A priori error estimates of the local discontinuous Galerkin method on staggered grids for solving a parabolic equation for the homogeneous Dirichlet problem

Full Text

Введение. Ранее авторами было предложено новое семейство схем на основе локального метода Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных неструктурированных сетках для уравнений диффузионного типа [1–5]. Характерной особенностью данного семейства схем является то, что аппроксимация потока искомой функции производится на двойственной сетке, состоящей из медианных контрольных объемов, связанных с узлами основной сетки, в то время как аппроксимация искомой функции рассматривается на ячейках основной сетки. В статье представлен априорный анализ погрешности локального разрывного метода Галеркина (РМГ), или Local Discontinuous Galerkin (LDG) method, для следующей параболической задачи: = , = 0, | =0 = 0 , , (1) , в , (2) где — ограниченная область в R , — граница области , 0 – известная функция. Метод LDG был впервые предложен Cockburn and Shu в работе [7] как развитие численной схемы для сжимаемых уравнений Навье—Стокса, описанной Bassi and Rebay в [8]. Эта схема, в свою очередь, является развитием метода Runge–Kutta Discontinuous Galerkin (RKDG), разработанного Cockburn and Shu [9–13] для нелинейных гиперболических систем. Вопросам получения априорных оценок для метода Галеркина с разрывными базисными функциями посвящено много работ как в России, так и за Елизавета Евгеньевна Пескова https://orcid.org/0000-0003-2618-1674 кандидат физико-математических наук; младший научный сотрудник; каф. прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики; e-mail: e.e.peskova@mail.ru Владимир Федорович Тишкин https://orcid.org/0000-0001-7295-7002 доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН; заведующий отделом; e-mail: v.f.tishkin@mail.ru 117 рубежом. Например, априорные оценки для симметричного метода Галеркина с внутренними штрафами для дискретизации по пространству эллиптических и параболических задач представлены в [17], оценки для параболических интегро-дифференциальных уравнений получены в [18], в [20] разработана абстрактная теория схем разрывного метода Галеркина в смешанной формулировке и получены априорные оценки точности для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Наш анализ частично основывается на технике, представленной в работах [6, 16, 19] для параболических и эллиптических задач соответственно. Для применения локального разрывного метода Галеркина перепишем исходную параболическую задачу (1), (2) как систему уравнений в частных производных первого порядка. Введем вспомогательную переменную q = и получим следующую систему уравнений: = , · = , = 0. | =0 = 0 , в , (3) в , (4) на , в . (5) 1. Локальный разрывный метод Галеркина. Покроем область расчета треугольной сеткой без зазоров и наложений. Также введем в рассмотрение двойственную сетку , составленную из медианных ячеек, центры которых лежат в узлах ячеек треугольной сетки (см. рисунок). Для удобства дальнейших рассуждений дополнительно введем в рассмотрение сетку , состоящую из ячеек , которые являются результатом пересечения ячеек из и . Слабое решение ( , ) системы (3)–(5) будем считать определенным в пространствах : { ( ) 2 } = 2 ( ) : | 1 ( )2 , , { } = 2 ( ) : | 1 ( ) , . Приближенное решение ( , ) будем искать