Modified boundary element method for the solution of connected problems of mathematical physics

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 172-180 УДК 519.634 МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СВЯЗНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В. П. Федотов Институт машиноведения УрО РАН, Россия, 620049, Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34. E-mail: fedotov@imach.uran.ru Предложен модифицированный метод граничных элементов для физико-мате- матического моделирования связных процессов. Физическое моделирование осно- вано на теореме Онзагера связи обобщённых сил и потоков, где предполагается нелинейность коэффициентов взаимности. Подход иллюстрируется на примере диаграммы деформирования. Математическое моделирование основано на моди- фикации метода граничных элементов, основанной на исключении некоррект- ных операций численного дифференцирования и интегрирования. Ключевые слова: фазовый переход, открытые системы, напряжения, деформа- ции, деформационный ресурс, интегральные уравнения, функции влияния, задачи эллиптического и гиперболического типов. Введение. Развитие методов решения задач математической физики и вы- сокопроизводительных компьютерных комплексов позволяет помимо предва- рительных расчётов ставить задачу мониторинга сложных систем в условиях реальной эксплуатации. Поведение элементов сложных систем определяется их физико-механиче- ским откликом на силовые, температурные, диффузионные, магнитные, ди- намические и другие воздействия. Это приводит к постановке связных, в ос- новном нелинейных задач. Перекрестные эффекты определяются феномено- логическими составляющими соответствующих систем уравнений, в которых необходимо учитывать характерные времена и представительные объемы для моделирования связных процессов. Они могут содержать не только искомые величины, но и их производные первого и второго порядков. Это требует больших вычислительных затрат и точности вычислений не только искомых величин, но и их производных минимум до второго порядка, что приводит при численном счете к некорректной задаче. Для повышения скорости счета и точности вычислений предлагается мо- дифицированный метод граничных элементов (МГЭ) для решения задач эл- липтического, параболического и гиперболического типов как базовой основы для решения нелинейных и связных задач математической физики. Модифи- кация базируется на аналитическом вычислении интегралов и производных от функций влияния задач указанных трёх типов и распараллеливании на всех этапах решения задач на уровне алгоритма. Для получения аналитиче- ских формул для точного вычисления интегралов от функций влияния и их производных вводится фиксированный базовый элемент. Интегрирование компонент функций влияния по произвольному участку границы сводится Владимир Петрович Федотов (д.т.н., проф.), главный научный сотрудник, лаб. приклад- ной механики. 172 Модифицированный метод граничных элементов для решения связных задач . . . к интегрированию по фиксированному базовому элементу с последующим линейным преобразованием сдвига и поворота. Интегрирование для всех ти- пов задач производится один раз, в результате чего получены компактные формулы, удобные для программирования. 1. Физическое моделирование. Для мониторинга сложных систем в ре- альных условиях необходимо знание текущих физико-механических характе- ристик. Например, для анализа прочности необходимы феноменологические уравнения связи напряжений деформаций, температуры, концентрации ле- гирующих элементов и т.п. Но получение их экспериментальными метода- ми в действующей конструкции трудоемко, а зачастую невозможно. Даль- нейшее изложение основано на предположении о невозможности получения физико-механических характеристик и введения понятий устойчивости, раз- рушения, ресурса и т.п. в рамках замкнутой системы, поскольку они напря- мую связаны с характером обмена с внешней средой. Феноменологические соотношения взаимности связных задач могут быть сформулированы в рам- ках открытых неравновесных систем на основе подхода Онзагера для связ- ных физико-механических задач, согласно которому устанавливается связь между обобщёнными потоками Jk и обобщёнными силами Xk: Jk = LkmXm. Как гипотезу, имеющую подтверждение на практике, примем, что коэффици- енты взаимности Lkm, линейные по Онзагеру, могут зависеть от обобщённых сил Lkm = Lkm(Xm). Произведение обобщённых сил Xk и обобщённых по- токов Ik представляет собой скорость роста энтропии S в изолированной си- стеме [1]. Если система открытая, то полную скорость роста энтропии можно представить в виде двух слагаемых S = Se + Si = XeIe + XiIi, (1) где Se = XeIe изменение энтропии за счет обмена энергией с внешними системами, Si = XiIi > 0 изменение энтропии за счет внутренних неравно- весных процессов. С учётом (1) запишем уравнение сохранения энергии: - d dt = T0 S = T0XeIe + T0XiIi = 0, где параметр T0 имеет смысл температуры. Здесь (yk) называется функцией Ляпунова, или энергетической функцией. В замкнутой системе положительно определенная функция (yk) обладает таким свойством, что функция d(yk) dt = yk dyk dt = -T0 S = (T0Xi)(-Ji) является знакоотрицательной, а движение системы, соответствующей (yk), устойчиво, тогда как фазовый переход от упругости к пластичности и разру- шение связаны с потерей устойчивости. Поэтому для их описания необходимо рассматривать открытую систему. 173 В. П. Ф е д о т о в Рассмотрим физическое моделирование на примере процесса деформиро- вания. Будем рассматривать деформированный образец как открытую систе- му. В качестве внутренней обобщённой силы Xi будет выступать деформация образца /T0, в качестве внутреннего обобщённого потока Ji внутреннее напряжение . В качестве обобщённого внешнего потока Je возьмем внешнее напряжение p. Отметим, что отождествления внешнего p и внутреннего напряжений нет. В этом случае можно сразу записать условие сохранения энергии - d dt = = -p + = -p + L() = 0. Следуя Коши, будем считать, что в упругой области коэффициент Онзагера зависит от обобщенной силы следующим образом: L() = E(1 - k + m2 ). (2) Поведение рассматриваемой системы (деформирование образца) полностью определяется потенциалом = 0 E(1 - k + m2 )d - p = E2 2 - Ek3 3 + Em4 4 - p (3) и описывается вариационным уравнением = E - Ek2 + Em3 - p = 0. Исследования этой системы методами синергетики [3] окончательно приводят к уравнению в упругой области: = E 1 - 1 3 E c + 1 27 E2 2 c 2 = 0, k = 1 3 E p , m = 1 27 E2 2 p . Рис. 1. Упругий участок при различных значениях k и m Схематично отклик системы на внешнее воз- действие представлен на рис. 1. Здесь Q кри- тическая точка. Если внешнее напряжение вы- ше напряжения в этой точке хрупкое разруше- ние. AB метастабильное состояние, где возмо- жен фазовый переход второго рода с образовани- ем диссипативных структур [3], BC неустойчи- вый участок, на котором возможен перескок на другую устойчивую ветвь, CD площадка те- кучести , ABC зуб текучести . Для построения модели диссипативного про- цесса будем постулировать аддитивность процес- са дислокационного упрочнения и разупрочне- ния от образования пространственных дефектов несплошностей [4], т.е. диаграмму представим в виде = T + 1 - T

About the authors

Vladimir Petrovich Fedotov

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences

Email: fedotov_vp@mail.ru, fedotov@imach.uran.ru
Doctor of technical sciences, Main Scientist Researcher

References

Supplementary files