The nonlocal problem for a non-stationary third order composite type equation with general boundary condition

Full Text

Целью данной работы является исследование уравнения 3 3 + 3 =0 3 (1) в области = {( , , ) : 0 < < 1, 0 < < 1, 0 < 6 } с краевыми условиями ( , , 0) = ( , , ), = const, (2) 1 ( , ) (0, , ) + 2 ( , ) (0, , ) = 1 ( , ), (0, , ) = 2 ( , ), (3) 3 ( , ) (1, , ) + 4 ( , ) (1, , ) + 5 ( , ) (1, , ) = 3 ( , ), 1 ( , ) ( , 0, ) + 2 ( , ) ( , 0, ) = 1 ( , ), ( , 0, ) = 2 ( , ), (4) 3 ( , ) ( , 1, ) + 4 ( , ) ( , 1, ) + 5 ( , ) ( , 1, ) = 3 ( , ), где 2 2 5 5 = 0; 0,1 1 ( , ), 2 ( , ), 1 ( , ) , ( 1 ); 0,1 1 ( , ), 2 ( , ), 1 ( , ) , ( 3 ); 0,1 2 ( , ) ( 1 ); 3 ( , ), 4 ( , ), 5 ( , ), 3 ( , ) , ( 2 ); 0,1 2 ( , ) ( 3 ); 3 ( , ), 4 ( , ), 5 ( , ), 3 ( , ) , ( 4 ). (5) Здесь 0 = {( , , ) : 0 < < 1, 0 < < 1, = 0}, 1 = {( , , ) : = 0, 0 < < 1, 0 < 6 }, 2 = {( , , ) : = 1, 0 < < 1, 0 < 6 }, 3 = {( , , ) : 0 < < 1, = 0, 0 < 6 }, 4 = {( , , ) : 0 < < 1, = 1, 0 < 6 }. Уравнение (1) является обобщением уравнения 3 =0 3 (6) в пространстве R3 . Уравнение (6) исследовано в работе [1], в которой построено фундаментальное решение уравнения и разработана теория потенциалов, с помощью которой можно построить регулярное решение краевых задач для уравнения (6). В работе [2] доказано, что фундаментальное решение уравнения (1) имеет следующий вид: ( ) ( ) 1 , = , = , > ; ( )2/3 ( )1/3 ( )1/3 ( ) ( ) 1 1 ( , , ; , , ) = , = , > , > ; ( )2/3 ( )1/3 ( )1/3 ( ) ( ) 1 2 ( , , ; , , ) = , > , = , > . ( )2/3 ( )1/3 ( )1/3 0 ( , , ; , , ) = Здесь функции ( ) и ( ) называются функциями Эйри и являются решениями уравнения ( ) + ( ) = 0. 3 Для функций ( ) и ( ) справедливы следующие соотношения (см. [3]): ( 2 ) /2 1/4 3/2 ( ) ( ) + sin , 3 188 при > , ( 2 ) /2 1/4 ( ) ( ) exp | |3/2 , при > , | | 3 0 2 ( ) = , ( ) = 0. ( ) = , ( ) = , 3 3 0 0 Здесь + , — постоянные. Далее нами изучены (см. [3]) свойства фундаментальных решений уравнения (1), которые будут необходимы при построении решений краевых задач типа (1)–(4). Эти свойства фундаментальных решений даются в виде следующих лемм (см. [3, 14]). ( ) Лемма 1. Пусть ( , ) 2 . Тогда 1 2 0 ( 1, ; ) ( , ) = lim ( , ). >1 0 0 3 0 ( ) Лемма 2. Пусть ( , ) 4 . Тогда 1 2 lim 0 ( , 1; ) ( , ) = ( , ). >1 0 0 3 0 ( ) Лемма 3. Пусть ( , ) 1 удовлетворяет неравенству Гельдера с показателем > 1/4. Тогда 1 2 2 lim 0 ( 0, ; ) ( , ) = ( , ), >0+0 0 3 0 1 lim 2 ( 0, ; ) ( , ) = 0. >0+0 0 0 ( Лемма 4. Пусть ( , ) 3 ) удовлетворяет неравенству Гельдера с показателем > 1/4. Тогда 1 2 2 ( , ), lim 0 ( , 0; ) ( , ) = >0+0 0 3 0 1 lim 1 ( , 0; ) ( , ) = 0. >0+0 0 0 ( ) Лемма 5. Пусть ( , ) 1 . Тогда 0 ( , ) 2 (0) v = ( , ), ( )1/3 