Случайно возмущенные динамические модели и метод максимальной энтропии

Аннотация

На основе метода Рейнольдса и принципа максимума энтропии анализируется поведение случайно возмущённых уравнений. Проанализирована устойчивость моделей. Выявлены общие особенности динамик моделей Ферхюльста, Вольтерра–Лотки и уравнений Эйлера вращения твёрдого тела.

Полный текст

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 352-360 УДК 517.938 СЛУЧАЙНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ В. М. Журавлев, П. П. Миронов Ульяновский государственный университет, Россия, 432017, Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42. E-mails: zhvictorm@gmail.com, museum86@mail.ru На основе метода Рейнольдса и принципа максимума энтропии анализируется поведение случайно возмущённых уравнений. Проанализирована устойчивость моделей. Выявлены общие особенности динамик моделей Ферхюльста, Вольтер- ра Лотки и уравнений Эйлера вращения твёрдого тела. Ключевые слова: случайно возмущенные динамические уравнения, метод Рей- нольдса, метод максимальной энтропии. Введение. Исследуемые в работе уравнения являются хорошо исследо- ванными во всех отношениях моделями, описывающими такие процессы, как динамика численности населения, взаимодействия популяций [1, 2], вращение твёрдого тела, атомная кластеризация под действием внешнего радиацион- ного излучения и другие физические явления. Внутреннее содержание таких уравнений является простым и ясным, что дает основание использовать их для моделирования реальных систем. Од- нако, поскольку модели являются жёсткими [3], применение их на практике оказывается ограниченным, в частности, из-за неполной ясности с их пове- дением при наличии случайного внешнего воздействия. Такое воздействие всегда присутствует в реальных системах. При наличии внешнего случай- ного воздействия речь может идти лишь об описании динамики моделей в среднем . Однако при их усреднении полученные совокупности уравнений для моментов случайных величин уже оказываются незамкнутыми, а при различных способах замыкания обладают различными свойствами, которые могут существенно отличаться от свойств исходных моделей. В настоящей работе усреднение случайно возмущенных уравнений (в даль- нейшем СВ-уравнений) производится при помощи метода Рейнольдса [2, 4, 5], а замыкание полученных систем усредненных уравнений при помощи ме- тода максимальной энтропии [5, 6]. 1. Метод Рейнольдса и принцип максимума энтропии для нелинейных моделей. Метод Рейнольдса (см. [7] и библиографию там) основывается на представлении переменных модели в виде их разложения на среднее зна- чение x = X(t) и флуктуации x , среднее значение которой равно нулю. Усреднение переменных понимается везде как усреднение по ансамблю. В рамках метода анализу подвергаются не сами исходные уравнения, а урав- нения, которые получаются из исходных с помощью усреднения по ансамблю. Усреднённые уравнения в литературе по гидродинамике часто называются уравнениями Рейнольдса [7]. В случае применения процедуры усреднения Виктор Михайлович Журавлев (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. теоретической физики. Павел Павлович Миронов, аспирант, каф. теоретической физики. 352 Случайно возмущенные динамические модели и метод максимальной энтропии по методу Рейнольдса к нелинейным уравнениям в уравнениях появляются дополнительные моменты случайных величин (ковариации, дисперсии). Для этих моментов необходимо указать уравнения эволюции, которые не следу- ют из исходных уравнений. В этом и состоит проблема замыкания систем уравнений, усреднённых по методу Рейнольдса [7]. Следуя работам [2, 4, 5], для решения проблемы замыкания будем пользо- ваться методом максимальной энтропии. Принцип максимума энтропии осно- вывается на свойстве энтропии стохастических систем достигать своего мак- симума на множестве макросостояний, которые реализуются максимальным числом микросостояний [8]. Для его формулировки в случае непрерывных случайных процессов необходимо воспользоваться шенноновским определе- нием энтропии в форме континуального интеграла по пространству случай- ных величин Xi[t0, t1], которое можно представить в виде прямого произведе- ния всех пространств R(t) вещественных чисел, соответствующих всевозмож- ным значениям переменных {xi(t)}, параметрически зависящих от t [t0, t1]. Энтропия в этом случае может быть записана в виде следующего контину- ального интеграла: H0 = - ({xi}[t0, t1]) ln ({xi}[t0, t1])DX[t0, t1]. (1) В