в следующих пространствах: { ( ) 2 } = 2 ( ) : | ( )2 , , Границы ячеек основной и двойственной сетки [The boundaries of the cells of the basic and dual mesh] 118 { } = 2 ( ) : | ( ) , , где ( ) и ( )2 состоят из полиномов степени не выше . Для обеспечения единственности приближенного решения РМГ потребуем выполнение следующего условия: · = 0, ( )2 : = , (6) если ( ) и то 0 в . Приближенное слабое решение ( , ) будет определяться в каждой ячейке из следующей системы: · + · ^ · = 0, (7) + · ^ · = (8) для всех ( , ) ( )2 ( ), где и , а численные потоки ^ и ^ на границе элементов зависят от значений решения с внутренней и внешней стороны ячейки. Для определения численных потоков введем несколько обозначений. Пусть + и — два соседних элемента триангуляции . Пусть — произвольная точка грани = + , и пусть + и — соответствующие внешние нормали к элементам в данной точке. Пусть ( , ) — гладкие функции внутри каждого элемента ± и обозначим за ( ± , ± ) следы ( , ) на из внутренности ± . После этого определим средние значения {{·}} и скачки [[·]] в точке следующим образом: ( ) ( ) {{ }} = + + /2, {{ }} = + + /2, [[ ]] = + + + , [[ ]] = + · + + · . Если грань лежит внутри области , зададим потоки из (7), (8) следующим образом: ^ = {{ }} 11 [[ ]], ^ = {{ }}, (9) где вспомогательный параметр 11 определен в точке . На границе потоки задаются следующим образом: ^ = + 11 + + , ^ = 0. (10) 119 2. Используемые обозначения. Обозначим за объединение всех ребер сетки . Просуммируем уравнения (7), (8) по соответствующим элементам и получим, что приближенное решение ( , ) является единственным решением следующей вариационной задачи [15]: найти ( , ) такие, что · {{ }}[[ ]] = 0, (11) · + ( ) , {{ }}[[ ]] + · + + 11 [[ ]][[ ]] = для всех ( , ) . Введем обозначения: ( , ) = · , ( , ) = · , (12) {{ }}[[ ]] , 11 [[ ]][[ ]] , ( , ) = ( ) = , где ( , , , ) . С учетом введеных обозначений уравнения (11), (12) могут быть переписаны в следующем виде: ( , ) + ( , ) = 0, ( ) , ( , ) + ( , ) = 0, где ( , ) , ( , ) . Далее систему уравнений (11), (12) можно переписать в виде ( ) , + ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) = ( ) . (13) (14) (15) 3. Вспомогательные обозначения. Пусть для каждого — характеристический размер , — диаметр максимального шара, вложенного в . Обозначим за = max . Будем рассматривать триангуляцию , обладающую свойством регулярности, т.е. существует положительная константа такая, что 6 , 120 . (16) Предложение 1. Если выполняется свойство регулярности для триангуляции , то для триангуляции также выполнено свойство регулярности, т.е. существует положительная константа такая, что 6 , . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольный треугольник с вершинами 1 , 2 , 3 . Обозначим середину ребра 1 2 за 12 , середину ребра 1 3 за 13 , середину ребра 2 3 за 23 , а точку пересечения меридиан за 123 . Рассмотрим четырехугольник с вершинами 1 , 12 , 123 , 13 и покажем, что для него выполнено свойство регулярности. Не умаляя общности, v будем находить характеристический размер четырехугольника как , где — площадь . По свойству пересечения медиан получим, что = 13 , где — площадь треугольника . Обозначим за 1 треугольник с вершинами 1 , 12 , 13 . Диаметр максимального шара, вложенного в 1 , вычисляется следующим образом 1 = 2 1 , 1 где 1 — полупериметр 1 , 1 — площадь 1 . Используя свойство медиан, получим 1 = 1 1 ·2 = . 