Групповая классификация, инвариантные решения и законы сохранения нелинейного двумерного ортотропного уравнения фильтрации с дробной производной Римана–Лиувилля по времени

Полный текст

\Section[n]{Введение} Интегро-дифференциальные уравнения с производными дробных порядков различных типов [1, 2] в последнее время привлекают большое внимание исследователей из самых различных областей науки и техники благодаря возможности их использования в качестве математических моделей сложных процессов, сред и систем, проявляющих эффекты памяти и пространственной нелокальности [3-12]. Наиболее хорошо в настоящее время исследованы одномерные дробно-дифференциальные уравнения диффузионного типа, к которому относится и большинство простейших дробно=дифференциальных уравнений фильтрации. Однако с точки зрения практического использования существенно больший интерес представляют уравнения в~двумерных и трехмерных областях. Исследование ряда важных качественных свойств таких уравнений, особенно нелинейных, может быть выполнено методами современного группового анализа [13-17]. Для дробно=дифференциальных уравнений в последнее десятилетие удалось развить ряд классических теоретико-групповых методов (см. [18, 19] и цитируемую там литературу), что дало возможность находить допускаемые такими уравнениями группы симметрий, решать задачи их групповой классификации, строить фактор-уравнения, инвариантные решения и законы сохранения. Отметим, что задача групповой классификации уравнения имеет не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку выделение классов уравнений с~расширенной группой симметрий позволяет выделять также и соответствующие подмодели, обладающие расширенным набором симметрийных свойств и, как следствие, имеющих дополнительные инвариантные решения и законы сохранения. Настоящая работа посвящена исследованию симметрийных свойств нелинейного двумерного дробно=дифференциального уравнения $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }u={(f(u_x^2+u_y^2)u_x)}_x+{(g(u_x^2+u_y^2)u_y)}_y,f,g>0,\alpha \in (0,1)\cup (1,2).$$ Здесь через ${}_0^{}{D}_t^{\alpha }$ обозначен оператор дробного дифференцирования Римана--~Лиувилля порядка $\alpha$: $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }u={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}}{\displaystyle \frac{{\partial }^n}{\partial t^n}}{\int }_0^t{\displaystyle \frac{u(\tau ,x,y)}{(t-\tau {)}^{\alpha -n+1}}}d\tau ,n=[\alpha ]+1.$$ Уравнение $\text{(???)}$ позволяет, в частности, описывать процессы фильтрации в ортотропной гетерогенной пористой среде и может быть получено на основе дробно=дифференциальных модификаций закона Дарси [20-22] (в этом случае в качестве функции $u$ выступает давление, а функции $f$ и $g$ являются компонентами тензора пьезопроводности ортотропной среды). При $\alpha =1$ уравнение $\text{(???)}$ превращается в классическое нелинейное двумерное ортотропное уравнение фильтрации, результаты групповой классификации которого приведены в [23]. Решается задача групповой классификации уравнения $\text{(???)}$ относительно функций $f$ и $g$ по допускаемым этим уравнением однопараметрическим группам Ли точечных преобразований вида $$\begin{array}{llll}\overline{t}=\lambda (t,x,y,u,a),& \overline{y}={\nu }^2(t,x,y,u,a),[1ex]\overline{x}={\nu }^1(t,x,y,u,a),& \overline{u}=\omega (t,x,y,u,a),[1ex]\lambda {|}_{a=0}=t,{\nu }^1{|}_{a=0}=x,& {\nu }^2{|}_{a=0}=y,\omega {|}_{a=0}=u,\end{array}$$ где $a$ --- параметр группы. Порядок дробного дифференцирования $\alpha$ не преобразуется. Группе преобразований $\text{(???)