Asymptotic estimates of the difference of products of Bessel functions by the integral of these functions

Full Text

Введение. При исследовании обратных задач по отысканию правой части вырождающихся уравнений смешанного типа [1–10] возникает задача об установлении асимптотических оценок для следующих разностей: v v v v (1) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) , (1) 0 0 v v v v (2) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) , > 0; (2) 0 (1) ( ) = v 0 ( ( ) ) v ( ( ) ) v ( ( ) ) 0 v ( ( ) ) , (3) 0 (2) ( ) = v v ( ( ) ) v v ( ( ) ) , < 0, (4) ( ( ) ) ( ( ) ) 0 0 при > + , где = 1/(2 ) = 1/( + 2), > 0 — показатель степени вырождения уравнения, ± ( · ) и ( · ) — функции Бесселя соответственно первого и второго рода, ± ( · ) и ( · ) — модифицированные функции Бесселя, = const > 0. Предварительно заметим, что v ± ( ) = 1/(2 ) ( )1/(2 ) ± ( ) = ± ( ), v ± ( ) = ± ( ), где = | | , = | | , v ± ( ) = 0 1 3 3 1 ± ( ) . 0 Тогда разность (1) принимает вид (1) ( ) = (1) ( ). 4 (5) Здесь (1) ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 ( ) , = 3 1. (6) 0 Аналогично (5) разности (2)–(4) представим в следующем виде: (2) (2) ( ) = 4 ( ), (2) ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 42 0 (7) ( ) , (8) (1) ( ) = 4 (1) ( ), (1) ( ) ( ) ( ) = ( ) (9) ( ) , (10) 0 0 (2) ( ), 4 (2) ( ) , > 0. ( ) ( ) ( ) = ( ) (2) ( ) = (11) (12) 0 0 Отметим, что разность (10) представляет собой функцию Ломмеля [11], [12, §10.7], [13, §7.5.5]. В данной работе, с использованием разложения функций ± ( ) и ± ( ) в степенной ряд, аналогично работам [14, 15], найдены разности (6) и (10) на основании установленной нами новой формулы для вычисления конечной суммы (см. лемму ниже), затем на их основе найдены (8) и (12). Отсюда в силу представлений (5), (7), (9) и (11) получены окончательные результаты по разностям (1)–(4) и установлены асимптотические оценки при > + . 1. Вычисление разностей (1)–(4). Используя разложения функций ± ( ) в степенной ряд, предварительно найдем ( ) = 0 0 =0 ( /2)2 = ! ( + + 1) = =0 2 + +1 22 ! ( + + 1)(2 + + 1) и вычислим произведение рядов ± ( ) ( ) = 0 = =0 ( /2)2 ± +1 ( /2)2 = ! (± + + 1) ! ( + + 1)(2 + + 1) = +1 =0 ( =0 ) 2 2 =0 [2( ) + + 1 ] 1 , ! ( )! (± + + 1) ( + + 1) где ( · ) — гамма-функция Эйлера. Теперь составим их разность: (1) ( ) = +1 ( ) 2 =0 2 ( 1 2 ) . (13) Здесь 1 = =0 1 , (14) !( )! ( + + 1) ( + + 1)(2 2 + + 1 ) 43 2 = =0 1 . (15) !( )! ( + + 1) ( + + 1)(2 2 + + 1 + ) В силу формулы для биномиальных коэффициентов ( ) ( + 1) = ( + 1) ( + 1) конечные суммы (14) и (15) представим в виде 1 1 ( ) ( ) 1 1 = , ( !)2 2( ) + + 1 + =0 ( ) ( ) 1 1 . = ( !)2 2( ) + + 1 + (16) (17) =0 На основании равенства ( ) ( ) = преобразуем конечные суммы (16) и (17): 1 ) ) ( ( 1 1 = = ( !)2 2( ) + + 1 =0 ( ) ( ) 1 1 = , ( !)2 2 + + 1 =0 2 ( ) ( ) 1 1 = . ( !)2 2 + + 1 + + =0 Тогда 1 2 = 1 . ( !)2 (18) Здесь = [ =0 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 . 