2 2 Далее, подставляя найденные выражения, получим v v 2 2 =v 6v =v 6 v . 3 3 1 3 3 Утверждение доказано. Введем в рассмотрение набор , , определенный следующим образом: { , если мера ( ) = 0, , = внутренность , в противном случае. Будем предполагать, что существует положительная константа < 1 такая, что для каждого элемента 6 6 1 : , = . (17) Также предполагаем, что локальное пространство ( ) содержит пространство полиномов ( ) степени не выше и удовлетворяет (6). Предполагаем, что стабилизирующий коэффициент 11 , определяющий численные потоки в (9) и (10), определяется следующим образом { min{ + , }, если + , , 11 ( ) = (18) + , если + , 121 где > 0, 1 6 6 0 не зависят от размера сетки. Для удобства введем в рассмотрение параметры * и * : * = max { , 1}, * = min { , 1}. 4. Априорные оценки. Для удобства дальнейших рассуждений введем в рассмотрение проекцию. Нужно найти ( , q ) : [0, ] > W , удовлетворяющие соотношениям: , ) + ( ( , ) = 0, ) + ( ( , , ) = 0, (19) (20) где ( , ) . Обозначим за и — проекции из и на конечно-элементные пространства и соответственно. Используя проекции и , можно написать = ( ) ( ) = , = ( ) ( ) = . Используя проекцию (19), (20), систему (13), (14) можно переписать в виде ( , ) + ( , ) = 0, ( ) ( ) , ( , ) + ( , ) = , . (21) (22) , Представим ошибку погрешности проекции (19), (20) ( , ) = ( ) как следующую сумму: ( , ) = ( , ) + ( , ) . Будем считать, что выполняется свойство ортогональности метода Галеркина, а именно ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) = 0 ( , ) . (23) Для получения оценки в норме , , где — натуральное число и — подобласть , нужно найти оценку погрешности аппроксимации линейного функционала ( ) = ( , ), где ( · , · ) обозначает скалярное произведение в 2 через ( ) , = ( ) . 0 ( ) , sup В настоящей работе нас интересует случай при = 0. Для достижения необходимых оценок введем в рассмотрение решение следующей двойственной задачи: = в , 122 (24) = 0 на . (25) Приведем две леммы, содержащие всю информацию, которая будет использоваться относительно конечных элементов. Их доказательство основывается на работах [14, 15]. Лемма 1. Пусть +1 ( ) , > 0. Пусть есть линейный непрерыв- ный оператор из +1 ( ) в ( ) такой, что = для всех ( ) . Тогда для целого , 0 6 6 + 1, получим min{ , }+1 | | , 6 min{ , }+ 12 0, 6 +1, , +1, , где — константа, зависящая только от в неравенстве (16), , и . Лемма 2. Существует положительная константа , зависящая только от в неравенстве (16), и такая, что для всех ( ) выполняется 1 0, 6 2 0, для всех и всех . Пусть и — произвольные проекции на пространства и , удовлетворяющие покомпонентно предположениям леммы 1. Лемма 3. Пусть ( , ) +1 ( )2 +2 ( ) и ( , ) +1 ( )2 +2 ( ), , > 0. Тогда справедлива следующая оценка: | ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , )| 6 ) 1/2 ) 1/2 ( [ ( 2 min{ , }+2 2 min{ , }+2 2 +1, + 2 +1, 6 + ( 2 min{ +1, } 2 +2, ) 1/2 ( + ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 + 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 ( 2 min{ +1, } 2 +2, ) 1/2 + ( ) 1/2 ( ) 1/2 ] 2 min{ +1, }+1 2 min{ +1, }+1 2 2 + 11 +2, 11 +2, . Д о к а з а т е л ь с т в о [14]. Положим = , = , = = , = . Тогда имеем | ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) | 6 6 | ( , )| + | ( , )| + | ( , )| + | ( , )|. Оценим отдельно каждое слагаемое. 