The random-disturbed dynamic models and the maximum entropy method

Abstract

In the work the behavior of random-disturbed equations is analysed on the basis of the Reynolds method and the maximum entropy principle. The stability of models is analysed. The general features of dynamics of Verhulst model, Volterra–Lotke model and Euler's equations of solid body rotation are revealed.

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 352-360 УДК 517.938 СЛУЧАЙНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ В. М. Журавлев, П. П. Миронов Ульяновский государственный университет, Россия, 432017, Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42. E-mails: zhvictorm@gmail.com, museum86@mail.ru На основе метода Рейнольдса и принципа максимума энтропии анализируется поведение случайно возмущённых уравнений. Проанализирована устойчивость моделей. Выявлены общие особенности динамик моделей Ферхюльста, Вольтер- ра Лотки и уравнений Эйлера вращения твёрдого тела. Ключевые слова: случайно возмущенные динамические уравнения, метод Рей- нольдса, метод максимальной энтропии. Введение. Исследуемые в работе уравнения являются хорошо исследо- ванными во всех отношениях моделями, описывающими такие процессы, как динамика численности населения, взаимодействия популяций [1, 2], вращение твёрдого тела, атомная кластеризация под действием внешнего радиацион- ного излучения и другие физические явления. Внутреннее содержание таких уравнений является простым и ясным, что дает основание использовать их для моделирования реальных систем. Од- нако, поскольку модели являются жёсткими [3], применение их на практике оказывается ограниченным, в частности, из-за неполной ясности с их пове- дением при наличии случайного внешнего воздействия. Такое воздействие всегда присутствует в реальных системах. При наличии внешнего случай- ного воздействия речь может идти лишь об описании динамики моделей в среднем . Однако при их усреднении полученные совокупности уравнений для моментов случайных величин уже оказываются незамкнутыми, а при различных способах замыкания обладают различными свойствами, которые могут существенно отличаться от свойств исходных моделей. В настоящей работе усреднение случайно возмущенных уравнений (в даль- нейшем СВ-уравнений) производится при помощи метода Рейнольдса [2, 4, 5], а замыкание полученных систем усредненных уравнений при помощи ме- тода максимальной энтропии [5, 6]. 1. Метод Рейнольдса и принцип максимума энтропии для нелинейных моделей. Метод Рейнольдса (см. [7] и библиографию там) основывается на представлении переменных модели в виде их разложения на среднее зна- чение x = X(t) и флуктуации x , среднее значение которой равно нулю. Усреднение переменных понимается везде как усреднение по ансамблю. В рамках метода анализу подвергаются не сами исходные уравнения, а урав- нения, которые получаются из исходных с помощью усреднения по ансамблю. Усреднённые уравнения в литературе по гидродинамике часто называются уравнениями Рейнольдса [7]. В случае применения процедуры усреднения Виктор Михайлович Журавлев (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. теоретической физики. Павел Павлович Миронов, аспирант, каф. теоретической физики. 352 Случайно возмущенные динамические модели и метод максимальной энтропии по методу Рейнольдса к нелинейным уравнениям в уравнениях появляются дополнительные моменты случайных величин (ковариации, дисперсии). Для этих моментов необходимо указать уравнения эволюции, которые не следу- ют из исходных уравнений. В этом и состоит проблема замыкания систем уравнений, усреднённых по методу Рейнольдса [7]. Следуя работам [2, 4, 5], для решения проблемы замыкания будем пользо- ваться методом максимальной энтропии. Принцип максимума энтропии осно- вывается на свойстве энтропии стохастических систем достигать своего мак- симума на множестве макросостояний, которые реализуются максимальным числом микросостояний [8]. Для его формулировки в случае непрерывных случайных процессов необходимо воспользоваться шенноновским определе- нием энтропии в форме континуального интеграла по пространству случай- ных величин Xi[t0, t1], которое можно представить в виде прямого произведе- ния всех пространств R(t) вещественных чисел, соответствующих всевозмож- ным значениям переменных {xi(t)}, параметрически зависящих от t [t0, t1]. Энтропия в этом случае может быть записана в виде следующего контину- ального интеграла: H0 = - ({xi}[t0, t1]) ln ({xi}[t0, t1])DX[t0, t1]. (1) В