2 + + 1 2 + + 1 + + (19) Далее выведем формулу для вычисления суммы (19). Предварительно вычислим 0 , 1 , 2 и 3 , затем определим общий вид этой формулы и методом индукции докажем ее справедливость. При = 0 имеем 0 = 44 2 1 · . ( ) (1 ) ( + 1)2 2 Если = 1, то получим 1 = 2 4 · . ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 1 + 2)2 2 ] Когда = 2, вычисления дают следующий результат: 2 = 2·4 16 · . 2 2 ( ) (1 ) [( + 1) ] [( + 1 + 2)2 2 ] [( + 1 + 4)2 2 ] Приведенные выше вычисления для = 0, 1, 2 не дают возможности написать общий вид формулы, поэтому дополнительно найдем 3 = 64 2 · 36 · 2 2 ( ) (1 ) [( + 1) ] [( + 1 + 2)2 2 ] 1 = 2 2 [( + 1 + 4) ] [( + 1 + 6)2 2 ] 22·3 2 · (3!)2 · = ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 1 + 2)2 2 ] 1 . (20) 2 2 [( + 1 + 2 · 2) ] [( + 1 + 2 · 3)2 2 ] Из равенства (20) уже нетрудно записать общий вид формулы для нахождения = 22 2( !)2 · . (21) ( ) (1 ) [( + 1)2 2 ] [( + 3)2 2 ] · · · [( + 1 + 2 )2 2 ] Предварительно, используя символ Похгаммера ( ) = ( + 1) · · · ( + 1) = ( + ) , ( ) преобразуем выражение, входящее в правую часть формулы (21): ( + 1 ± )( + 1 + 2 ± ) · · · ( + 1 + 2 ± ) = ) ( + 1 ± ) + 1 ± ( + 1 ± = + 1 ··· + 2 +1 = 2 2 2 ( + 1 ± ) ( + 1 ± ) + + 1 2 +1 2 = 2 +1 = . ( + 1 ± ) 2 +1 2 Тогда формула (21) принимает вид ( ) ( ) +1+ +1 ( !)2 2 2 ) ( ) . = · ( +1+ +1 2 ( ) (1 ) + +1 + +1 2 2 (22) 45 Пусть формула (22) верна при произвольном . Докажем ее справедливость при + 1. Для этого на основании (19) найдем +1 и, используя равенство ( ) ( ) ( ) +1 = + , +1 +1 разобьем эту величину на четыре суммы: +1 = +1 [ = ( ) ( ) ] ( ) 1 1 + 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 1 =0 ( ) ( ) ] ( ) +1 [ 1 1 + + 2 + + 1 2 + + 1 + + 1 =0 ( ) ( ) ] ( ) +1 [ 1 1 + + 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 =0 ) ) ] ( ) ( ( +1 [ 1 1 + = 2 + + 1 2 + + 1 + + =0 = 1 + 2 + 3 + 4 . (23) В силу известных равенств ( ) =0 1 1 = [ =0 ( и +1 ) = 0, ( ) ( ) ] ( ) 1 1 = 2 + + 2 + 1 2 + + 2 + 1 + + = (здесь надо заменить на + 2) = , (24) = +2 4 = [ =0 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 , (25) 2 + + 1 2 + + 1 + + +1 [ ( ) ( ) ] ( ) 1 1 2 = = 2 + + 1 2 + + 1 + + 1 =1 ( ) ( ) ] ( ) [ 1 1 = , (26) 2 + + 3 + 1 2 + + 3 + + 1 + =0 3 = [ =0 46 ( ) ( ) ] ( ) 1 1 . (27) 2 + + 1 1 2 + + 1 + + 1 Предварительно на основании (26) и (27) найдем сумму 2 + 3 = [ =0 ( ) 1 2 + + 2 + 1 + 1 ( ) ] ( ) 1 + 2 + + 2 + 1 + 1 ( ) ( ) ] ( ) [ 1 1 + = 2 + + 2 1 1 2 + + 2 + 1 + + 1 + =0 = =1 + =1+ . (28) = +1 = +1 Тогда, подставляя (24), (25) и (28) в (23), с учетом формулы (22) получим +1 = = +2 + =1 + =1+ = = +1 = +1 ( + 3 + ) ( + 3 ) [ ( !)2 2 2 = ) ( + 3 ) + 2 ( ) (1 ) ( + 3 + + +1 + +1 2 2 ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 2 + ( ) ( + 1 ) +1+ + +1 + +1 2 2 ( + 3 ) ( + 1 + ) 2 2 ( ) ( + 1 + ) +3 + +1 + +1 2 ( ) 2 ( ) +3+ +1 2 2 ) ( ) ( = +1 +3+ + +1 + +1 2 2 [ ] ( !)2 = 1 2 . (29) 2 ( ) (1 ) Используя