The influence of the characteristics of the external circuit on the form of the electric pulse in the tasks of direct piezoeffect

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 288-296 УДК 539.3 ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ НА ФОРМУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА В ЗАДАЧАХ ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА Д. А. Шляхин Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194. E-mail: d-612-mit2009@yandex.ru Рассматривается осесимметричная нестационарная задача электроупругости для сплошного пьезокерамического аксиально поляризованного цилиндра при дей- ствии кинематической нагрузки в виде известных механических перемеще- ний его торцевых поверхностей, а также электрического потенциала. Новое замкнутое решение построено методом разложения по собственным вектор- функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Полу- ченные расчётные соотношения позволяют проанализировать влияние харак- теристик внешней цепи на форму и величину индуцируемого электрического импульса в нестационарных задачах прямого пьезоэффекта. Ключевые слова: нестационарная задача прямого пьезоэффекта, пьезокерамиче- ский цилиндр, электрические граничные условия. Введение. В задачах прямого пьезоэффекта процесс деформирования пье- зокерамического тела осуществляется механическим путем с помощью задан- ных напряжений или перемещений. В результате на его электродированных поверхностях появляются свободные заряды, которые, в свою очередь, ока- зывают влияние на исследуемый элемент за счет появления дополнительной электрической индукции. Таким образом, электроупругое состояние внутри образца и на его границе представляет собой суперпозицию волн, возника- ющих за счет механического напряжения (перемещений) и свободных заря- дов [1]. Для упрощения при математическом моделировании данного процес- са, в котором наблюдается многократное проявление прямого и обратного пьезоэффектов, как правило, при формулировке электрических граничных условий используется несколько предельных случаев. В частности, подключение образца к измерительному устройству с боль- шим входным электрическим сопротивлением (режим холостого хода) приво- дит к уменьшению количества свободных зарядов на электродированных по- верхностях, и их влиянием на пьезокерамический элемент в дальнейшем пре- небрегают [2]. В результате появляется возможность заменить точное инте- гральное условие, сформулированное для эквипотенциальных поверхностей, приближенным, означающим отсутствие нормальной составляющей вектора диэлектрической индукции электрического поля во всех точках электродного покрытия. Подтверждение достоверности данного допущения, а также анализ влия- ния характеристик внешней цепи на форму и величину индуцируемого элек- трического импульса в нестационарных задачах прямого пьезоэффекта осу- Дмитрий Аверкиевич Шляхин (к.т.н., доц.), доцент, каф. сопротивления материалов и строительной механики. 288 Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса . . . ществляется на основании построенного в настоящей работе замкнутого ре- шения для сплошного пьезокерамического цилиндра. 1. Постановка задачи. Пусть сплошной цилиндр, занимающий в цилин- дрической системе координат (r, , z) область : {0 r b, 0 2, 0 z h}, представляет пьезокерамическое аксиально-поляризованное те- ло. Рассматривается случай, когда торцевые электродированные плоскости исследуемого элемента подключены к измерительному прибору с электриче- ской проводимостью Y , а цилиндрические неэлектродированные поверхно- сти свободны от механических напряжений. В результате кинематического воздействия в виде известных механиче- ских перемещений торцевых поверхностей W 1 (t) на электродах (z = 0, h) цилиндра