}$ соответствует инфинитезимальный оператор $$X=\tau (t,x,y,u){\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}+{\xi }^1(t,x,y,u){\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+{\xi }^2(t,x,y,u){\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}+\eta (t,x,y,u){\displaystyle \frac{\partial }{\partial u}},$$ координаты которого определяются соотношениями $$\begin{array}{lll}\tau (t,x,y,u)={\displaystyle \frac{\partial \lambda (t,x,y,u,a)}{\partial a}}{|}_{a=0},& {\xi }^2(t,x,y,u)={\displaystyle \frac{\partial {\nu }^2(t,x,y,u,a)}{\partial a}}{|}_{a=0},[2ex]{\xi }^1(t,x,y,u)={\displaystyle \frac{\partial {\nu }^1(t,x,y,u,a)}{\partial a}}{|}_{a=0},& \eta (t,x,y,u)={\displaystyle \frac{\partial \omega (t,x,y,u,a)}{\partial a}}{|}_{a=0}.\end{array}$$ Такой инфинитезимальный оператор допускаемой уравнением группы будет, как обычно, называться \textit{точечной симметрией} этого уравнения. \smallskip \Section{О линейной автономности группы, допускаемой дробно-диф\-фе\-рен\-ци\-аль\-ным уравнением} Уравнение $\text{(???)}$ является частным случаем уравнения вида $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }u=\mathrm{\Phi }(t,x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy}),$$ для симметрий которого может быть доказано одно важное свойство. Следуя работе [24], преобразования вида $\text{(???)}$, в которых функции $\lambda$, ${\nu }^1$ и ${\nu }^2$ не зависят от $u$, будем называть \textit{$x$-автономными преобразованиями}. Очевидно, что в этом случае координаты $\tau$, ${\xi }^1$ и ${\xi }^2$ оператора $\text{(???)}$ также не будут зависеть от $u$. Соответствующие симметрии будут называться \textit{$x$=автономными симметриями}. Если для $x$-автономной симметрии дополнительно выполнено условие ${\eta }_{uu}=0$, то такая симметрия будет называться \textit{линейно-автономной} [25]. \smallskip \hypertarget{LS:Th1}{} \phantomsection \begin{theorem}[1]\label{LS:Th1}Уравнение $\text{(???)}$ может обладать точечными симметриями вида $\text{(???)}$ только линейно=автономного типа с координатами $$\begin{array}{c}\tau =\rho (x,y)t+\varphi (x,y)t^2,{\xi }^1={\theta }^1(x,y),{\xi }^2={\theta }^2(x,y),[2ex]\eta =\psi (t,x,y)+[\phi (x,y)+(\alpha -1)\varphi (x,y)t]u,\end{array}$$ где $\rho$, $\varphi$, ${\theta }^1$, ${\theta }^2$, $\psi$, $\phi$ --- произвольные функции своих аргументов. \end{theorem} \smallskip \begin{proof} Необходимое условие инвариантности [19] уравнения $\text{(???)}$ относительно группы точечных преобразований, определяемой оператором $\text{(???)}$, может быть записано в виде $${[X_{(\alpha )}{}_0^{}{D}_t^{\alpha }u-X_{(2)}\mathrm{\Phi }]}_{\text{(???)}}=0,$$ где $$X_{(\alpha )}=X+{\zeta }_{(\alpha )}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial D_t^{\alpha }u}}$$ --- продолжение оператора $\text{(???)}$ на дробно=дифференциальную переменную $D_t^{\alpha }u$, а $X_{(2)}$ --- классическое второе продолжение оператора $\text{(???)}$ на все аргументы функции $\mathrm{\Phi }$ (см., например, [13, 17]). Координата ${\zeta }_{(\alpha )}$ находится по формуле продолжения \cite{GZ:GKL_HB_19_b}: $${\zeta }_{(\alpha )}=D_t^{\alpha }(W)+\tau D_t^{\alpha +1}u+{\xi }^1{D}_t^{\alpha }{u}_x+{\xi }^2{D}_t^{\alpha }{u}_y,$$ где $W=\eta -\tau u_t-{\xi }^1{u}_x-{\xi }^2{u}_y$. Как доказано в [26] (см. также [18, 19]), определяющее уравнение $\text{(???)}$ должно быть дополнено условием неподвижности точки начала отсчета дробной производной под действием преобразований группы: $$\tau (t,x,y,u){|}_{t=0}=0.$$ Функция $\eta$ является сложной функцией переменной $t$, поэтому вычисление дробной производной $D_t^{\alpha }\eta$, входящей в $\text{(???)