3 (0) ( ) ( , ) . ( )1/3 0 0 ( ) Отметим, что фундаментальные решения уравнения (1) и линейного уравнения Захарова—Кузнецова 1 где ( , ) = + + = 0 (7) 189 обладают идентичными асимптотическими свойствами на бесконечности [4–8]. Уравнение Захарова—Кузнецова (7) является одним из вариантов обобщения уравнение Кортевега—де Фриза в многомерном пространстве и описывает ионно-акустические волновые процессы в плазме [5, 8]. В настоящее время часто возникают задачи, связанные с исследованием уравнений в частных производных, не принадлежащих ни к одному из классических типов. Поэтому в последние годы уделяется большое внимание исследованию такого рода неклассических уравнений, которые еще мало изучены [3–14]. Проведем исследование задачи (1)–(4). Теорема 1. Пусть 2 > 0, < 0, и выполнены следующие условия: ) 5 = 0, 2 3 5 42 > 0, ) 5 = 0, 2 3 5 42 > 0, 3 1 + > 0, 5 2 3 1 + > 0, 5 2 1 6 0; 2 1 6 0. 2 Тогда задача (1)–(4) имеет не более одного решения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что существует два решения задачи (1)– (4). Тогда, вводя обозначение ( , , ) = 1 ( , , ) 2 ( , , ), получаем относительно функции ( , , ) следующую задачу с однородным краевым условием: ( ) + = 0, ( , , 0) = ( , , ), = const, 1 ( , ) (0, , ) + 2 ( , ) (0, , ) = 0, (0, , ) = 0, 3 ( , ) (1, , ) + 5 ( , ) (1, , ) + 5 ( , ) (1, , ) = 0, 1 ( , ) ( , 0, ) + 2 ( , ) ( , 0, ) = 0, ( , 0, ) = 0, 3 ( , ) ( , 1, ) + 4 ( , ) ( , 1, ) + 5 ( , ) ( , 1, ) = 0. Рассмотрим тождество 0 1 1 0 ( ) ( , , ) = 0. 0 Интегрируя его по частям, получим 1 ( ) 3 2 4 1 (1, , ) + (1, , ) (1, , ) + 2 (1, , ) 5 5 2 0 0 1 ( ) 3 2 4 1 ( , 1, ) + ( , 1, ) ( , 1, ) + 2 ( , 1, ) 5 5 2 0 0 1 ( 1 ( ) 1 2 1 ) 2 (0, , ) ( , 0, ) 2 2 0 0 0 0 190 1 2 0 1 1 ( 0 ) 2 2 ( , , ) + 2 0 0 1 1 2 ( , , ) = 0. 0 Отсюда в силу условий теоремы квадратичная форма = 35 2 + 54 + 12 2 будет положительно определенной. Следовательно, можно записать 1 3 2 4 + + 2 1 2 + 2 2 . 5 5 2 Здесь 1 > 0, 2 > 0 — характеристические числа матрицы квадратичной формы . Аналогичный вывод можно сделать для 35 2 + 45 + 12 2 . Тогда в силу условий теоремы имеем = 0 в , и в силу непрерывности функции ( , , ) в получаем ( , , ) = 0 в . Теорема 2. Пусть выполнены условия (5) и условия теоремы 1. Тогда задача (1)–(4) имеет единственное решение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение задачи (1)–(4) построим методом потенциалов. Будем его искать в следующем виде: 1 1 ( , , ) = 0 ( , , ; , , 0) 0 ( , ) + 0 0 1 1 + 0 ( , , ; 0, , ) 1 ( , ) + 0 ( , , ; 1, , ) 2 ( , ) + 0 0 0 0 1 1 + 2 ( , , ; 0, , ) 3 ( , ) + 0 ( , , ; , 0, ) 1 ( , ) + 0 0 0 0 1 ( ) + 0 ( , , ; , 1, ) 2 ( , ) + 1 ( , , ; , 0, ) 3 ( , ) . 