применении к задачам об усреднённой динамике случайно возмущенных систем необходимо найти максимум этого функционала при условии выпол- нения уравнений усредненной по методу Рейнольдса системы. Варьируемыми параметрами функционала H0 являются параметры вероятностного распре- деления для каждого момента времени, которые входят в уравнения Рей- нольдса, и, возможно, дополнительные условия, которые могут накладывать- ся на моменты распределения исходя из физических условий задачи. Решение задачи о максимуме функционала H0 проводится в два эта- па [2, 4, 5]. Если уравнения исходной системы являются локальными, то пер- вый этап состоит в доказательстве того, что решением задачи о максимуме энтропии является такое распределение плотности вероятностей случайных флуктуаций параметров системы, которое соответствует их статистической независимости. В результате континуальный интеграл в (1) сводится к инте- гралу по времени. На втором шаге вычисляется вид удельного вероятностно- го распределения, относящегося к каждому конкретному моменту времени. При условии, что уравнения усредненной динамики содержат только пер- вые и вторые моменты случайных флуктуаций системы, решением задачи о максимуме энтропии удельного распределения является, как хорошо из- вестно [8, 9], гауссово распределение вероятностей. В результате функционал энтропии примет общий вид энтропии последовательности нормально рас- пределённых независмых случайных величин [9]: Hmax = 1 2 t1 t0 ln det Cdt + C0. (2) Здесь det C определитель матрицы ковариаций флуктуаций, C0 несуще- ственная числовая постоянная. Теперь принцип (2) может быть использован для всех систем, усредненные уравнения Рейнольдса которых содержат моменты второго порядка. В даль- нейшем будем называть его принципом максимума энтропии. Следуя ему, 353 В. М. Ж у р а в л е в, П. П. М и р о н о в мы должны решить задачу о максимуме функционала энтропии следующего вида: S = 1 2 t1 t0 ln det Cdt + n i=1 t1 t0 UiFi(X, t)dt. (3) Здесь Ui(t) множители Лагранжа в задаче об условном экстремуме Hmax, Fi(X, t) функции, содержащие левую часть усреднённых уравнений, при- чём Fi(X, t) = 0. В предлагаемых задачах варьируются основные перемен- ные (численности особей, населения, компоненты угловых скоростей враще- ния) и моменты, содержащиеся в матрице ковариаций флуктуаций. Функци- онал (3) фактически аналогичен функционалам принципа наименьшего дей- ствия в механике. 2. Случайно возмущенное уравнение Ферхюльста. Уравнение Ферхюльста (логистическое уравнение) описывает динамику численности населения [1]: x = x - x2 + . (4) В рамках биофизической интерепретации данной модели в этом уравне- нии x число особей какого-либо сообщества (ареала, планеты, государства, города, района и т.д.) в определённый момент времени. Параметры , опи- сывают рождаемость в сообществе (параметр ) и степень взаимодействия популяции за счёт эффекта тесноты (параметр ). Функция времени (t) яв- ляется случайной с математическим ожиданием, равным нулю: (t) = 0. В случае отсутствия шума исследуемое уравнение имеет две стационарные точки: X0 = 0, X0 = /, положение которых при наличии шума смещает- ся и определяется усреднённой динамикой уравнения Ферхюльста. Применяя метод Рейнольдса к уравнению (4), получаем следующее усредненное урав- нение: X = X - X2 - x 2 . В это уравнение входит дисперсия флуктуаций x 2 . Для неё необходимо до- полнительно указать уравнение эволюции, которое не следует из исходного уравнения. Для замыкания полученного усреднённого уравнения воспользу- емся методом максимальной энтропии и решим задачу о максимуме функци- онала энтропии следующего вида: S = 1 2 t1 t0 ln det Zdt + t1 t0 U( X - X + X2 + Z)dt. (5) Здесь U(t) множитель Лагранжа, Z(t) = x 2 дисперсия флуктуаций в системе. Варьируемыми параметрами являются функции X(t) и Z(t), а также множители Лагранжа. Уравнения Эйлера Лагранжа для функционала (5) имеют следующий вид: X = X - X2 - Z, U = -U + 2XU, 1 2Z + U = 0. (6) Данная система обладает одной стационарной точкой: X0 = 2 , U0 = - 2 2 , Z0 = 2 42 . 354 Случайно возмущенные динамические модели и метод максимальной энтропии Для анализа устойчивости стационарной точки представим параметры модели (6) в следующем виде: X = X0 + , U = U0 + u, Z = Z0 + z, (7) где , u и z возмущения, являющиеся функциями первого порядка малости. Подставляя (7) в (6), отбрасывая слагаемые второго порядка малости и решая задачу на собственные числа системы, получаем их следующие значения: 1,2 = /