появляются свободные заряды, влияние которых на пьезокерамиче- ский элемент учитывается с помощью электрического потенциала 1(r, t). Математическая формулировка рассматриваемой нестационарной осесим- метричной задачи электроупругости в безразмерной форме включает систему дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия [1]: 2 1U + C55 C11 2U z2 + C13 + C55 C11 2W rz + e31 + e15 e33 2 rz - 2U t2 = 0, C55 C11 2 2W + C33 C11 2W z2 + C13 + C55 C11 U z + e15 e33 2 2 + 2 z2 - 2W t2 = 0, e15 e33 2 2W + 2W z2 + e31 + e15 e33 U z - C1111 e2 33 2 2 - C1133 e2 33 2 z2 = 0; (1) z = 0, L : W(r,0, t) = W1(t), W(r, L, t) = -W1(t), rz = C55 C11 W r + U z + e15 e33 r = 0, (r,0, t) = 1(r, t), (r, L, t) = -1(r, t); (2) r = 1, 0 : rr r=1 = U r + C12 C11 U + C13 C11 W z + e31 e33 z = 0, rz r=1 = Dr r=1 = 0 W r + U z r=1 = 0, r r=1 = 0, U(0, z, t) = 0, W(0, z, t) < , (0, z, t) < ; (3) t = 0 : U(r, z,0) = U0(r, z), U(r, z,0) = U0(r, z), W(r, z,0) = W0(r, z), W(r, z,0) = W0(r, z), (4) где {U(r, z, t), W(r, z, t)} = {U(r, z, t), W(r, z, t)}/b; U, W компоненты вектора перемещений; (r, z, t) = (r, z, t) · e33/(bC11); потенциал элек- трического поля; rr, rz, Dr компоненты тензора механических напряже- ний и вектора индукции электрического поля; {r, z, L} = {r, z, h}/b; t = = tb-1 C11/; t время; {U0, U0, W0, W0} = {U 0 , U 0 , W 0 , W 0 }/b; U 0 , U 0 , W 0 , W 0 известные в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений; 2 1 = 2 r2 + 1 r r - 1 r2 , 2 2 = 2 1 + 1 r2 , = r + 1 r . 289 Д. А. Ш л я х и н 2. Построение общего решения. Решение осуществляется методом инте- гральных преобразований, с последовательным использованием косинус- и синус-преобразований Фурье [3] с конечными пределами по переменной z и обобщенного конечного преобразование (КИП) [4] по радиальной координате r. При этом каждый раз предварительно необходимо выполнять процеду- ру стандартизации. На первом этапе для этой цели вводим новые функции w(r, z, t), (r, z, t), связанные с W(r, z, t), (r, z, t) следующими соотношения- ми: W(r, z, t) = H1(r, z, t) + w(r, z, t), (r, z, t) = H2(r, z, t) + (r, z, t), (5) где H1(r, z, t) = (1 - 2z/L)W1(t), H2(r, z, t) = (1 - 2z/L)1(r, t). В результате подстановки (5) в (1)-(4) получаем новую начально-крае- вую задачу относительно функций U(r, z, t), w(r, z, t, (r, z, t) с однородными граничными условиями по координате z. При этом дифференциальные урав- нения (1) и граничные условия (3) становятся неоднородными с правыми частями Bi, Ni, i = 1, 2, 3, а в начальных условиях (4) вместо W0, W0 следует использовать w0, w0: B1 = - e31 + e15 e33 2H2 rz , B2 = - e15 e33 2 2H2 + 2H1 t2 , B3 = C1111 e2 33 2 2H2, N1 = - C13 C11 H1 z - e31 e33 H2 z , N2 = 0, N3 = H2 r , w0 = W0 - H1|t=0, w0 = W0 - H1|t=0. Применяем к краевой задаче в стандартной форме относительно функций U(r, z, t), w(r, z, t), (r, z, t) косинус- и синус-преобразования Фурье с конеч- ными пределами по переменной z. В пространстве изображений получаем следующую задачу: 2 1uc - C55 C11 j2 nuc + C13 + C55 C11 jn ws r + e31 + e15 e33 jn s r - 2uc t2 = B1c, C55 C11 2 2ws- C33 C11 j2 nws- C13 + C55 C11 jn uc+ e15 e33 2 2s-j2 ns- 2ws t2 =B2s, e15 e33 2 2ws - j2 nws - e31 + e15 e33 jn uc - C1111 e2 33 2 2s + C1133 e2 33 j2 ns = B3s; (6) r = 1, 0 : uc r + C12 C11 uc + C13 C11 jnws + e31 e33 jns r=1 = N1c, ws r - jnuc r=1 = 0, s r r=1 = N3s, uc(0, n, t) = 0, ws(0, n, t) < , s(0, n, t) < ; (7) t = 0 : uc(r, n, 0) = u0c(r, n), uc(r, n, 0) = u0c(r, n), ws(r, n, 0) = w0s(r, n), ws(r, n, 0) = w0s(r, n), (8) где 290 Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса . . . {uc(r, n, t), u0c(r, n), u0c(r, n), B1c(r, n, t), N1c(r, n, t)} = = L 0 {u(r, z, t), u0(r, z), u0(r, z), B1(r, z, t), N1(r, z, t)} cos