High temperature heat kernel expansion and its applications

Full Text

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. 1 (30). С. 369-378 УДК 51:530.145 ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В. В. Михеев Омский государственный технический университет, Россия, 644050, Омск, пр. Мира, 11. E-mail: vvm125@mail.ru Предложен алгоритм построения высокотемпературного разложения матрицы плотности и статистической суммы на многообразиях некомпактных групп Ли, основанный на формализме некоммутативного интегрирования дифферен- циальных уравнений, базирующемся на методе орбит коприсоединенного пред- ставления. Рассмотрены приложения построенного метода для решения задач квантовой статистической механики и квантовой теории поля. Ключевые слова: матрица плотности, статистическая сумма, функция рас- пределения, некоммутативное интегрирование, высокотемпературные асимп- тотики, эффективный лагранжиан. Введение. Настоящая работа посвящена решению основной задачи кван- товой статистической механики, иными словами, нахождению статистической суммы, стандартным образом определяемой как Z = n dn exp(-En), где = 1/kT термодинамическая температура системы, dn есть степень вы- рождения собственного значения гамильтониана En, соответствующего соб- ственной функции n, ^Hn = Enn, а под суммированием следует понимать в том числе и интегрирование, если спектр энергии является непрерывным [1]. Эквивалентным способом пред- ставления статистической суммы выступает след матрицы плотности (тепло- вого ядра) (x, x): Z = Tr(x, x) = (x, x)d(x), d(x) = |g|dx, (1) определяемой как (x, x ) = (x )exp(- ^H)(x), которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению Блоха (уравнению тепло- вого ядра) на однородном пространстве (x, x ) + H(x)(x, x ) = 0, (x, x )|=0 = (x, x ). (2) Таким образом, если есть возможность проинтегрировать уравнение Бло- ха для заданного однородного пространства и гамильтониана H(x) и найти Виталий Викторович Михеев (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. комплексной защиты инфор- мации. 369 В. В. М и х е е в матрицу плотности, то поставленная задача будет решена. Но попытка непо- средственного решения может быть связана с серьезными трудностями. Пер- вая из них состоит в собственно интегрировании, особенно в случае, когда пространство исходной задачи не покрывается одной картой и требуется про- водить процедуру сшивки решений в областях перекрывания карт атласа. Вторая трудность может быть связана с тем, что традиционно применяе- мый для интегрирования подобных уравнений метод разделения переменных едва ли может быть применен для (2) в силу начального условия специаль- ного вида [2-4]. Третья и, возможно, наиболее существенная проблема свя- зана с расходимостями в (1), вызванными формально бесконечным объемом некомпактного многообразия. Так, в настоящее время большинство резуль- татов в этой области получено или для компактных многообразий, или для многообразий конечного объема [5, 17]. В силу указанных причин возрастает важность построения новых методов интегрирования уравнения (2), которые бы позволяли справляться с упомянутыми трудностями и находить матрицу плотности и статистическую сумму либо точно, либо в виде степенного ряда высокотемпературного приближения. В работе рассматривается основная проблема термодинамики однородных пространств для некомпактных групп Ли, во-первых, в качестве важного и иллюстративного примера, а во-вторых, в качестве первого шага для реше- ния задачи в случае произвольного однородного пространства. Необходимо подчеркнуть, что настоящая работа не претендует на охват всех возможных приложений разложения матрицы плотности и статистической суммы в фи- зических задачах, но демонстрирует важные случаи как примеры примене- ния предлагаемого в работе метода. 1. Интегрирование уравнения Блоха на группах Ли. Ниже будет в общих чертах дано описание метода некоммутативного интегрирования уравнения Блоха на группах Ли, содержащее сведения, необходимые для построения ря- да высокотемпературного разложения матрицы плотности и статистической суммы. Более строгое и последовательное изложение можно найти в цитиру- емой литературе. Рассмотрим уравнение (2) на n-мерной действительной связной группе Ли G, когда оператор H представляет собой квадратичную функцию лево- инвариантных векторных полей a = i a(x)i, i = 1, 2, . . . , n, на группе. Тогда можно считать, что H представляет собой оператор Лапласа Бельтрами на групповом пространстве с левоинвариантной римановой метрикой gij = Gab i a(x)j b (x), причём для постоянной матрицы Gab выполнено условие det = Gab > 0 и H(-i ) = - 2 Gab ab = - 2 = - 2 1 det gij i det gijgij pj. Такой вид оператора H соответствует газу свободных частиц в групповом пространстве. Решение уравнения (2) на произвольной некомпактной группе Ли бу- дет получено, с использованием формализма обобщённого Фурье-анализа на группах Ли, основанного на методе орбит [8, 6]. 