 24-2 (2 - 2) (1 - ) (a2(y) + b2(y)) y- 1 2p - c2(y) 2(y) = = (2) () a2(y)D1-2 0+ 2(t) + b2(y)D1-2 1- 2(t) + d2(y)2(t) + f2(y), (11) где 2(y) = 2(y2p), 2(y) = 2(y2p). Докажем справедливость следующей теоремы. Теорема. В области не может существовать более одного регулярно- го решения поставленной задачи, если выполнены условия E1(x) = 24-2 (2 - 2) (1 - ) x- 1 2p [a1(x) + b1(x)] - c1(x) = 0 x I1, xka1(x) E1(x) 0, xkb1(x) E1(x) 0, xkd1(x) E1(x) 0, x I1, (12) E2(y) = 24-2 (2 - 2) (1 - ) y - 1 2p [a2(y) + b2(y)] - c2(y) = 0 y I2, yka2(y) E2(y) 0, ykb2(y) E2(y) 0, ykd2(y) E2(y) 0, y I2, ai(1) = 0, bi(0) = 0, i = 1, 2. (13) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u(x, y) решение однородной задачи. Тогда в области эллиптичности 3 уравнения (1) имеет место равенство [4, с. 135] 3 (yk u2 x + xk u2 y)dxdy + 1 0 xk 1(x)1(x)dx + 1 0 yk 2(y)2(y)dy 0. (14) Полагая f1(x) 0, f2(y) 0, установим справедливость неравенств 1 0 tk i(t)i(t) dt 0, i = 1, 2, t = x, y. (15) При i = 1, t = x, f1(x) 0 соотношение (10) примет вид 1(x) = m1(x)(D1-2 0+ 1)(x) + m2(x)(D1-2 1- 1)(x) + m3(x)1(x), где m1(x) = (2)a1(x) ()E1(x) , m2(x) = (2)b1(x) ()E1(x) , m3(x) = d1(x) E1(x) . (16) Рассмотрим интеграл (2) 1 0 xk 1(x)1(x)dx = 1 0 xk m1(x)1(x) d dx x 0 1(t) dt (x - t)1-2 dx- 153 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а - 1 0 xk m2(x)1(x) d dx 1 x 1(t)dt (t - x)1-2 dx + (2) 1 0 xk m3(x)(1(x))2 dx. Введём следующие обозначения: sin(2) d dx x 0 1(t) dt (x - t)1-2 = 1 (x), - sin(2) d dx 1 x 1(t) dt (t - x)1-2 = 1 (x). С учётом формулы обращения интегрального уравнения Абеля [9, с. 47] найдём 1(x) = x 0 1 (t)dt (x - t)2 , 1(x) = 1 x 1 (t) dt (t - x)2 . (17) Воспользуемся известной формулой для функции () [10, с. 385] 0 t-1 cos(kt)dt = () k cos 2 (k > 0, 0 < < 1). Полагая k = |x - |, = 2, получим 1 |x - |2 = 1 (2) cos() 0 t2-1 cos(t|x - |)dt. (18) На основании формулы (18) после смены порядка интегрирования, а затем интегрирования по частям c учётом (13), (16) и (17) будем иметь 1 2 (2) sin(2) cos() 1 0 xk 1(x)1(x)dx = - 1 2 0 t2-1 dt 1 0 m1(x) x 0 1 () cos(t)d 2 + x 0 1 () sin(t)d 2 dx+ + 1 2 0 t2-1 dt 1 0 m2(x) 1 x 1 () cos(t)d 2 + 1 x 1 () sin(t)d 2 dx+ + 1 2 (2) sin(2) cos() 1 0 m3(x) (1(x))2 dx, где mi(x) = xkmi(x), i = 1, 2, 3. Отсюда в силу условий (12) и выполнения sin(2) cos() > 0 получаем неравенство (15). Опираясь на соотношение (11), нетрудно доказать неравенство (15) и в случае i = 2, t = y, f2(y) 0. Из соотношений (14) и (15) сразу следует справедливость теоремы един- ственности решения задачи А. 3. Существование решения задачи А. Переходя к доказательству суще- ствования решения задачи А, будем полагать, что кривая совпадает с нор- мальным контуром 0: x2p + y2p = 1. В работе [11, с. 789] приведено решение задачи Хольмгрена (задача Н) для уравнения (1) в области 3, которое определяется формулой 154 О задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования. . . u(x, y) = 1 0 (t) G(t, (1 - t)2p ) 1 2p ; x, y dt+ + 1 0 tk 1(t)G(t, 0; x, y)dt + 1 0 tk 2(t)G(0, t; x, y)dt, (19) где G(, ; x, y) функция Грина задачи Н, [G] = k G d ds - k G d ds , (x) C[0, 1], (0) = (1) = 0; x1(x), y2(y) C(0, 1) L1[0, 1]. Справедливость формулы (19) установлена в монографии [12, с. 67-73]. Для упрощения вычислений положим (x, y) = 0, a1(t) = a2(t) = a(t), b1(t) = b2(t) = b(t), t = x, y, d1(x) = d2(y) = 0. Функциональные соотношения между i(x) и i(x), принесённые на Ii (i = 1, 2) из эллиптической части 3, имеют вид [4, с. 137] i(x) = - 2p 1 0 - 1 2 1 | - x|2 - 1 |1 - x|2 i()d- - 2p 1 0 - 1 2 1 ( + x)2 - 1 (1 + x)2 j()d, (20) где = 2() 22-4(2) , j = 1, 2, i = j. Функциональные соотношения между i(x) и i(x), принесённые на Ii (i = 1, 2) из гиперболических 1(2) частей смешанной области , записы- ваются в виде Ei(x)i(x) = (2) () a(x)D1-2 0+ i(x) + b(x)D1-2 1- i(x) + fi(x), (21) где i, j = 1, 2, i = j. Исключив из (20) и (21) i(x), а затем используя известные соотноше- ния [13]: D1-2 0+ 