jnzdz, {ws(r, n, t), s(r, n, t), w0s(r, n), w0s(r, n), Bks(r, n, t), N3s(r, n, t)} = = L 0 {w(r, z, t), (r, z, t), w0(r, z), w0(r, z), Bk(r, z, t), N3(r, z, t)} sin jnzdz, jn = n/L, n = 0, 1, 2, . . . ; k = 2, 3. Повторяем процедуру стандартизации по переменной r, используя следу- ющие выражения: ws(r, n, t) = C11 C13jn N1s(1, n, t) + Ws(r, n, t), s(r, n, t) = (r - 1)N3s(1, n, t) + s(r, n, t). (9) Получаем начально-краевую задачу относительно функций uc(r, n, t), Ws(r, n, t), s(r, n, t) с однородными граничными условиями вида (7). При этом правые части дифференциальных уравнений (6) следует заменить на B 1, B 2, B 3, а в начальных условиях (8) вместо w0s, w0s использовать W0s, W0s: B 1c = B- 1c e31 + e15 e33 jnN3s, B 2s = B2s + C33jn C13 N1s - e15 e33 r-1 - j2 n(r - 1) N3s, B 3s = B3s + C11jn C13 H1s + C1111 e2 33 r-1 - C1133 e2 33 j2 n(r - 1) H3s, W0s(r, n) = w0s(r, n) - C11 C13jn N1s(1, n, 0), W0s(r, n) = w0s(r, n) - C11 C13jn N1s(1, n, 0). Начально-краевую задачу относительно функций uc(r, n, t), Ws(r, n, t), s(r, n, t) решаем методом КИП. Введём на сегменте [0, 1] вырожденное КИП с неизвестными компонентами K1(in, r), K2(in, r), K3(in, r) вектор-функ- ции ядра преобразования: G(in, n, t) = 1 0 [uc(r, n, t)K1(in, r) + Ws(r, n, t)K2(in, r)] rdr, uc(r, n, t) = i=1 G(in, n, t)K1(in, r) Kin -2 , Ws(r, n, t) = i=1 G(in, n, t)K2(in, r) Kin -2 , s(r, n, t) = i=1 G(in, n, t)K3(in, r) Kin -2 , (10) Kin 2 = 1 0 K2 1 (in, r) + K2 2 (in, r) rdr, 291 Д. А. Ш л я х и н где in положительные параметры, образующие счётное множество, i = 1, 2, . . . . В результате использования структурного алгоритма метода КИП [4] по- лучаем расчётные соотношения для трансформанты нагрузки G(in, n, t), вектор-функции ядра преобразования K1(in, r), K2(in, r), K3(in, r) и транс- цендентное уравнение для определения in. Данные равенства приведены в работе [5]. Применяя к трансформанте G(in, n, t) последовательно формулы обра- щения (10), а затем формулы конечных преобразований Фурье, получаем с учётом (5), (9) следующие разложения для U(r, z, t), W(r, z, t), (r, z, t): U(r, z, t) = n=1 -1 n cos jnz i=1 G(in, n, t)K1(in, r) Kin -2 , W(r, z, t) = (1 - 2z/L)W1(t)+ + 2 L n=1 sin jnz C11 C13jn N1s + i=1 G(in, n, t)K2(in, r) Kin -2 , (11) (r, z, t) = (1 - 2z/L) 1(r, t)+ + 2 L n=1 sin jnz (r - 1)N3s + i=1 G(in, n, t)K3(in, r) Kin -2 , где n = L, n = 0; L/2, n = 0. 3. Определение разности потенциалов между электродированными по- верхностями. Первоначально рассмотрим вариант подключения пьезокера- мического образца к измерительному прибору с большим входным сопротив- лением. Докажем, что при определении разности потенциалов между элек- тродированными торцевыми поверхностями цилиндра V (t) вместо точного краевого условия [2] t 1 0 Dz z=L rdr = 0 (12) можно пользоваться приближёнными соотношениями Dz z=L = - C1133 e2 33 z + e31 e33 U + W z = 0, (13) V (t) = 42 2 0 1 0 1(r, t)r drd. (14) Подстановка (r, z, t) из (11) в (12) при использовании соотношения 1(r, t) = V (t)/2 и нулевых начальных условий, а также в равенства (13), (14) позволяет получить в обоих случаях одно и то же уравнение: V (t) = 2 1 0 z - e2 33L C1133 e31 e33 U + W z z=L r dr, 292 Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса . . . что и является необходимым доказательством. Здесь z z=L = 2 n=1 jn cos jnL (r - 1)N3s + i=1 G(in, n, t)K3(in, r) Kin -2 . В случае подключения образца к измерительному прибору с электриче- ской проводимостью Y потенциал на электродированной поверхности V (t)/2 определяется по формуле [1] t 1 0 Dz z=L r dr = Y V (t) 2 , (15) где Y = Y

About the authors

Dmitriy Averkievich Shlyakhin

Samara State University of Architecture and Construction

Email: sgasu@sgasu.smr.ru
Doctor of technical sciences, Associate professor

References

Supplementary files