формулу ( + 1) = ( ), найдем суммы 1 и 2 : ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 2 = ( ) ( + 3 ) +3+ + +1 + +1 2 [ 2 1] ( + 1)2 2 + ( + 1 + 2 + 2)2 2 = 47 ( + 1 + ) ( + 1 ) [ ] ( + 1)2 2 + 2( + 1)( + + 2) 2 2 = , (30) ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 + +1 + +1 2 2 ] ( + 1 + ) ( + 1 ) [ ( + 1)2 2 + 2( + 1)( + 1) 2 2 . (31) 2 = ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 + +1 + +1 2 2 Теперь, подставляя (30) и (31) в (29), находим +1 ( + 1 + ) ( + 1 ) (( + 2 2 = · ( ) ( + 1 ) . +1+ 2 ( ) (1 ) + +2 + +2 2 2 1)!)2 Таким образом, нами доказано следующее утверждение. Лемма. Справедлива следующая формула вычисления конечной суммы: [ =0 ) ) ] ( ) ( ( 1 1 = 2 + + 1 2 + + 1 + + ( + 1 + ) ( + 1 ) 2 ( !) 2 2 = · ( ) ( + 1 ) . (32) +1+ 2 ( ) (1 ) + +1 + +1 2 2 Тогда с учетом установленной формулы (32) и соотношений (18), (13) имеем ( + 1 + ) ( + 1 ) +1 2 2 (1) ( ) = 2 ( ) (1 ) ( 2 ) 4 ( + 1 + ) ( + 1 ) = =0 + +1 + +1 2 2 ( 2 ) 1+ 2 sin · 4 ] = [ = 2 2 ( + 1) =0 ( + 3 + ) ( + 3 ) 2 2 ( + 3 + + 3 2 ) 2 sin · 1+ ] 1 2 1; = [ , ; , (33) 2 2 4 ( + 1)2 2 где 1 2 ( · ) — обобщенная гипергеометрическая функция [13, §10.10(IV)]. Тем самым первая задача о вычислении разности (6) выполнена. 48 Теперь рассмотрим разность (10). Аналогично вычислению разности (6) c использованием разложения функций ± ( ) в обобщенный степенной ряд получим (1) ( ) = +1 ( 1) ( ) 2 =0 ( 1 2 ) = +1 2 ( 1) ( ) 2 =0 ( !)2 2 . (34) Подставляя (32) в (34), получим 1+ ( 2 ) ( 1) 4 ( + 3 + ) ( + 3 ) = 2 sin · ] (1) ( ) = [ ( + 1)2 2 =0 2 2 ( + 3 + + 3 1+ 2 sin 2 ) ] 1 2 1; = [ , ; . (35) 2 2 4 ( + 1)2 2 Таким образом, полученный нами ряд (35) совпадает с рядом, найденным Ломмелем, как частное решение неоднородного уравнения Бесселя 2 ( ) + ( ) + ( 2 2 ) ( ) = +1 с помощью обобщенного степенного ряда. Далее вычислим разности (8) и (12). На основании формул ( ) = ] [ ( ) ( ) , 2 sin ( ) = ] 1 [ ( ) cos ( ) sin имеем [ ] = ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 sin 0 0 ( + 3 + + 3 2 ) 1+ (1) ( ) = = , ; , (36) 1 2 1; 2 sin (1 + )2 2 2 2 4 (2) ( ) [ ] 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) = sin 0 0 1 (1) ( ) = = sin ( + 3 + + 3 2 1+ 2 ) ] 1 2 1; = [ , ; . (37) 2 2 4 (1 + )2 2 (2) ( ) Следовательно, установлено утверждение. Теорема 1. Справедливы следующие формулы: ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 49 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ sin ] 1 2 1; = [ , ; , 2 2 4 (1 + )2 2 ( ) = ( ) ( ) ( ) 0 0 = ( + 3 + + 3 2 ) 1+ 1; , ; , 1 2 (1 + )2 2 2 2 4 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ sin ] 1 2 1; , ; , = [ 2 2 4 (1 + )2 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) = 0 ( + 3 + + 3 2 ) 2 1+ ] 1 2 1; , ; , = [ 2 2 4 (1 + )2 2 где ± > 1. Теперь на основании (33), (35)–(37) с использованием представлений (5), (7), (9) и (11) найдем первоначальные разности (1)–(4): ( 2 sin 2 1/ ) , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 2 4 ( 2 2 1/ ) (2) ( ) = , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 4 4 ( ) 2 sin 2 (1) ( ) = ( )1/ , 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; 2 4 ( ) 2 2 (2) ( ) = 1 2 1; 1 + 2 , 1 + ; ( )1/ , 4 4 (1) ( ) = (38) (39) (40) (41) здесь = 1/(2 ). 