}$, является непростой задачей. Как показано в [18], такая производная будет представляться рядом с четырехкратным вложенным суммированием. Поэтому для упрощения доказательства теоремы воспользуемся следующим формальным приемом. Перепишем функцию $\eta$ в квазилинейном по переменной $u$ виде $$\eta (t,x,y,u)=\psi (t,x,y)+\tilde{\eta }(t,x,y,u)u.$$ Тогда для доказательства утверждения теоремы необходимо показать, что ${\tilde{\eta }}_u=0$. Рассмотрим первое слагаемое в определяющем уравнении $\text{(???)}$ с учетом формулы продолжения $\text{(???)}$: $$\begin{array}{c}{X}_{(\alpha )}{}_0^{}{D}_t^{\alpha }u={\zeta }_{(\alpha )}\equiv {}_0^{}{D}_t^{\alpha }(\psi +\tilde{\eta }u-\tau u_t-{\xi }^1{u}_x-{\xi }^2{u}_y)++\tau {}_0^{}{D}_t^{\alpha +1}(u)+{\xi }^1{}_0^{}{D}_t^{\alpha }(u_x)+{\xi }^2{}_0^{}{D}_t^{\alpha }(u_y).\hfill \end{array}$$ \pagebreak Как это принято в групповом анализе, будем полагать, что все координаты инфинитезимального оператора $\text{(???)}$ являются требуемое число раз непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам. Тогда возможно применение оператора дробного дифференцирования ${}_0^{}{D}_t^{\alpha }$ независимо к каждому из слагаемых, стоящих в круглых скобках в правой части $\text{(???)}$, а также использование обобщенного правила Лейбница [1]: $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }(FG)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(F)D_t^k(G),$$ где ${}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(F)$ --- дробные производные (при $\alpha -k>0$) и дробные интегралы (при $\alpha -k<0$) соответствующих порядков, ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k})=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{k!\mathrm{\Gamma }(\alpha -k+1)}}$ --- биномиальные коэффициенты. Также воспользуемся очевидным равенством $$\tau u_t=D_t(\tau u)-D_t(\tau )u.$$ В силу условия $\text{(???)}$ и регулярности функции $\tau$ и ее первой производной по $t$ в точке $t=0$ имеем $\tau u{|}_{t=0}=0$. Тогда (см. [1, 2]), $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }{D}_t(\tau u)={}_0^{}{D}_t^{\alpha +1}(\tau u).$$ Подстановка приведенных выражений в $\text{(???)}$ и применение $\text{(???)}$ дает $$\begin{array}{c}{\zeta }_{(\alpha )}={}_0^{}{D}_t^{\alpha }(\psi )+[\tilde{\eta }-\alpha D_t(\tau )]{}_0^{}{D}_t^{\alpha }(u)++\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u)D_t^k(\tilde{\eta })-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k+1}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u)D_t^{k+1}(\tau )--\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u_x)D_t^k({\xi }^1)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u_y)D_t^k({\xi }^2).\hfill \end{array}$$ Подставляя $\text{(???)}$ в $\text{(???)}$ и заменяя дробную производную ${}_0^{}{D}_t^{\alpha }(u)$ на $\mathrm{\Phi }$ в силу исходного уравнения $\text{(???)}$, приходим к следующему определяющему уравнению: $$\begin{array}{c}{}_0^{}{D}_t^{\alpha }(\psi )+[\tilde{\eta }-\alpha D_t(\tau )]\mathrm{\Phi }++\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u)D_t^k(\tilde{\eta })-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k+1}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u)D_t^{k+1}(\tau )--\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u_x)D_t^k({\xi }^1)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}){}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u_y)D_t^k({\xi }^2)=X_{(2)}\mathrm{\Phi }.\hfill \end{array}$$ Выполним расщепление уравнения $\text{(???)