1 0 - 1 2 1() d | - x|2 = = 1 (2) tg()x- 1 2 1(x) + 1 0 t x 1-2 t- 1 2 1(t) dt t - x , D1-2 0+ 1 0 - 1 2 1()d |1 - x|2 = 1 (2) 1 0 t- 1 2 1 x 1-2 1(t)dt 1 - xt , D1-2 0+ 1 0 - 1 2 1() d ( + x)2 = 1 (2) 1 0 t 1 2 - x t 2-1 1(t)dt x + t , 155 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а D1-2 0+ 1 0 - 1 2 1()d (1 + x)2 = 1 (2) 1 0 t 1 2 - x2-1 1(t)dt 1 + xt и аналогичные равенства при действии оператора D1-2 1- , получим систе- му сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функ- ций i(x) (i, j = 1, 2, i = j): Ei(x) + x- 1 2 tg() (a(x) + b(x)) 2p() i(x)+ + a(x) 1 0 x 1-2 1 - x - 1 x 1-2 1 1 - x - 1 2 i()d+ + a(x) 1 0 x 1-2 1 + x - 1 x 1-2 1 1 + x - 1 2 j()d- - b(x) 1 0 1 - 1 - x 1-2 1 - x + 1 1 - x - 1 2 i()d+ + b(x) 1 0 1 + 1 - x 1-2 1 + x - 1 1 + x - 1 2 j()d = 2p() fi(x). (22) Полагая 1(x) = x- 1 2 (1(x) + 2(x)) , 2(x) = x- 1 2 (1(x) - 2(x)) , F1(x) = 2p() (f1(x) + f2(x)) , F2(x) = 2p() (f1(x) - f2(x)) , перепишем систему (22) в виде A(x)i(x) + 1 0 K(x, )i() d - x = Fi(x), (23) где A(x) = 2p() x 1 2 - Ei(x) + tg() (a(x) + b(x)) , K(x, ) = 2a(x) x 1-2 + x - 1 x 1-2 - x 1 - 2x2 - - b(x) 1 - 1 - x 1-2 (1 - x)(1 + ) 1 - x - 1 + 1 + x 1-2 (1 - )(1 - x)( - x) ( + x)(1 + x) , Fi(x) = 2p() (f1(x) f2(x)), i, j = 1,2, i = j. Ядро K(x, ) уравнения (23) при x = непрерывно. При x = и x = 0, 1 K(x, ) на концах отрезка [0, 1] допускает особенность порядка 1 - 2 и, сле- довательно, при = x ядро K(x, )/( - x) может допускать особенность [x(1 - x)]2-1, т.е. слабую особенность. Из вида функций Fi(x) в силу усло- вий (7) можно заключить, что правая часть Fi(x) C(2,h)(Ii), h > 0, i = 1, 2. 156 О задаче с обобщёнными операторами дробного дифференцирования. . . Условие A2(x)+[K(x, x)]2 = 0 гарантирует существование регуляризато- ра [14], приводящего уравнение (23) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отсюда и из единственности искомого решения следует суще- ствование решения задачи А. По найденным i(t), i(t) решение задачи (1)-(3) определяется по форму- лам (8) и (9) в областях 1 и 2 как решение задачи Коши, а в области 3 как решение задачи Хольмгрена по формуле (19). В случае, когда ci(t), di(t) = 0, i = 1, 2, существование решения задачи А доказывается так же, как в работе [4]. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. M. Saigo, A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions // Math. Rep. Kyushu Univ., 1977/78. Vol. 11, no. 2. Pp. 135-143. 2. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного по- рядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с. [S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i Tekhnika, 1987. 688 pp.] 3. А. М. Нахушев, Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с. [A. M. Nakhushev, Problems with shifts for partial differential equations. Moscow: Nauka, 2006. 287 pp.] 4. М. С. Салахитдинов, Б. Менгзияев, Об одной краевой задаче со смещением для урав- нения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Диффер. уравн., 1977. Т. 13, 1. С. 133-139. [M. S. Salakhitdinov, B. Mengziyayev, On a boundary value problem with shift for an equation of mixed type with two lines of degeneracy // Differ. Uravn., 1977. Vol. 13, no. 1. Pp. 133-139]. 5. М. М. Смирнов, Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа 2-го рода с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Матем., 1982. 3. С. 68-75; англ. пер.: M. M. Smirnov, On a problem with shift for a second order mixed equation with two linear degeneracies // Soviet Math. (Iz. VUZ), 1982. Vol. 26, no. 3. Pp. 85-93. 6. О. А. Репин, Т. В. Шувалова, Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Диффер. уравн., 2008. Т. 44, 6. С. 848-851; англ. пер.: O. A. Repin, T. V. Shuvalova, Nonlocal boundary value problem for an equation of the mixed type with two degeneration lines // Differ. Equ., 2008. Vol. 44, no. 6. Pp. 876- 880. 