0 0 Здесь 0 ( , ) ( , , 0); ( , ), ( , ) — пока неизвестные функции. Теперь, удовлетворяя условию (2), первому и третьему условиям из (3) и (4), а также используя леммы 1, 2, 3, 4, из (7) получаем следующую систему интегральных уравнений: 1 1 1 0 ( , ) = 0 ( , , ; ) 0 ( , ) + 0 0 1 + 0 ( 0, , ) 1 ( , ) + 0 0 1 0 ( 1, , ) 2 ( , ) + + 0 0 1 + 2 ( 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 1 ( , 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 0 ( , 1, ) 2 ( , ) + 0 0 191 1 0 ( , 0, ) 1 ( , ) , (8) + 0 0 2 2 1 ( , ) + 2 ( , ) 1 ( , ) = 3 1 1 ( ) 1 0 (0 , , ) + 2 0 (0 , , ) 0 ( , ) + = 0 0 1 ( ) + 1 0 (0 0, , ) 1 ( , ) + 1 2 (0 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 (0 1, , ) + 2 0 (0 1, , ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 1 (0 , 0, ) + 2 1 (0 , , ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 (0 , 1, ) + 2 0 (0 , 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 (0 , 0, ) + 2 0 (0 , , ) 1 ( , ) , (9) 0 0 1 1 2 3 ( , ) 5 ( , ) 2 ( , ) = 3 0 (1 , , ) 0 ( , ) + 3 0 0 1 1 ( ) + 4 0 (1 , , ) + 5 0 (1 , , ) 0 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 (1 1, , ) + 4 0 (1 1, , ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 (1 0, , ) + 4 0 (1 0, , ) 1 ( , ) + 0 0 1 + 5 0 (1 0, , ) 1 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 2 (1 0, , ) + 4 2 (1 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 5 2 (1 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 1 (1 , 0, ) + 4 1 (1 , 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 5 1 (1 , 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 (1 , 1, ) + 4 0 (1 , 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 + 5 0 (1 , 1, ) 2 ( , ) + 0 192 0 + 0 0 1 ( ) 3 0 (1 , 0, ) + 4 0 (1 , 0, ) 1 ( , ) + 1 5 0 (1 , 0, ) 1 ( , ) , (10) + 0 0 2 2 1 ( , ) + 2 ( , ) 1 ( , ) = 3 1 1 ( ) = 1 0 ( , 0 , ) + 2 0 ( , 0 , ) 0 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 ( 1, 0 , ) + 2 0 ( 1, 0 , ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 ( 0, 0 , ) + 2 0 ( 0, 0 , ) 1 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 2 ( 0, 0 , ) + 2 2 ( 0, 0 , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 1 1 ( , 0 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 1 0 ( , 0 1, ) + 2 0 ( , 0 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 + 1 0 ( , 0 0, ) 1 ( , ) , (11) 0 0 2 3 ( , ) 5 ( , ) 2 ( , ) = 3 1 1 ( ) = 3 0 ( , 1 , ) + 4 0 ( , 1 , ) 0 ( , ) + 0 0 1 1 + 5 0 ( , 1 , ) 0 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 ( 1, 1 , ) + 4 0 ( 1, 1 , ) 2 ( , ) + 0 0 1 + 5 0 ( 1, 1 , ) 2 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 0 ( 0, 1 , ) + 4 0 ( 0, 1 , ) 1 ( , ) + 0 0 1 + 5 