}$ по всем интегралам и производным дробных порядков, которые могут рассматриваться теперь в качестве независимых переменных. Расщепление по ${}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u_x)$ и ${}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u_y)$ приводит к уравнениям $$D_t^k({\xi }^1)=0,D_t^k({\xi }^2)=0,k=1,2,\dots ,$$ интегрирование которых дает $${\xi }^1={\theta }^1(x,y),{\xi }^2={\theta }^2(x,y),$$ где ${\theta }^1$ и ${\theta }^2$ --- произвольные функции. Аналогично, расщепление $\text{(???)}$ по ${}_0^{}{D}_t^{\alpha -k}(u)$ приводит к системе $$(k+1)D_t^k(\tilde{\eta })-(\alpha -k)D_t^{k+1}(\tau )=0,k=1,2,\dots .$$ Рассматривая первые два уравнения этой системы (соответствующие $k=1$ и $k=2$), находим $$D_t^2(\tilde{\eta })=0$$ или $${\tilde{\eta }}_{tt}+2{\tilde{\eta }}_{tu}{u}_t+{\tilde{\eta }}_{uu}{u}_t^2+{\tilde{\eta }}_u{u}_{tt}=0.$$ Расщепление этого уравнения по $u_t$ и $u_{tt}$ дает требуемое условие ${\tilde{\eta }}_u=0$. Решение оставшегося уравнения ${\tilde{\eta }}_{tt}=0$ может быть представлено в виде $$\tilde{\eta }=\vartheta (x,y)t+\phi (x,y),$$ где $\vartheta (x,y)$ и $\phi (x,y)$ --- произвольные функции. Тогда уравнение, соответствующее $k=1$, принимает вид $$(\alpha -1)D_t^2\tau =2\vartheta (x,y).$$ Его интегрирование с учетом условия $\text{(???)}$ дает $$\tau =\varphi (x,y)t^2+\rho (x,y)t,$$ где $\rho (x,y)$ --- произвольная функция, а $\varphi (x,y)=\vartheta (x,y)/(\alpha -1)$. В результате приходим к искомым представлениям $\text{(???)}$. Определяющее уравнение $\text{(???)}$ принимает при этом вид $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }(\psi )+[\phi -\alpha \rho -(1+\alpha )\varphi t]\mathrm{\Phi }=X_{(2)}\mathrm{\Phi }.$$ \hfill \end{proof} \smallskip Результат теоремы~$\text{???}$ можно усилить, если наложить дополнительные ограничения на вид функции $\mathrm{\Phi }$. Заметим, что функция $\mathrm{\Phi }$ не зависит от $u_t$ и ее производных. Следовательно, правая часть уравнения $\text{(???)}$ будет линейно зависеть от переменных $u_t$, $u_{tx}$ и $u_{ty}$ в силу линейной зависимости от них координат продолженного оператора $X_{(2)}$. Осуществляя дополнительное расщепление уравнения $\text{(???)}$ по этим переменным, приходим к следующей системе уравнений: $$\begin{array}{rlrl}& {\tau }_x{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_x}}+{\tau }_y{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_y}}+{\tau }_{xx}{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{xx}}}+{\tau }_{xy}{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{xy}}}+{\tau }_{yy}{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{yy}}}=0,& 2{\tau }_x{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{xx}}}+{\tau }_y{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{xy}}}=0,& {\tau }_x{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{xy}}}+2{\tau }_y{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{yy}}}=0.\end{array}$$ Из двух последних уравнений этой системы следует, что при выполнении условия $$4{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{xx}}}{\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{yy}}}-({\displaystyle \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial u_{xy}}}{)}^2\ne 0$$ справедливы равенства ${\tau }_x={\tau }_y=0$. Тогда в $\text{(???)}$ имеем $\rho =C_1$, $\varphi =C_2$, и $$\begin{array}{c}\tau =C_{1}t+C_2{t}^2,{\xi }^1={\theta }^1(x,y),{\xi }^2={\theta }^2(x,y),[2ex]\eta =\psi (t,x,y)+(\phi (x,y)+(\alpha -1)C_{2}t)u,\end{array}$$ где $C_1$ и $C_2$ --- произвольные постоянные. \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Групповая классификация уравнения ($\text{???