370 Высокотемпературное разложение матрицы плотности и его приложения Для этого введём специальное неприводимое представление алгебры Ли G группы G(так называемое -представление) на лагранжевом подмногооб- разии Q орбиты присоединенного представления O G: [li(q, q, ), lj(q, q, )] = Ck ijlk(q, q, ), где Ck ij структурные константы алгебры Ли G. Можно показать, что любое неприводимое представление алгебры Ли может быть получено как опреде- лённое -представление, заданное выбором линейного функционала G. Линейный функционал (j), где число параметров j равно числу функ- ций Казимира индексу алгебры Ли G. В силу этого мера d() представляет собой спектральную меру операторов Казимира на группе Ли [7]. Рассмотрим далее представление группы Ли G в функциональном про- странстве C(Q), действующее на функции из этого пространства следую- щим образом: T g (q) = D qq (g)(q )d(q ) (3) и являющееся поднятием -представления алгебры Ли li(q, q, ) = gi T g |g=e. (4) Здесь под g, g будем понимать элементы группы g, g G, ниже равноправ- но будут использоваться обозначения x, x , под которыми следует понимать координаты соответствующих элементов на групповом многообразии. Набор функций Dj qq (g), представляющий собой матричные элементы пред- ставления (3), может быть найден из системы уравнений i(g) + li(q , q, j) D qq (g) = 0, D qq (e) = (q, q ). Обобщённые функции D qq (g) осуществляют обобщенное Фурье-преобра- зование на группе Ли, решая задачу гармонического анализа [9] (g) = QQJ ^j(q, q )D qq (g) d(q)d(q )d(). (5) Таким образом, действие право- и левоинвариантных векторных полей на группе переходит на лагранжевом подмногообразии орбиты присоединённого представления в действие операторов -представления: i(g) li(q , q, ) ^j(q, q ); i(g) li(q, q, ) ^j(q, q ). После перехода с группового многообразия на лагранжево подмногообра- зие орбиты O задача сводится к нахождению матрицы плотности R(q, ~q, j), связанной с матрицей плотности (g, g ) на исходном пространстве преобра- зованием Фурье (5): (g, g ) = R(q, ~q, j)D q~q(g -1 g)d(q)d(~q)d(). (6) 371 В. В. М и х е е в Матрица плотности R(q, ~q, j) на орбите O подчиняется редуцированному уравнению Блоха с меньшим числом независимых переменных R(q, ~q, j) + H(-i l)R(q, ~q, j) = 0, R(q, ~q, j)|=0 = (q, ~q), (7) которое, как видно, интегрируется в квадратурах [10], если (dim G - ind G)/2 < 2. Из решения уравнения (7) можно получить статистическую сумму (фор- мально бесконечную) на некомпактной группе Ли, используя свойства набора функций D qq (g) Z = G d(g) QJ R(q, q, j)d(q)d() = = Vol(G) QJ R(q, q, j)d(q)d(). Здесь явно видна возможность осуществить факторизацию в выражении для статистической суммы членов, содержащих расходимости, связанные с беско- нечным объемом многообразия, перейдя в дальнейшем к конечной удельной (по объёму) статистической сумме [11, 12] z = Z Vol(G) = R(q, q, j)d(q)d(). (8) 2. Высокотемпературное разложение матрицы плотности на группах Ли. Представление функции распределения и самой матрицы плотности в виде степенного ряда по переменной (так называемое высокотемпературное раз- ложение) представляет собой важную и, в общем случае, непростую задачу. Стандартным образом это разложение для произвольного однородного про- странства записывается в виде Z = Vol(M) (4)d/2 n=0 ann , где обратная термодинамическая температура. Для нахождения коэффициентов высокотемпературного разложения ста- тистической суммы на группах Ли представим решение уравнения Блоха в виде R(q, ~q, j) = exp i S(q, ~q, j) , где S(q, ~q, j) в общем случае комплексная функция. Применим к функции R(q, ~q, j) стандартное Фурье преобразование по переменной ~q: (q, p) = (q, ~q) exp ip~q d~q, 372 Высокотемпературное разложение матрицы плотности и его приложения (q, ~q) = 1 (2 )dim O/2 (q, p) exp - ipq dp, что даёт возможность перейти к рассмотрению функции R(q, p, j), которая также удовлетворяет уравнению теплового ядра R(q, p, j) + ^H -i l(q, q) R(q, p, j) = 0. Уравнение на функцию S(q, ~q, j) принимает вид i S(q, p, j) + exp - i S(q, p, j) ^H -i l(q, q) exp i S(q, p, j)) = 0 (9) с начальным условием S(q, p, j)|=0 = pq. Его решение также будем представлять в виде степенного ряда S(q, p, j) = n=0 Sn(q, p, j)n . (10) Здесь ^H -i l(q, q) дифференциальный оператор второго порядка, кото- рый может быть представлен в виде ^H -i l(q, q) = - 2 Gab la(q, q)lb(q, q) = = hab (q) 2 qaqb + ha (q) qa + h(q), (11) где коэффициенты hab, ha, h(q) могут быть выражены через операторы - представления (4). Выражение (11) может быть переписано, с использовани- ем стандартных для квантовой механики обозначений ^pa = i qa : ^H -i l(q, q) = Hab (q)^pa ^pa + Ha (q)^pa + H(q). Так что уравнение (9) перейдёт в i k=0 kSk(q, p, j)(k-1) + k=0 (k) (q, p, j)k = 0 с обозначением (k) (q, p, j) = -i Hab Sk,ab(q, p, j) + Hab k m=0 Sm,a(q, p, j)Sk-m,b(q, p, j)+ + Sa Sk,a(q, p, j) + H0 k. Это приводит к рекуррентным соотношениям для членов разложения Sk+1(q, p, j): Sk+1(q, p, j) = i k + 1 (k) (q, p, j). 373 В. В. М и х е е в Видно, что коэффициент, соответствующий первой степени параметра в раз- ложении (10), представляет собой H(q, p) qp-символ оператора ^H -i l(q, q) . Это автоматически приводит к известной формуле для первого порядка вы- сокотемпературного разложения функции распределения: z

About the authors

Vitaly Viktorovich Mikheyev

Omsk State Technical University

Email: vvm125@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files