0 ( 0, 1 , ) 1 ( , ) + 0 0 1 ( ) + 3 2 ( 0, 1 , ) + 4 2 ( 0, 1 , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 5 2 ( 0, 1 , ) 3 ( , ) + 0 0 193 + 0 1 ( 0 ) 3 1 ( , 1 0, ) + 4 1 ( , 1 0, ) 3 ( , ) + 1 5 1 ( , 1 0, ) 3 ( , ) + + 0 0 1 + 3 0 ( , 1 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 4 0 ( , 1 1, ) 2 ( , ) + + 0 + 0 0 1 ( 0 ) 3 0 ( , 1 0, ) + 4 0 ( , 1 0, ) 1 ( , ) + 1 5 0 ( , 1 0, ) 1 ( , ) . (12) + 0 0 В этой системе первое уравнение является уравнением второго рода фредгольмовского типа, а остальные уравнения относятся к уравнениям второго рода вольтерровского типа. Теперь, удовлетворяя второе условие из (3) и (4), получаем уравнения, относящиеся интегральным уравнением первого рода вольтерровского типа: 2 ( , ) = 0 1 1 0 (0 , , ) 0 ( , ) + 1 + 0 (0 0, , ) 1 ( , ) + 0 0 1 0 (0 1, , ) 2 ( , ) + + 0 0 1 + 2 (0 0, , ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 1 (0 , 0, ) 3 ( , ) + 0 0 1 + 0 (0 , 1, ) 2 ( , ) + 0 0 1 + 0 (0 , 0, ) 1 ( , ) , (13) 0 0 2 ( , ) = 0 1 1 0 ( , 0 , ) 0 ( , ) + 1 + 0 ( 0, 0 , ) 1 ( , ) + 0 0 1 + 0 ( 1, 0 , ) 2 ( , ) + 0 0 194 0 0 1 2 ( 0, 0 , ) 3 ( , ) + + 0 0 1 1 ( , 0 0, ) 3 ( , ) + + 0 0 1 + 0 0 0 ( , 0 1, ) 2 ( , ) + 1 ( , 0 0, ) 1 ( , ) . (14) + 0 0 Чтобы свести эти уравнения к уравнению второго рода, используем лемму 5, т.е. применяем преобразование Абеля. Тогда уравнения (13) и (14) сведутся к интегральным уравнениям второго рода вольтерровского типа. Так как в системе уравнений, состоящих из уравнений (9)–(14), 2 2 2 ( , ) 0 0 0 0 0 3 2 0 ( , ) 0 0 0 0 3 5 2 2 0 0 0 ( , ) 0 0 2 3 = = 2 0 0 0 0 3 5 ( , ) 0 2 2 v v (0) (0) 0 0 0 0 3 3 2 2 v v 0 0 0 (0) 0 (0) 3 3 ( ) 2 4 2 2 2 5 5 (0) = 0, = 243 ее можно записать в следующем виде: 1 ( , ) = ( , ; , ) ( , ) + ( , ; 0 ), 0 = 1, 6. (15) 0 Здесь 1 ( , ) 1 ( , ), 4 ( , ) 1 ( , ), 2 ( , ) 2 ( , ), 5 ( , ) 2 ( , ), | ( , ; , )| 6 · ( ) 11/12 , 3 ( , ) 3 ( , ), 6 ( , ) 3 ( , ), ( , ) 1 ( ). Так как система уравнений (15) является системой уравнения вольтерровcкого типа, она имеет единственное решение. Теперь, воспользовавшись ее решением, из уравнения (8) получаем интегральные уравнения второго рода фредгольмовского типа: 1 1 0 ( , ) = 1 ( , ; , ) 0 ( , ) + 0 ( , ), 0 0 1 1 0 ( , ) = 1 ( , ; , ) 0 ( , ) + 1 ( , ). 0 0 Здесь в силу свойств функций Эйри имеем ( ) 1/4 | 1 ( , ; , )| 6 · ( )( ) , 0 ( , ), 1 ( , ) 1 ( ). 195 Теперь в силу теоремы 1 решение этого интегрального уравнения существует. Тогда задача (1)–(4) имеет единственное решение.

About the authors

Abdukomil Risbekovich Khashimov

Tashkent Financial Institute

Email: khashimov_abdukomil@yahoo.com, abdukomil@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files