Infinite motion in the classical functional mechanics

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 222-232 УДК 517.958 ИНФИНИТНОЕ ДВИЖЕНИЕ В КЛАССИЧЕСКОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ А. И. Михайлов1,2 1 Всероссийский научно-исследовательский институт рыбного хозяйства и океанографии, 107140, Россия, Москва, ул. Верхняя Красносельская, 17. 2 Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8. E-mail: mikhailov1984@gmail.com В работе исследуется описание инфинитного движения в функциональной фор- мулировке классической механики. На примере простых точно решаемых задач (прохождения через барьер и падения на центр) рассматривается два класса проблем: рассеяние и сингулярность. Вычисляются функционально механиче- ские поправки к средним значениям и дисперсиям канонических переменных, обу- словленные рассеянием, в частности в простейшем случае прохождения через барьер возникает сдвиг среднего значения координаты на константу, зависящую от параметров барьера, и логарифмическая по времени поправка к дисперсии ко- ординаты свободного движения. Также показано, что функционально механиче- ский подход приводит к устранению сингулярности в кинетической энергии при падении на центр, эквивалентном решению уравнения Фридмана в космологии. Ключевые слова: классическая механика, проблема необратимости, уравнение Лиувилля, задачи рассеяния, проблема сингулярности, вселенная Фридмана. Введение. В 2008 году И. В. Воловичем [1] была предложена переформу- лировка гамильтоновой динамики классическая функциональная механи- ка. Основной мотивацией пересмотра основ механики была проблема необ- ратимости макроскопической динамики, возникающая при обосновании тер- модинамики [2]. Классический подход к решению этой проблемы, основан- ный на методе Боголюбова [3], предполагал вывод необратимых кинетических уравнений из обратимых уравнений механики; здесь же предлагалось обна- ружить необратимость в самих микроскопических уравнениях, естественно, таким образом, чтобы в новых уравнениях микроскопической динамики так или иначе содержалась классическая механика. В новом подходе фундамен- тальное описание динамики задается уравнениями Лиувилля или Фоккера Планка, где состоянием системы полагается плотность вероятности, т. е., как и в квантовой механике, состояние и наблюдаемые (например координаты в фазовом пространстве) более не совпадают. Использование плотности веро- ятности в качестве состояния системы обусловлено конечной точностью из- мерений [4], а также, в случае уравнения Фоккера Планка, наличием малых неучтенных взаимодействий. Иными словами, исследуется реакция классиче- ской гамильтоновой системы на малые флуктуации начальных данных или движения. Сами классические траектории движения возникают как характе- ристики уравнения Лиувилля или как частный случай траектории стохасти- ческого процесса при отсутствии шума. Как было показано в последующих работах по функциональной механике [5-7], платой за необратимость мик- Андрей Игоревич Михайлов, младший научный сотрудник, лаб. системного анализа1 ; младший научный сотрудник, научно-образовательный центр2 . 222 Инфинитное движение в классической функциональной механике роскопических уравнений являются поправки к ньютоновским траекториям движения средние от наблюдаемых не совпадают с наблюдаемыми, вычис- лительными на средних значениях начальных данных, в частности, траекто- рии средних значений координат в фазовом пространстве будут отклонятся от траектории характеристики. Вид этих отклонений был исследован на ко- нечных временах, пусть и сравнимых в ряде случаев со временем возвраще- ния системы. В этой работе ставится задача исследования поправок на асимп- тотике инфинитного движения. Траектория может уйти на бесконечность как за бесконечное, так и за конечное время. Первому случаю соответствует задача рассеяния, второму проблема сингулярности. Способ решения этих задач в рамках функциональной механики будет проиллюстрирован на двух простейших точно решаемых примерах рассеянии на барьере и падении на центр соответственно. Общая постановка задачи рассеяния в функциональной механике тако- ва. Рассматривается уравнение Лиувилля, описывающее эволюцию функции распределения частицы, движущейся в потенциальном поле. Потенциал за- дается функцией с компактным носителем или же функцией, убывающей на бесконечности хотя бы степенным образом так, чтобы движение можно было считать свободным на бесконечно большом расстоянии от центра рас- сеяния. Далее ставится задача Коши с некоторыми начальными данными in(p, q) L1(R2n); p, q Rn; in L1 = 1: t + [H, ] = 0, H = p2 2m + U(q); (0, p, q) = in(p, q). Пусть y(t, p, q) и x(t, p, q) есть характеристики уравнения Лиувилля, т. е. ре- шения уравнений Гамильтона для импульса и координаты соответственно: y = - H(y, x) x , x = H(y, x) y ; y(0) = p, x(0) = q. Тогда решение уравнение Лиувилля задаётся следующим выражением: (t, p, q) = in y(-t, p, q), x(-t, p, q) , в чём нетрудно убедиться прямой подстановкой. Решением задачи рассеяния будем называть такую плотность вероятности out(p, q) L1(R2n); p, q Rn; out L1 = 1, что lim t+ in(y(-t, p, q), x(-t, p, q)) - out(p, q - pt) L 1 = 0. Заметим, что мы потребовали только слабой сходимости функций плотно- сти, поскольку дальнейшие рассуждения будут опираться на поведение мо- ментов распределения, т. е. вполне определенных линейных функционалов, что вполне согласуется с теоремами о существовании слабого предела вероят- ностной меры [16]. Линейный оператор, задающий преобразование in(p, q) out(p, q), естественно называть оператором рассеяния по аналогии с матри- цей рассеяния в квантовой механике. Далее мы рассмотрим простейшую за- дачу рассеяния, классическое решение которой прекрасно известно и не пред- ставляет трудности, однако функционально механическая постановка задачи 223 А. И. М и х а й л о в приведёт к ряду нетривиальных эффектов возникнут асимптотические по- правки к траекториям средних значений координат и импульсов, а также старших моментов. 1. Прохождение через барьер. Рассмотрим задачу прохождения через ба- рьер: t + [H, ] = 0, H = p2 2m + U0((q) - (q - q0)); (0, p, q) = 0(p, q), где U0 = p2 0/2m высота барьера , а q0 ширина. Задача решается методом характеристик (t, y, x) = 0 y(-t, p, q), x(-t, p, q) , где (y(t, p, q), x(t, p, q)) траектория характеристики в фазовом пространстве ((y, x) и (p, q) текущие и начальные импульс и координата соответственно), представляющая в данном случае кусочно-линейную ломаную: y(t, p, q) = p, t < -q p; (p - p0)(p + p0), -q p < t < -q p + q0

About the authors

Andrey Igorevich Mikhailov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Russian Federal Research Institute of Fisheries and Oceanography

Email: mihailov@realmail.ru, mikhailov1984@gmail.ru
without scientific degree, no status

References

Supplementary files