применении к задачам об усреднённой динамике случайно возмущенных систем необходимо найти максимум этого функционала при условии выпол- нения уравнений усредненной по методу Рейнольдса системы. Варьируемыми параметрами функционала H0 являются параметры вероятностного распре- деления для каждого момента времени, которые входят в уравнения Рей- нольдса, и, возможно, дополнительные условия, которые могут накладывать- ся на моменты распределения исходя из физических условий задачи. Решение задачи о максимуме функционала H0 проводится в два эта- па [2, 4, 5]. Если уравнения исходной системы являются локальными, то пер- вый этап состоит в доказательстве того, что решением задачи о максимуме энтропии является такое распределение плотности вероятностей случайных флуктуаций параметров системы, которое соответствует их статистической независимости. В результате континуальный интеграл в (1) сводится к инте- гралу по времени. На втором шаге вычисляется вид удельного вероятностно- го распределения, относящегося к каждому конкретному моменту времени. При условии, что уравнения усредненной динамики содержат только пер- вые и вторые моменты случайных флуктуаций системы, решением задачи о максимуме энтропии удельного распределения является, как хорошо из- вестно [8, 9], гауссово распределение вероятностей. В результате функционал энтропии примет общий вид энтропии последовательности нормально рас- пределённых независмых случайных величин [9]: Hmax = 1 2 t1 t0 ln det Cdt + C0. (2) Здесь det C определитель матрицы ковариаций флуктуаций, C0 несуще- ственная числовая постоянная. Теперь принцип (2) может быть использован для всех систем, усредненные уравнения Рейнольдса которых содержат моменты второго порядка. В даль- нейшем будем называть его принципом максимума энтропии. Следуя ему, 353 В. М. Ж у р а в л е в, П. П. М и р о н о в мы должны решить задачу о максимуме функционала энтропии следующего вида: S = 1 2 t1 t0 ln det Cdt + n i=1 t1 t0 UiFi(X, t)dt. (3) Здесь Ui(t) множители Лагранжа в задаче об условном экстремуме Hmax, Fi(X, t) функции, содержащие левую часть усреднённых уравнений, при- чём Fi(X, t) = 0. В предлагаемых задачах варьируются основные перемен- ные (численности особей, населения, компоненты угловых скоростей враще- ния) и моменты, содержащиеся в матрице ковариаций флуктуаций. Функци- онал (3) фактически аналогичен функционалам принципа наименьшего дей- ствия в механике. 2. Случайно возмущенное уравнение Ферхюльста. Уравнение Ферхюльста (логистическое уравнение) описывает динамику численности населения [1]: x = x - x2 + . (4) В рамках биофизической интерепретации данной модели в этом уравне- нии x число особей какого-либо сообщества (ареала, планеты, государства, города, района и т.д.) в определённый момент времени. Параметры , опи- сывают рождаемость в сообществе (параметр ) и степень взаимодействия популяции за счёт эффекта тесноты (параметр ). Функция времени (t) яв- ляется случайной с математическим ожиданием, равным нулю: (t) = 0. В случае отсутствия шума исследуемое уравнение имеет две стационарные точки: X0 = 0, X0 = /, положение которых при наличии шума смещает- ся и определяется усреднённой динамикой уравнения Ферхюльста. Применяя метод Рейнольдса к уравнению (4), получаем следующее усредненное урав- нение: X = X - X2 - x 2 . В это уравнение входит дисперсия флуктуаций x 2 . Для неё необходимо до- полнительно указать уравнение эволюции, которое не следует из исходного уравнения. Для замыкания полученного усреднённого уравнения воспользу- емся методом максимальной энтропии и решим задачу о максимуме функци- онала энтропии следующего вида: S = 1 2 t1 t0 ln det Zdt + t1 t0 U( X - X + X2 + Z)dt. (5) Здесь U(t) множитель Лагранжа, Z(t) = x 2 дисперсия флуктуаций в системе. Варьируемыми параметрами являются функции X(t) и Z(t), а также множители Лагранжа. Уравнения Эйлера Лагранжа для функционала (5) имеют следующий вид: X = X - X2 - Z, U = -U + 2XU, 1 2Z + U = 0. (6) Данная система обладает одной стационарной точкой: X0 = 2 , U0 = - 2 2 , Z0 = 2 42 . 354 Случайно возмущенные динамические модели и метод максимальной энтропии Для анализа устойчивости стационарной точки представим параметры модели (6) в следующем виде: X = X0 + , U = U0 + u, Z = Z0 + z, (7) где , u и z возмущения, являющиеся функциями первого порядка малости. Подставляя (7) в (6), отбрасывая слагаемые второго порядка малости и решая задачу на собственные числа системы, получаем их следующие значения: 1,2 = /