7. А. А. Килбас, О. А. Репин, О разрешимости краевой задачи для уравнения сме- шанного типа с частной дробной производной Римана Лиувилля // Диффер. уравн., 2010. Т. 46, 10. С. 1453-1460; англ. пер.: A. A. Kilbas, O. A. Repin, Solvability of a boundary value problem for a mixed-type equation with a partial Riemann-Liouville fractional derivative // Differ. Equ., 2010. Vol. 46, no. 10. Pp. 1457-1464. 8. R. Konti, Sul problema di Cauchy per le equazioni di tipo misto yk zxx - xk zyy = 0. II. (Italian) // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser., 1950. Vol. 2, no. 1-4. Pp. 105-130. 9. С. Г. Михлин, Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. 232 с. [S. G. Mikhlin, Lectures on Linear Integral Equations. Moscow: Fizmatgiz, 1959. 232 pp.] 10. Ф. Трикоми, Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Иностр. лит., 1957. 443 с. [F. Tricomi, Lectures on partial differential equations. Moscow: Inostr. Lit., 1957. 443 pp.] 11. К. Б. Сабитов, Г. Г. Шарафутдинова, Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения // Диффер. уравн., 2003. Т. 39, 6. С. 788-800; англ. пер.: K. B. Sabitov, G. G. Sharafutdinova, The Tricomi problem for a mixed type equation with two orthogonal degeneration lines // Differ. Equ., 2003. Vol. 39, no. 6. Pp. 830-843. 157 О. А. Р е п и н, С. К. К у м ы к о в а 12. К. Б. Сабитов, Г. Г. Биккулова, А. А. Гималтдинова, К теории уравнений смешан- ного типа с двумя линиями изменения типа. Уфа: Гилем, 2006. 150 с. [K. B. Sabitov, G. G. Bikkulova, A. A. Gimaltdinova, On the theory of equations of mixed type with two lines of degeneration. Ufa: Gilem, 2006. 150 pp.] 13. С. К. Кумыкова, Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характе- ристиках для уравнения смешанного типа // Диффер. уравн., 1974. Т. 10, 1. С. 78-88. [S. K. Kumykova, On a problem with nonlocal boundary conditions on the characteristics of the mixed type equation // Differ. Uravn., 1974. Vol. 10, no. 1. Pp. 78-88]. 14. Н. И. Мусхелишвили, Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1946; англ. пер.: N. I. Muskhelishvili, Singular Integral Equations. Groningen: Noordhoff, 1953. Поступила в редакцию 22/X/2012; в окончательном варианте 16/XI/2012. MSC: 35M10; 26A33, 35A05 ON THE PROBLEM WITH GENERALIZED OPERATORS OF FRACTIONAL DIFFERENTIATION FOR MIXED TYPE EQUATION WITH TWO DEGENERACY LINES O. A. Repin1,2 , S. K. Kumykova3 1 Samara State Economic University, 141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russia. 2 Samara State Technical University, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia. 3 Kabardino-Balkarian State University, 173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russia. E-mails: matstat@mail.ru, bsk@rect.kbsu.ru The nonlocal problem for mixed-type equation with perpendicular lines of degeneracy is investigated for the case when the Dirichlet condition is given on the elliptic bound- ary, and the generalized derivatives of the solution values on the characteristics are pointwise related to the solution and its normal derivatives values on the lines of a parabolic degeneracy in its hyperbolic parts. Key words: nonlocal problem, regular solution, operators of fractional integro- differentiation, Cauchy problem, Fredholm equation, singular integral equation with Cauchy kernel, regularizer, Abel equation. Original article submitted 22/X/2012; revision submitted 16/XI/2012. Oleg A. Repin (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Head of Dept., Dept. of Mathematical Statistics & Econometrics1 ; Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science2 . Svetlana K. Kumykova (Ph. D.(Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Function Theory.

About the authors

Oleg Aleksandrovich Repin

Samara State Technical University; Samara State University of Economics

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Svetlana Kanshubievna Kumykova

Kabardino-Balkar State University

Email: bsk@rect.kbsu.ru, alimka_87@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files