}$)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Уравнение $\text{(???)}$ может быть представлено в виде $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }u=F(u_x,u_y)u_{xx}+G(u_x,u_y)u_{yy}+H(u_x,u_y)u_{xy},\text{vspace}-2mm$$ где $$F=2u_x^2{f}^{\prime }+f,G=2u_y^2{g}^{\prime }+g,H=2u_x{u}_y(f^{\prime }+g^{\prime }).$$ Для уравнения $\text{(???)}$ условие $\text{(???)}$ принимает вид $4FG\ne H^2$. С учетом $\text{(???)}$ нетрудно показать, что это условие нарушается только в том случае, когда $f(r)=g(r)=f_0/\sqrt{r}$, $f_0$ --- произвольная постоянная. Однако подстановка этих функций в первое уравнение системы $\text{(???)}$ снова приводит к уравнениям ${\tau }_x={\tau }_y=0$. Таким образом, представления $\text{(???)}$ справедливы для уравнения~$\text{(???)}$ при любых $f,g>0$. Для уравнения $\text{(???)}$ с учетом $\text{(???)}$ уравнение $\text{(???)}$ для определения функций ${\theta }^1$, ${\theta }^2$, $\phi$ и $\psi$ принимает вид $$\begin{array}{c}{}_0^{}{D}_t^{\alpha }(\psi )+[\phi -\alpha C_1-(1+\alpha )t{C}_2](F{u}_{xx}+G{u}_{yy}+H{u}_{xy})--{\zeta }_{11}F-{\zeta }_{22}G-{\zeta }_{12}H-{\zeta }_1({\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_x}}{u}_{xx}+{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_x}}{u}_{yy}+{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_x}}{u}_{xy})--{\zeta }_2({\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_y}}{u}_{xx}+{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_y}}{u}_{yy}+{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_y}}{u}_{xy})=0,\hfill \end{array}$$ в котором $$\begin{array}{l}{\zeta }_1={\psi }_x+{\phi }_{x}u+(\phi +(\alpha -1)C_{2}t-{\theta }_x^1)u_x-{\theta }_x^2{u}_y,[2ex]{\zeta }_2={\psi }_y+{\phi }_{y}u-{\theta }_y^1{u}_x+(\phi +(\alpha -1)C_{2}t-{\theta }_y^2)u_y,[2ex]{\zeta }_{11}={\psi }_{xx}+{\phi }_{xx}u+(2{\phi }_x-{\theta }_{xx}^1)u_x-{\theta }_{xx}^2{u}_y+[2ex]+(\phi +(\alpha -1)C_{2}t-2{\theta }_x^1)u_{xx}-2{\theta }_x^2{u}_{xy},[2ex]{\zeta }_{12}={\psi }_{xy}+{\phi }_{xy}u+({\phi }_y-{\theta }_{xy}^1)u_x+({\phi }_x-{\theta }_{xy}^2)u_y-[2ex]-{\theta }_y^1{u}_{xx}+(\phi +(\alpha -1)C_{2}t-{\theta }_x^1+{\theta }_y^2)u_{xy}-{\theta }_x^2{u}_{yy},[2ex]{\zeta }_{22}={\psi }_{yy}+{\phi }_{yy}u-{\theta }_{yy}^1{u}_x+(2{\phi }_y-{\theta }_{yy}^2)u_y-[2ex]-2{\theta }_y^1{u}_{xy}+(\phi +(\alpha -1)C_{2}t-2{\theta }_y^2)u_{yy}.\end{array}$$ Расщепление $\text{(???)}$ по $u$, $u{u}_{xx}$, $u{u}_{yy}$ и $u{u}_{zz}$ приводит к системе $$\begin{array}{l}{\phi }_x{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_x}}+{\phi }_y{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_y}}=0,[2ex]{\phi }_x{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_x}}+{\phi }_y{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_y}}=0,[2ex]{\phi }_x{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_x}}+{\phi }_y{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_y}}=0,[2ex]{\phi }_{xx}F+{\phi }_{yy}G+{\phi }_{xy}H=0,\end{array}$$ расщепление по $t{u}_{xx}$, $t{u}_{yy}$, $t{u}_{zz}$ дает $$\begin{array}{l}{C}_2(u_x{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_x}}+u_y{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_y}}+{\displaystyle \frac{2\alpha }{\alpha -1}}F)=0,[2ex]C_2(u_x{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_x}}+u_y{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_y}}+{\displaystyle \frac{2\alpha }{\alpha -1}}G)=0,[2ex]C_2(u_x{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_x}}+u_y{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_y}}+{\displaystyle \frac{2\alpha }{\alpha -1}}H)=0,\end{array}$$ а расщепление по $u_{xx}$, $u_{yy}$, $u_{zz}$ дает $$\begin{array}{l}{\gamma }_1{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_x}}+{\gamma }_2{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_y}}=2{\theta }_x^{1}F+{\theta }_y^{1}H-\alpha C_{1}F,[2ex]{\gamma }_1{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_x}}+{\gamma }_2{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_y}}=2{\theta }_y^{2}G+{\theta }_x^{2}H-\alpha C_{1}G,[2ex]{\gamma }_1{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_x}}+{\gamma }_2{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_y}}=2{\theta }_x^{2}F+2{\theta }_y^{1}G+({\theta }_x^1+{\theta }_y^2)H-\alpha C_{1}H,\end{array}$$ где $$\begin{array}{l}{\gamma }_1\equiv {\gamma }_1(x,y,u_x,u_y)={\psi }_x+(\phi -{\theta }_x^1)u_x-{\theta }_x^2{u}_y,[2ex]{\gamma }_2\equiv {\gamma }_2(x,y,u_x,u_y)={\psi }_y-{\theta }_y^1{u}_x+(\phi -{\theta }_y^2)u_y.\end{array}$$ Оставшееся после указанных расщеплений уравнение имеет вид $$\begin{array}{c}{}_0^{}{D}_t^{\alpha }(\psi )=({\psi }_{xx}+(2{\phi }_x-{\theta }_{xx}^1)u_x-{\theta }_{xx}^2{u}_y)F++({\psi }_{yy}-{\theta }_{yy}^1{u}_x+(2{\phi }_y-{\theta }_{yy}^2)u_y)G++({\psi }_{xy}+({\phi }_y-{\theta }_{xy}^1)u_x+({\phi }_x-{\theta }_{xy}^2)u_y)H.\hfill \end{array}$$ Из $\text{(???)}$ следует, что если $C_2\ne 0$, то $$F=u_x^{2\delta }\tilde{F}({\displaystyle \frac{u_x}{u_y}}),G=u_x^{2\delta }\tilde{G}({\displaystyle \frac{u_x}{u_y}}),H=u_x^{2\delta }\tilde{H}({\displaystyle \frac{u_x}{u_y}}),\delta ={\displaystyle \frac{\alpha }{1-\alpha }},$$ где $\tilde{F}$, $\tilde{G}$, $\tilde{H}$ --- произвольные функции. Подстановка этих представлений в $\text{(???)}$ и решение получающихся в результате обыкновенных дифференциальных уравнений дает $$f(r)=f_0{r}^{\delta },g(r)=g_0{r}^{\delta },f_0,g_0=\mathrm{const},r=u_x^2+u_y^2.$$ Если $C_2=0$, то $\text{(???)}$ выполнено тождественно. В этом случае подстановка $\text{(???)}$ в~$\text{(???)}$ и решение получающихся в результате уравнений дает, что либо $f=f_0=\mathrm{const}$, $g=g_0=\mathrm{const}$, либо ${\phi }_x={\phi }_y=0$, то есть $\phi =C_3=\mathrm{const}$. Дальнейшая классификация проводится на основе анализа системы $\text{(???)}$ и уравнения $\text{(???)}$, который показывает, что выделяются отдельно случай степенных функций $f(r)=f_0{r}^{\beta }$, $g(r)=g_0{r}^{\beta }$ $(f_0,g_0=\mathrm{const})$ и случай $f(r)=g(r)$. Окончательные результаты классификации формулируются в виде следующего утверждения. \smallskip \phantomsection \hypertarget{LS:Th2}{} \begin{theorem}[2]\label{LS:Th2}Уравнение $\text{(???)}$ в случае произвольных функций $f$ и $g$ имеет четырехмерную алгебру Ли симметрий с базисом $$X_1={\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}},X_2={\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}},X_3={\displaystyle \frac{2}{\alpha }}t{\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}+x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}+u{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u}},X_4=t^{\alpha -1}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u}}.$$ В случае $f(r)=f_0{r}^{\beta },$ $g(r)=g_0{r}^{\beta },$ $f_0,g_0=\mathrm{const},$ $\beta \ne 0,$ при $f_0\ne g_0$ алгебра расширяется до пятимерной оператором группы неравномерных растяжений $$X_5=\beta x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+\beta y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}+(1+\beta )u{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u}}.