123 Из неравенства Коши—Буняковского получаем ( ) 1/2 ( ) 1/2 2 2 | ( , )| 6 0, 0, . 6 Далее из оценок леммы 1 следует | ( , )| 6 ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/12 ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 . Интегрируя по частям и последовательно применяя неравенство Коши— Буняковского и лемму 1, получим следующую оценку: [ | ( , )| = · + 6 ( ( | |21, 6 ( 1 20, + ] · ( ) 6 ) ) 1/2 ( ( 20, + 20, ) ) 1/2 6 2 min{ +1, } 2 +2, ) 1/2 ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 . Далее для ( , ) и ( , ) получим | ( , )| 6 ( 2 min{ , }+2 2 +1, ) 1/2 ( | ( , )| = 11 ( out 62 ) · ( ) 6 2 11 20, ) 1/2 ( 6 ( ; 11 [[ ]] · ( ) 6 ( ) 1/2 6 2 min{ +1, } 2 +2, 2 min{ +1, }+1 11 2 +2, v v 11 11 6 11 20, ) 1/2 6 ) 1/2 ( 2 min{ +1, }+1 11 2 +2, ) 1/2 Сложив полученные неравенства, получим требуемую оценку. Следствие 1. Пусть ( , ) +1 ( )2 +2 ( ), > 0 является точным решением (3)–(5), пусть +2 ( ) , > 0 является решением двойственной задачи (24), (25) и = . Полагаем также, что коэффициент 11 124 . удовлетворяет выражению (18). Тогда существует константа , зависящая только от , , и такая, что ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 +2 +2 , { } где = 1+ , когда = 0 и = min +1+min{ +1, }, +1+min{ , + } для > 1. Более того, ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 2 +2 +2 , где = 1 2 { } (1 + ) при = 0 и = min + 1, + 12 (1 + ) при > 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из леммы 3 получим ( , ; , ) ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 [ 6 min{ , }+1 ( min{ , }+1 + min{ +1, } )+ ] + min{ +1, }+1 ( min{ , } + min{ +1, }+ ) +2 +2 и ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 ] [ 6 2 min{ , }+2 + 2 min{ +1, }+1+ +2 . 2 Лемма 4. Пусть и обозначают 2 ( )-проекцию и 2 ( ) -проекцию на и соответственно. Тогда справедлива оценка ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) 6 ( ) ( ) 1 1 6 20 + 11 [[ ]]2 {{ }}2 + {{ }}2 + 11 [[ ]]2 , 11 где — константа, зависящая от , и . Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем = и = , тогда получим | ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) | 6 6 | ( , ) | + | ( , ) | + | ( , ) | + | ( , ) |. Используя неравенство Коши—Буняковского и тот факт, что есть 2 ( )2 проекция, получим | ( , ) | = 0. Далее получим | ( , )| = {{ }}[[ ]] . 125 1/2 Умножим и поделим полученное на 11 , применим неравенство Коши—Буняковского: ( | ( , )| 6 ) 1/2 ( 11 [[ ]] 2 ) 1/2 1 2 {{ }} . 11 Аналогично | ( , ) | = ( {{ }}[[ ]] 6 ) 1/2 ( [[ ]]2 ) 1/2 1 {{ }}2 . Первый множитель можно оценить с использованием леммы 2: [[ ]] 6 ( | · )2 6 | · 20, 6 6 sup 20 6 20 , где ( ) = min{ , }, если , , ( ) = , если , = = sup{ ( ) : }. И, наконец, | ( , ) | = ( 11 [[ ]][[ ]] 6 ) 1/2 ( 11 [[ ]] 2 ) 1/2 11 [[ ]] . 2 Доказательство завершено. 2 Лемма 5. Для ( , ) +1 ( ) +2 ( ) , > 0 справедлива оценка ( 1 ) 1 {{ }}2 + {{ }}2 + 11 [[ ]]2 6 11 ) ( 2 min{ , }+1 1 2 6 +1, + 11 ) ( 2 min{ +1, }+1 ( 1 ) + 11 + 2 +2, , где 11 = inf{ 11 ( ) : }, = inf{ ( ) : }, — константа, не зависящая от размера сетки, а зависящая только от аппроксимации и констант из лемм 1 и 2, = , = и ( ) = min{ , }, если , , ( ) = , если , = sup{ ( ) : }. 