On a rigorous definition of microscopic solutions of the Boltzmann–Enskog equation

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 270-278 УДК 517.958 О СТРОГОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ЭНСКОГА А. С. Трушечкин Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8. E-mail: trushechkin@mi.ras.ru Н. Н. Боголюбовым были открыты микроскопические решения уравнения Больц- мана Энскога в кинетической теории упругих шаров. Они имеют вид сумм дельта-функций и соответствуют точной микроскопической динамике. Однако это было сделано на физическом уровне строгости. В частности, не обсуж- дались произведения обобщённых функций в интеграле столкновений. В данной работе микроскопическим решениям придаётся строгий смысл при помощи вве- дения регуляризации. Также из уравнения Власова выведены новые кинетиче- ские уравнения для газа из упругих шаров. Ключевые слова: кинетические уравнения, уравнение Больцмана Энскога, урав- нение Власова, микроскопические решения, обобщённые функции. Введение. В известной работе Н. Н. Боголюбова [1] (см. также [2]) показа- но, что кинетическое уравнение Больцмана Энскога для функции плотности газа из упругих шаров имеет микроскопические решения. Эти решения име- ют вид сумм дельта-функций и соответствуют динамике отдельных шаров (микроскопической динамике). Факт наличия таких решений является уди- вительным, поскольку считается, что уравнение Больцмана Энскога опи- сывает динамику газа лишь в приближении малой плотности. Эти решения показывают, что данное кинетическое уравнение включает в себя и точную микроскопическую динамику. Кроме того, микроскопическая динамика обра- тима по времени, в то время как уравнение Больцмана Энскога описывает необратимую динамику и возрастание энтропии. Однако микроскопические решения определены Н. Н. Боголюбовым на физическом уровне строгости. Основной целью настоящей работы является придание строгого смысла этим решениям. Один из способов приведён нами в более ранней работе [3]. Здесь мы приведём другой, более естественный способ. Он основан на понятии мягкого решения. Также мы получим новые кинетические уравнения для газа из упругих шаров, рассматривая потенциал упругих шаров для уравнения Власова (ко- торое также имеет микроскопические решения, что было показано самим А. А. Власовым [4]). Они применимы в другой физической ситуации, нежели уравнение Больцмана Энскога. 1. Уравнение Больцмана Энскога. Кинетическое уравнение Больцмана Энскога, описывающее динамику газа из упругих шаров, имеет вид f t = -v1 f r1 + Q(f, f), (1) Антон Сергеевич Трушечкин (к.ф.-м.н.), научный сотрудник, отдел математической фи- зики. 270 О строгом определении микроскопических решений уравнения Больцмана Энскога Q(f, f)(r1, v1, t) = na2 (v21,) 0 (v21, )[f(r1, v1, t)f(r1 + a, v2, t)- -f(r1, v1, t)f(r1 - a, v2, t)]ddv2. Здесь f = f(r1, v1, t) функция плотности шаров в фазовой точке (r1, v1), где r1 пространственные координаты шара (т.е. координаты его центра), v1 скорость шара. Для простоты (чтобы не брать во внимание граничные эф- фекты) будем считать, что газ заключён в трёхмерный тор T3. Тогда r1 T3, v1 R3, t R, n, a > 0 положительные постоянные. Постоянная a радиус шара. Смысл постоянной n зависит от нормировки функции f. Если функция f нормирована на единицу, т.е. fdr1dv1 = 1 (тогда f функция плотности вероятности), то n число шаров в газе (обозначим его через N). Если f нормирована на число шаров N, то n = 1. Если f нормирована на объём V ёмкости, в которую заключён газ (в нашем случае это трёхмерный тор, но для общности не выписываем явную формулу объёма), то n = N/V концентрация шаров. В такой нормировке и будем работать. Пусть v1 = v1 + (v21, ), v2 = v2 - (v21, ), v21 = v2-v1, S2 (S2 двухмерная сфера), (·, ·) скалярное произведение; v1 и v2 имеют смысл скоростей первого и второго шара до столкновения; v1 и v2 после столкновения; имеет смысл единичного вектора, направленного из центра второго шара в центр первого шара. Выражение Q(f, f) называется интегралом столкновений. От более известного уравнения Больцмана уравнение Больцмана Энско- га отличается тем, что шары имеют ненулевой радиус a. Уравнение Больц- мана формально получается из уравнения Больцмана Энскога в пределе Больцмана Грэда: n , a 0, na2 = const. Можно также показать, что в этом пределе решения уравнения Больцмана Энскога стремятся к ре- шениям уравнения Больцмана [5]. Определение. 