2. Асимптотические оценки. Поскольку нам неизвестно асимптотическое разложение для функции 1 2 ( ; , ; ± ) при > , воспользуемся ее интегральным представлением [16, форм. (28.96)]: 1 v 1 2 ( ) ( ) 2 1 (2 ) 2 (1 2 ) 1 , (42) 1 2 ( ; , ; ) = ( ) ( ) 0 а также вытекающей из (42) формулой 1 v 1 2 ( ) ( ) 2 1 (2 ) 2 (1 2 ) 1 . 1 2 ( ; , ; ) = ( ) ( ) 0 50 Здесь > 0, > 0. На их основе найдем интегральные представления для функций (38)–(41): 1 2 (2 ) sin ( 2 ) 2 1 2 ( 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , > 0, (43) (1) ( )= 0 ( 2 ) 2 1 1 (2) ( ) = (2 ) 2 ( 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , > 0, (44) 0 1 2 (2 ) sin ( 2 ) 2 1 (1) 2 ( ( ) 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , < 0,(45) ( )= 0 ( 2 ) 2 1 1 (2) ( ) = (2 ) 2 ( ( ) 2 ) 1 2 (1 2 ) 1 , < 0. (46) 0 В силу формулы асимптотического разложения интеграла, содержащего функцию Бесселя (см. [17, форм. (10.87)], а также [18]), при = 1, ( ) = (1 + ) 1 имеем 1 ( ) 1 (1 2 ) 1 = 0 2 1 = ( + ) ( + + ) ( 1) ( 2 ) + sin ( ) ( ) ! 2 2 2 =0 v [ 2 1 ( 1 ) ] 2 +v ( , , ) cos + + , 2 2 > + , (47) =0 где ( , , ) = ( + ) (1/2 + + ) , ( )2 , ( )! ! (1/2 + ) =0 ] [ 3/2 1 (1 + ) , =1 [ ] ( ) = ( ) 1 (1 + ) 1 =1 . =0 ( ) = Из формулы (47) при > + найдем оценку интегралов: 1 ( ) ( + ) 2 + 2 sin ( ) + 2 2 2 1 [ ( min{ +1, + 3 } ) 2 2 ( 1 ) ] 1 2 + 2 + v ( ) cos + + , (48) 2 2 ( ) 1 (1 2 ) 1 = 0 1 ( ) ( + ) 2 + 2 sin ( ) + 2 2 2 0 3 1 ] ( 3 ) 2 2 ( ) 2 [ ( + + 1 ) ( + + 12 ) 12 2 + 2 v + 2 + 2 = ( ) 1 (1 2 ) 1 = 51 3 [ ( ] 1 2 2 ( ) 1 ) ( 1 ) v = exp + + + + ln 2 + 2 2 2 ( 3 ) + 2 . (49) Тогда в силу оценок (49) и (48) из (43)–(46) при > + получим (1) ( ) (2) ( ) 1 [ ( ) ] 23 2 ( ) (2 ) sin 1 ) ( v = exp 3 + ln 2 2 ( 1/(2 ) 3 3 ) 1 1 1 1/(2 ) 2 , 2 4 3 2 + (50) 3 [ ( ) ] 1 ) ( 23 2 ( ) (2 ) v exp 3 + ln = 2 2 ( 1/(2 ) 3 3 ) 1 1 1 1/(2 ) 2 , (51) 2 4 3 2 + 1 (1) ( ) = 2 22+ 2 (2 ) ( 2 ) sin sin 2 ( )2 2 [ 1 1 3 ( 1 ) ] 3 + 2 23 + 2 ( ) (2 ) sin cos ( ) 2 2 2 ( 1 1 3 ) 1 ( ) 2 4 3 2 + min{3, 3 + 2 } = [ 1 1 ( 1 ) ] = 32 23 + 2 ( ) (2 ) sin cos ( ) 2 3 + 2 2 ( ) 1 1 1 ( ) 2 4 3 2 + 2 , (52) 1 (2) ( ) = 1 21+ 2 (2 ) ( 2 ) sin 2 ( )2 2 [ 1 1 1 ( 1 ) ] 3 + 2 23 2 ( ) (2 ) cos ( ) 2 2 2 ( ) 1 1 1 3 ( ) 2 4 3 2 + min{3, 3 + 2 } = [ 1 1 1 ( 1 ) ] = 2 23 2 ( ) (2 ) cos ( ) 2 3 + 2 2 ( ) 1 1 1 ( ) 2 4 3 2 + 2 . (53) Таким образом, нами доказана следующая основная Теорема 2. Для разностей (1)–(4) при > + справедливы соответственно асимптотические оценки (50)–(53).

About the authors

Kamil Basirovich Sabitov

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: sabitov_fmf@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files