2 Следствие 2. Пусть ( , ) +1 ( ) +2 ( ) , > 0. Полагаем, что коэффициент 11 удовлетворяет (18). Рассматриваемые триангуляции удовлетворяют предположению (16). Если = 0, предполагаем, что (17) 126 имеет силу. Тогда существует константа , которая зависит только от , , , и такая, что ( ) 1 1 {{ }}2 + {{ }}2 + 11 [[ ]]2 6 2 2 +2 , 11 где = 21 (1 * ) , если = 0 и = min{ + 21 (1 + * ) , + > 1. Если = 0, константа не зависит от . 1 2 (1 * )}, если Д о к а з а т е л ь с т в о. Если взять коэффициент 11 в виде (18), то после простых вычислений получим 1 6 1 11 и ( 11 1 ) 1 1 , + 6 + где параметр определяется в (17). Далее получим ( 1 ) 1 {{ }}2 + {{ }}2 + 11 [[ ]]2 6 11 [ ( ) ] 6 2 min{ , }+1 1 + 2 min{ +1, }+1 + 1 2 +2 , откуда непосредственно вытекает искомая оценка. Предполагаем, что выполняются следующие аппроксимационные свойства для проекций и : | ( , ) + ( , ) ( , ) + + ( , ) | 6 +2 +2 (26) для произвольных ( , ), ( , ) и | ( , ) + ( , ) ( , ) + ( ) + ( , ) | 6 20 + 11 [[ ]]2 +2 (27) для произвольных ( , ) и ( , ) 1 ( )2 2 ( ). Лемма 6. Справедлива следующая оценка 20 + 11 [[ ]]2 6 +2 + +2 . 127 Д о к а з а т е л ь с т в о. 2 0 + 11 [[ ]]2 6 20 + 11 [[ ]]2 + 20 + + Т.к. ( 20 + 11 [[ ]]2 . ) 2 11 [[ ]]2 = ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) , = ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) из (23), = ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) , ) ( 2 2 11 [[ ]] +2 из (27). 6 0 + Таким образом, справедлива следующая оценка: 20 + 11 [[ ]]2 6 +2 (28) и далее 20 + 11 [[ ]]2 6 + 11 [[ ]]2 + +2 . Искомая оценка следует после применения предположения (26). Лемма 7. Пусть — натуральное число. Тогда справедлива следующая оценка: , 6 min{ ,2 } +2 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть является решением двойственной задачи (24), (25) и = , тогда легко показать, что при выборе = получим ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) = ( ) для всех ( , ) . Задача (1), (2) может быть переписана в виде (15). Возьмем ( , ) = ( , ), получим ( ) = ( , ) + ( , ) ( , ) + ( , ) , 128 = ( , ) + ( , ) ( , ) + + ( , ) из (23), = ( , ) + ( , ) ( , ) + + ( , ) + ( , ) + + ( , ) ( , ) + + ( , ) . Т.к. ( , ) , применяя (27) и (28), получим следующую оценку: | ( , ) + ( , ) ( , ) + + ( , ) | 6 +2 +2 , далее получим | ( )| 6 +2 +2 + ( , ) + + ( , ) ( , ) + ( , ) . Применим предположение (26) и по определению негативной нормы получим искомую оценку. Следствие 3. Пусть — натуральное число. Тогда справедлива следую- щая оценка: , 6 min{ ,2 } ( +2 + +2 ) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Для получения искомой оценки нужно продифференцировать (19), (20) по и выполнить процедуру доказательства, аналогичную при доказательстве леммы 7. Используя введенную ранее проекцию (19), (20), можно записать = ( ) ( ) = , ) ( ) = . q = (q Лемма 8. Существует константа , не зависящая от и такая, что 2 + 0 ( 2 6 (0) + 2 ) . 2 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем = в (21) и = в (22), просуммируем и получим 1 2 + ( , ) + ( , ) = ( , ) . 2 129 Используя неравенство Коши—Буняковского, получим 2 + 2 + 2 ( , ) 6 2 + 2 . Интегрируя последнее выражение от 0 до , получим { } 2 . 2 + 2 + 2 + 2 ( , ) 6 (0) 2 + 0 0 0 Используя лемму Гронуолла, получим ( 2 2 2 + 6 (0) + 0 ) . 2 0 Возьмем = в (21) и = в (22). Используя неравенство Коши— Буняковского, получим 1 1 1 1 ( , ) + 2 + ( , ) 6 2 . 2 2 2 2 Интегрируя от 0 до , получим ( ) 2 2 2 + + ( , ) 6 (0) + (0) , (0) + 2 . 