1) Под классическим решением уравнения Больцмана Энскога понима- ется функция f(r1, v1, t) класса C1(T3 R3 [0, )), удовлетворяющая уравнению (1); 2) Под мягким решением уравнения Больцмана Энскога понимается функ- ция f(r1, v1, t) класса C([0, ); L1(T3 R3)), удовлетворяющая уравне- нию f(r1, v1, t) = f0 (r1 - v1t, v1) + t 0 Q(f, f)(r1 - v1(t - s), v1, s) ds, (2) где f0(r1, v1) L1(T3 R3) начальная функция. Очевидно, классическое решение, если оно интегрируемо, также является и мягким: в этом случае интегро-дифференциальное уравнение (1) эквива- лентно интегральному уравнению (2). Мягкое решение, если оно непрерывно дифференцируемо, также является и классическим. Чтобы это увидеть, до- статочно продифференцировать уравнение (2). Доказана глобальная теорема существования мягкого решения [5]. 271 А. С. Т р у ш е ч к и н 2. Микроскопические решения. Рассмотрим (обобщённые) функции вида f(r1, v1, t) = n-1 N i=1 (r1 - qi(t), v1 - wi(t)), (3) где q1(t), w1(t), . . . , qN (t), wN (t) координаты и скорости N шаров в момент t (под координатой шара понимается координата его центра). Здесь (r, v) (r)(v) шестимерная дельта-функция, (r) и (v) трёхмерные дельта- функции. Зависимость от времени в (3) задаётся законами движения упругих шаров. Всегда будем предполагать, что начальные условия qi(0) = q0 i , wi(0) = = w0 i , i = 1, . . . , N, таковы, что |q0 i -q0 j | a при i = j, т.к. шары твёрдые и не могут проникать друг в друга. В этом случае неравенство |qi(t) - qj(t)| a при i = j выполнено для произвольного момента времени. Таким образом, набор функций (q1(t), . . . , wN (t)) задаёт траекторию дви- жения N упругих шаров в фазовом пространстве. На физическом уровне строгости Н. Н. Боголюбов показал, что функции (3) являются решения- ми уравнения Больцмана Энскога. Эти решения называются микроскопиче- скими, поскольку они соответствуют точной динамике отдельных шаров, т.е. микродинамики. В противоположность этому классические решения кинети- ческого уравнения описывают динамику газа упругих шаров на макроскопи- ческом уровне. Говоря об индивидуальных траекториях, мы исключаем траектории, ко- торые на рассматриваемом конечном промежутке времени приводят к трой- ным столкновениям или к бесконечному числу парных столкновений. Можно показать, что мера таких траекторий равна нулю [6]. Помимо того что кинетическое уравнение содержит точную динамику ша- ров, удивительным здесь является то, что микроскопические решения обра- тимы по времени: если f(r1, v1, t) микроскопическое решение, то f(r1, -v1, -t) другое микроскопическое решение (следствие обратимости динамики шаров). Напротив, классические и мягкие решения уравнения Больцмана Энскога описывают необратимую динамику газа и возрастание энтропии. Строгое определение того, в каком смысле (3) является решением (1), наталкивается на трудности. Формальная подстановка даёт в правой части произведение дельта-функций, что, как известно, математически некоррект- но. В левой части мы тоже получим произведения сингулярных обобщённых функций: по правилу дифференцирования сложной функции в левую часть будут входить слагаемые вида (f/wi) · (dwi/dt). Поскольку скорости wi(t) меняются скачкообразно, то эти слагаемые будут представлять собой произ- ведения дельта-функций и их производных. Более естественно понимать функции (3) как решения уравнения (1) в ин- тегральном смысле, т.е. как решения уравнения (2). Тогда левая часть опре- делена корректно как обобщённая функция. Но в правой части остаются произведения обобщённых функций. Поэто- му строгий смысл микроскопическим решениям удаётся придать, только ес- ли рассматривать предел подстановки в (2) сумм дельта-образных гладких функций. Теорема. Рассмотрим функции f(r1, v1, t) = n-1 N i=1 (r1 - qi(t), v1 - wi(t)), 272 О строгом определении микроскопических решений уравнения Больцмана Энскога f(r1, v1, t) = n-1 N i=1 (r1 - qi(t), v1 - wi(t)), f0 (r1, v1) = n-1 N i=1 (r1 - q0 i , v1 - w0 i ), где q0 i = qi(0), wi(0) = w0 i , i = 1, . . . , N, D(T3 R3) дельта-образное се- мейство функций (D пространство бесконечно дифференцируемых функ- ций с компактным носителем), т.е. при 0 в D(T3 R3). Тогда для всех t в пространстве обобщённых функций D (T3 R3) имеет место предел lim 0 lim 0 t 0 Q (f, f)[r1 - v1(t - s), v1, s] ds = f(r1, v1, t) - f0 (r1 - v1t, v1), (4) Q (f, f) = na2 (v21,) 0 (v21, )[f(r1, v1, t)f(r1 + (a + ), v2, t)- -f(r1, v1, t)f(r1 - (a + ), v2, t)]ddv2. (5) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D(q0 1, w0 1, . . . , q0 N , w0 N ) произвольная беско- нечно дифференцируемая и финитная функция, удовлетворяющая условию GN D(q0 1, . . . , w0 N ) dq0 1 . . . dw0 N = 1, где G = T3 R3, и равная нулю, если |q0 i - q0 j | < a при i = j. Она имеет смысл начальной функции плотности системы N шаров. Пусть также она симметрична относительно перестановок пар (q0 i , w0 i ). Тогда функции F1(r1, v1,0) = V GN-1 D(q0 1, . . . , w0 N ) dq0 2 . . . dw0 N , F2(r1, v1, r2, v2,0) = V 2 1 - 1 N GN-2 D(q0 1, . . . , w0 N ) dq0 3 . . . dw0 N суть одно- и двухчастичные функции плотности соответственно. Они удовле- творяют уравнению (первому уравнению цепочки Боголюбова для упругих шаров) [1, 7] F1(r1, v1, t) = F1(r1 - v1t, v1,0) + t 0 Q2(F2)(r1 - (t - s)v1, v1, s) ds, Q2(F2)(r1, v1, t) = na2 lim 0 (v21,) 0 (v21, )[F2(r1, v1, r1 + (a + ), v2, t)- - F2(r1, v1, r1 - (a + ), v2, t)]ddv2. (6) 273 А. С. Т р у ш е ч к и н В D(T3 R3) имеет место соотношение F1(r1, v1, t) = GN f(r1, v1, t)D(q0 1, . . . , w0 N ) dq0 1 . . . dw0 N . При |r2 - r1| > a также имеет место предел F2(r1, v1, r2, v2, t) = lim 0 GN f(r1, v1, t)f(r2, v2, t)D(q0 1, . . . , w0 N ) dq0 1 . . . dw0 N . (7) Подставляя эти соотношение в первое уравнение цепочки Боголюбова, полу- чаем GN [f(r1, v1, t)-f0 (r1 -v1t, v1)- lim 0 lim 0 t 0 Q (f, f)(r1 -(t-s)v1, v1, t)ds] D(q0 1, . . . , w0 N ) dq0 1 . . . w0 N = 0. В силу произвольности функции D и непрерывной зависимости от q0 1, . . . , w0 N выражения в квадратных скобках (как обобщённой функции) отсюда следует тождественное равенство нулю этого выражения. Замечание. Обычно третий аргумент функции F2 под интегралом столк- новений (6) выглядит как r1 a. Однако всегда под этой записью подразу- мевается r1 (a + 0) lim 0[r1 (a + )]. Это связано с тем, что двух- частичная функция плотности F2(r1, v1, r2, v2) разрывна при |r1 - r2| = a. В самом деле, F2(r1, v1, r2, v2) = 0 при |r1 -r2| < a (шары не могут проникать друг в друга), но может быть F2(r1, v1, r2, v2) > 0 при |r1 - r2| = a + 0. Добавка + в аргументах функции f в интеграле столкновения (5) и устремление к нулю уже после предельного перехода 0 являются важ- ными для того, чтобы предел (4) не зависел от выбора регуляризации дельта- функции . Это связано с тем, что равенство (7), вообще говоря, неверно при |r1 - r2| = a для произвольной регуляризации (вследствие разрывности F2 в этих точках). При наличии добавки + в интеграле столкновения достаточно выполнения равенства (7) только при |r1 - r2| > a. Замечание. Можно также доказать теорему через непосредственные пре- образования выражений (4), (5) с регуляризованными дельта-функциями, не используя первое уравнение цепочки Боголюбова. Доказательство будет опубликовано в дальнейших работах. 