0 0 5. Формулировка и доказательство основной теоремы. Теорема. Пусть ( , ) является решением задачи (3)–(5) и ( , ) является решением задачи (11)–(12). Пусть выполнены предположения на локальные пространства и на вид стабилизирующего параметра 11 . Предполагаем, что триангуляция удовлетворяет предположению (16). При = 0 также предполагаем, что имеет силу предположение (17). Тогда для ( , ) +1 ( ) +2 ( ) при > 0 получим оценку ( ) + 0 6 +2 + { ( ) +2 + ( ) +2 } , 0 где зависит от , (в случае = 0), , и ; } { 1 1 1 = min + (1 + * ) , + (1 * ) , = (1 + * ) , 2 2 2 В случае = 0 получим = = 1 2 если > 1. (1 * ) . Д о к а з а т е л ь с т в о. С учетом неравенств треугольника для искомой оценки справедливо утверждение 0 6 0 + 0 . (29) Рассмотрим норму 2 погрешности . Возьмем = 0 и = в лемме 7. Из условия эллиптической регулярности двойственной задачи (24), (25) 130 получим 2 6 0 . Оценка 0 получается из следствий 1 и 2 и ограниченности 1 и 2 величиной 0 . Получим 0 6 min{ | =0 , + | =0 } +2 , и т.к. min{ | =0 , + | =0 } = + | =0 , получим следующую оценку 0 6 + +2 , (30) где = | =0 . Используя неравенство треугольника (29), лемму 8 и следствие 3, получим искомую оценку. Доказательство завершено. В таблице ниже представлены порядки сходимости по с различным выбором стабилизирующего параметра 11 . Эти порядки получаются из (30). Порядки сходимости решения +2 для > 0 и > 1 [Convergence orders of solution +2 for > 0 and > 1] 11 =0 = 1 (1) (1/ ) 0 } { min + 12 , + 12 min { + 1, } + 1 Заключение. В работе получены оценки погрешности решения двумерной однородной краевой задачи для параболического уравнения с помощью метода Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных неструктурированных сетках. При этом предполагалось, что узлы двойственной сетки являются центрами ячеек основной сетки. Как видно из таблицы, в случае использования стабилизирующего коэффициента порядка единицы получается порядок сходимости + 1/2, а в случае использования стабилизирующего коэффициента порядка 1 порядок сходимости увеличивается до + 1 для исследуемого метода, где — максимальный порядок используемых полиномов в базисных функциях. В данном случае, в отличие от традиционного подхода, в котором используется одна сетка, выбор численных потоков на границе элементов происходит интуитивно более понятно за счет использования разнесенных сеток. Оптимальность полученных теоретических результатов тестировалась для двумерных задач в серии ранее опубликованных работ [1, 2, 4, 5]. Полученные порядки сходимости для локального разрывного метода Галеркина на разнесенных неструктурированных сетках соответствуют аналогичным оценкам, ранее полученным другими авторами на неразнесенных неструктурированных сетках [7, 15, 18].

About the authors

Ruslan V. Zhalnin

Ogarev Mordovia State University

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Victor Fedorovich Masyagin

Ogarev Mordovia State University

Email: vmasyagin@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Elizaveta Evgenievna Peskova

Ogarev Mordovia State University

without scientific degree, Scientific Employee

Vladimir Fedorovich Tishkin

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences

Email: tishkin@imamod.ru, v.f.tishkin@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

Supplementary files