3. Предел упругих шаров для кинетического уравнения Власова. Другим кинетическим уравнением, обладающим микроскопическими решениями, яв- ляется уравнение Власова: f t = -v1 f r1 + n f v1 (|r1 - r2|) r1 f(r2, v2, t)dr2dv2. (8) Наличие у этого уравнения решений вида (3), где qi(t) и wi(t), i = 1, . . . , N, являющихся решениями уравнений движения qi(t) = wi(t), wi(t) = - i=j (|qi(t) - qj(t)|) qi(t) (9) 274 О строгом определении микроскопических решений уравнения Больцмана Энскога (для простоты положили массу частицы равной единице), было открыто са- мим А. А. Власовым [4]. Считается, что потенциал дальнодействующий. Однако возьмём по- тенциал специального (короткодействующего) вида: (x) = K + - (a - y)(x - y)dy, (10) где K, a > 0, (x) функция Хевисайда (функция- ступенька ), (x) про- извольная финитная функция, стремящаяся к (x) при 0. Таким образом, потенциал представляет собой сглаженную версию потенциала- ступеньки 0(x) = K(a - x), при больших K соответству- ющего потенциалу упругих шаров. Если мы имеем систему конечного числа шаров в заданном состоянии, то K может быть выбрано большей, чем энергия системы. Тогда решения системы уравнений (9) с потенциалом в пределе 0 переходят в траектории упругих шаров. Исследуем предел уравнения Власова (8) с потенциалом (10) при 0. Теорема. lim 0 (|r1 - r2|) r1 f(r2, v2, t) dr2dv2 = a2 K S2R3 f(r1 + a, v2, t)ddv2. Д о к а з а т е л ь с т в о. (|r1 - r2|) r1 = (|r1 - r2|) |r1 - r2| r1 = (|r1 - r2|) r1 - r2 |r1 - r2| , lim 0 (x) = K d(a - x) dx = -K(x - a). Итак, lim 0 (|r1 - r2|) r1 f(r2, v2, t) dr2dv2 = = K f(r2, v2, t) r2 - r1 |r2 - r1| (|r2 - r1| - a)dr2dv2. Выполняя замену переменных r2 = r1 + R, dr2 = dR = |R|2d|R|d, где = = R/|R| S2, и интегрируя по |R|, получаем утверждение теоремы. Таким образом, в рассматриваемом пределе мы получили уравнение f t = -v1 f r1 + na2 K f v1 S2R3 f(r1 + a, v2, t)ddv2. (11) Оно отличается от уравнения Больцмана Энскога. По-видимому, уравнение (11) описывает кинетику газа в другой физической ситуации. Представляет интерес исследование области применимости уравнения (11). Отметим, что, в отличие от уравнения Больцмана Энскога и уравнения Власова до предельного перехода 0, уравнение (11) не имеет микро- скопических решений. Также, в отличие от уравнения Больцмана Энскога, 275 А. С. Т р у ш е ч к и н уравнение (11) обратимо (т.е. если f(r1, v1, t) решение (11), то f(r1, -v1, -t) тоже решение (11)). Осуществим предельный переход n , K , a 0, na3K = = (4 3 )-1 = const = 0 (т. е. предел бесконечной концентрации, бесконечно высокого потеницального барьера, что, собственно, и отвечает случаю упру- гих шаров, и бесконечно малого радиуса шаров). Раскладывая тогда f(r1 + + a, v2, t) по формуле Тейлора возле точки a = 0 f(r1 + a, v2, t) = f(r1, v2, t) + a f r1 (r1, v2, t) + o(a) и интегрируя по , получаем в этом пределе уравнение f t = -v1 f r1 + f v1 R3 f(r1, v2, t) r1 dv2. (12) Можно показать, что при гидродинамической подстановке f(r, v, t) = (r, t)(v - V (r, t)) это уравнение переходит в гидродинамическое уравнение Эйлера для сжима- емой жидкости. Заключение. Мы придали строгий смысл микроскопическим решениям уравнения Больцмана Энскога, которое описывает динамику газа из упру- гих шаров. Эти решения понимаются как предел (4). Также, перейдя к пре- делу потенциала упругих шаров для уравнения Власова, мы получили новые кинетические уравнения (11) и (12). В отличие от уравнения Больцмана Эн- скога, они обратимы по времени, и, по-видимому, описывают кинетику газа в другой физической ситуации. В заключение отметим, что данная работа разивает идеи функциональной механики И. В. Воловича [8, 9] (см. также [10-13]). В функциональной меха- нике в качестве фундаментального уравнения классической физики предла- гается уравнение Лиувилля или более общее уравнение Фоккера Планка Колмогорова [14]. Здесь же мы фактически предлагаем постулировать кине- тическое уравнение Больцмана Энскога (если рассматриваемая система упругие шары), которое включает в себя как необратимую динамику газа как целого, так и обратимую динамику отдельных шаров. А. А. Власов в качестве фундаментального уравнения классической фи- зики предлагает своё уравнение [4]. В развитие этих идей в работе [15] в качестве таковых предлагаются системы уравнений Власова Янга Миллса и Власова-Эйнштейна. В нашем частном случае мы также можем постули- ровать кинетическое уравнение Власова с регуляризованным потенциалом упругих шаров (10), но оно, как и микродинамика, обратимо, и в пределе из него, как мы показали, получается не уравнение Больцмана Энскога, а другое кинетическое уравнение. Также можно сравнить полученные результаты с теоремами о диффузии В. В. Козлова [16, 17] для бесстолкновительной сплошной среды в ограни- ченном объёме. Динамика среды задаётся уравнением Лиувилля. Если мы рассмотрим некоторое решение этого уравнения, имеющее вид суммы дельта- функций, то в соответствии с теоремой Пуанкаре о возвращении решение бу- дет периодическим или почти периодическим. Если же мы будем рассматри- 276 О строгом определении микроскопических решений уравнения Больцмана- Энскога вать решения в классе интегрируемых функций, то пространственная плот- ность на больших временах будет сходиться к равномерной в смысле сла- бого предела. Таким образом, асимптотические свойства динамики зависят от функционального класса решений. Но в любом случае уравнение Лиувил- ля обратимо по времени. В случае же уравнения Больцмана Энскога само свойство обратимости или необратимости зависит от функционального клас- са решений. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда- ментальных исследований (проект 12-01-37273-мол_а), гранта Президента РФ (проект НШ 2928.2012.1) и Федеральной целевой программы Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы (соглашение 8215). Автор выражает глубокую благодарность В. В. Веденяпину, И. В. Воловичу, Т. В. Дуд- никовой, Е. И. Зеленову, В. В. Козлову, С. В. Козыреву, А. И. Михайлову, А. Н. Печеню, Е. В. Радкевичу, О. Г. Смолянову, Г. Шпону за постановку некоторых задач, полезные за- мечания и обсуждения. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Н. Н. Боголюбов, Микроскопические решения уравнения Больцмана-Энскога в ки- нетической теории для упругих шаров // ТМФ, 1975. Т. 24, 2. С. 242-247; англ. пер.: N. N. Bogolyubov, Microscopic solutions of the Boltzmann-Enskog equation in kinetic theory for elastic balls // Theoret. and Math. Phys., 1975. Vol. 24, no. 2. Pp. 804-807. 2. Н. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов (мл.), Введение в квантовую статистическую ме- ханику. М.: Наука, 1984. 385 с.; англ. пер.: N. N. Bogolubov, N. N. Bogolubov (Jr.), Introduction to Quantum Statistical Mechanics, 2nd. Singapore: World Scientific, 2009. 440 pp. 3. A. S. Trushechkin, Derivation of the particle dynamics from kinetic equations // p-Adic Numb. Ultr. Anal. Appl., 2012. Vol. 4, no. 2. Pp. 130-142, arXiv: 1201.3607 [math-ph]. 4. А. А. Власов, Теория многих частиц. М.: Гостехиздат, 1950. 348 с. [A. A. Vlasov, Theory of many particles. Moscow: Gostekhizdat, 1950. 348 pp.] 5. Arkeryd L., Cercignani C., Global existence in L1 for the Enskog equation and convergence of the solutions to solutions of the Boltzmann equation // J. Stat. Phys., 1990. Т. 59, no. 3-4. Pp. 845-867 6. Петрина Д. Я., Герасименко В. И., Малышев П. В., Математические основы класси- ческой статистической механики. Киев: Наукова думка, 1985. 263 с. [D. Ya. Petrina, V. I. Gerasimenko, P. V. Malyshev, Mathematical foundations of classical statistical mechanics. Kiev: Naukova Dumka, 1985. 263 pp.] 7. C. Cercignani, Theory and application of the Boltzmann equation. New York: Elsevier, 1975. xii+415 pp.; русск. пер.: К. Черчиньяни, Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. 495 с. 8. И. В. Волович, Проблема необратимости и функциональная формулировка классиче- ской механики // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2008. 8/1(67). С. 35-55, arXiv: 0907.2445 [cond-mat.stat-mech]. [I. V. Volovich, Time Irreversibility Problem and Functional Formulation of Classical Mechanics // Vestnik SamGU. Estestvennonauchn. Ser., 2008. no. 8/1(67). Pp. 35-55]. 9. I. V. Volovich, Randomness in classical and quantum mechanics // Found. Phys., 2011. Vol. 41, no. 3. Pp. 516-528. 10. А. И. Михайлов, Функциональная механика: эволюция моментов функции распре- деления и теорема о возвращении // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. 1(22). С. 124-133; англ. пер.: A. I. Mikhaylov, Functional mechanics: Evolution of the moments of distribution function and the Poincare recurrence theorem // p-Adic Numb. Ultr. Anal. Appl., 2011. Vol. 3, no. 3. Pp. 205-211. 11. E. V. Piscovskiy, I. V. Volovich,, On the Correspondence Between Newtonian and Functional Mechanics / In: Quantum Bio-Informatic IV / Quantum Probability and White 277 А. С. Т р у ш е ч к и н Noise Analisis, 28; eds. L. Accardy, W. Freudenberg, M. Ohya. Singapure: World Sci, 2011. Pp. 363-372. 12. Е. В. Писковский, О классическом и функциональном подходах к механике // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. 1(22). С. 134-139. [E. V. Piskovskiy, On classical and functional approachs to mechanics // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2011. no. 1(22). Pp. 134-139]. 13. A. S. Trushechkin, I. V. Volovich, Functional classical mechanics and rational numbers // p-Adic Numb. Ultr. Anal. Appl., 2009. Т. 1, no. 4. Pp. 361-367. 14. И. В. Волович, Уравнения Боголюбова и функциональная механика // ТМФ, 2010. Т. 164, 3. С. 354-362; англ. пер.: I. V. Volovich, Bogoliubov equations and functional mechanics // Theoret. and Math. Phys., 2010. Vol. 164, no. 3. Pp. 1128-1135. 15. В. В. Веденяпин, Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит, 2001. 112 с. [V. V. Vedenyapin, Boltzmann and Vlasov Kinetic equations. Moscow: Fizmatlit, 2001. 112 pp.] 16. В. В. Козлов, Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М., Ижевск: Институт ком- пьютерных исследований, 2002. 320 с. [V. V. Kozlov, Thermal equilibrium in the sense of Gibbs and Poincare. Moscow, Izhevsk: Institut Komp'yuternykh Issledovanij, 2002. 320 pp.] 17. В. В. Козлов, Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008. 208 с. [V. V. Kozlov, Gibbs Ensembles and Non-equilibrium Statistical Mechanics. Moscow, Izhevsk: Institut Komp'yuternykh Issledovanij, 2008. 208 pp.] Поступила в редакцию 19/XI/2012; в окончательном варианте 27/I/2013. MSC: 82C40; 82C70, 35Q20, 35Q83 ON A RIGOROUS DEFINITION OF MICROSCOPIC SOLUTIONS OF THE BOLTZMANN-ENSKOG EQUATION A. S. Trushechkin Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences, 8, Gubkina st., Moscow, 119991, Russia. E-mail: trushechkin@mi.ras.ru N. N. Bogolyubov discovered microscopic solutions of the Boltzmann-Enskog equation in kinetic theory of hard spheres. These solutions have the form of sums of the delta- functions and correspond to the exact microscopic dynamics. However, this was done at the physical level of rigour. In particular, Bogolyubov did not discuss the products of generalized functions in the collision integral. Here we give a rigorous sense to microscopic solutions by use of regularization. Also, starting from the Vlasov equaton, we obtain new kinetic equations for a hard sphere gas. Key words: kinetic equations, Boltzmann-Enskog equation, Vlasov equation, micro- scopic solutions, generalized functions. Original article submitted 19/XI/2012; revision submitted 27/I/2013. Anton S. Trushechkin (Ph. D. (Phys. & Math.)), Scientific Researcher, Dept. of Mathematical Physics. 278

About the authors

Anton Sergeevich Trushechkin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: trushechkin@mi-ras.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

Supplementary files