$$ В частном случае $\beta =\alpha /(1-\alpha )$ происходит дополнительное расширение алгебры до шестимерной оператором проективной группы $$X_6=t^2{\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}+(\alpha -1)tu{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u}}.$$ В изотропном случае $(f=g)$ размерности всех указанных выше алгебр увеличиваются на единицу за счет дополнительно допускаемого оператора группы вращений $$X_r=y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}-x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}.$$ При $\alpha \in (1,2)$ размерности всех приведенных алгебр дополнительно увеличиваются на единицу, а базис дополняется оператором $$X_{\alpha }=t^{\alpha }{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u}}.$$ Линейный случай $f=f_0,$ $g=g_0,$ $f_0,g_0=\mathrm{const},$ растяжением пространственных переменных сводится к $f_0=g_0=1.$ В~этом случае алгебра является бесконечномерной и ее базис образуют операторы $X_1,X_2,X_3$ из {\rm $\text{(???)}$,} оператор $X_r$ из $\text{(???)}$ и операторы $$X_u=u{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u}},X_{\mathrm{\infty }}=\psi {\displaystyle \frac{\partial }{\partial u}},$$ где функция $\psi (t,x,y)$ является произвольным решением линейного уравнения $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }u=u_{xx}+u_{yy}.$$ \end{theorem} \smallskip Основные отличия результатов теоремы~\hyperlink{LS:Th2}{2} от аналогичных результатов групповой классификации классического ортотропного уравнения фильтрации (соответствующего $\alpha =1$) заключаются в следующем: \begin{itemize} \item[1)] дробно-дифференциальное уравнение фильтрации не допускает оператор группы переносов по временной переменной $t$, что является характерной особенностью всех дифференциальных уравнений с дробными производными по времени [18, 19]; \item[2)] выделяется особый вид степенной зависимости коэффициентов пьезопроводности, не имеющий аналога в классическом уравнении фильтрации, при котором уравнение допускает оператор проективной группы~$X_6$; \item[3)] операторы групп растяжений $X_3$ и $X_5$ оказываются зависящими от порядка дробного дифференцирования $\alpha$. \end{itemize} Также от него зависят операторы $X_4$ и $X_{\alpha }$, соответствующие сдвигу $u$ на частное решение дробно-дифференциального уравнения. Полученная в теореме~\hyperlink{LS:Th2}{2} групповая классификация уравнения $\text{(???)}$ может быть использована для нахождения его инвариантно-групповых решений и~построения законов сохранения. \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Представление инвариантных решений} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рассмотрим задачу построения представлений инвариантно--групповых решений для нелинейного ортотропного уравнения $\text{(???)}$ по допускаемым им неподобным двумерным подалгебрам алгебр Ли симметрий. В случае произвольных функций $f$ и $g$ ($f\ne g$) уравнение допускает четырехмерную алгебру Ли симметрий (см. теорему~\hyperlink{LS:Th2}{2}) с базисом $\text{(???)}$. Данная алгебра изоморфна алгебре $A_{4,5}^{a,a}$ (по классификации [29]) с ненулевыми коммутационными соотношениями $$[e_1,e_4]=e_1,[e_2,e_4]=a{e}_2,[e_3,e_4]=a{e}_3,-1<b<1,$$ в которую она переходит в результате замены базиса $$e_1=X_3,e_2=X_1,e_3=X_2,e_4=b{X}_4,b={\displaystyle \frac{\alpha }{2-\alpha }}.$$ Построим неподобные инвариантно-групповые решения уравнения $\text{(???)}$ на основе оптимальной системы двумерных подалгебр алгебры $A_{4,5}^{a,a}$, построенной в [29]: $$\begin{array}{lllllll}1)\{e_1+\epsilon e_2,e_3\},& & 4)\{e_1,e_2\cos \theta +e_3\sin \theta \},2)\{e_1+\epsilon e_3,e_2+\beta e_3\},& & 5)\{e_1,e_4\},3)\{e_2,e_3\},& & 6)\{e_2\cos \theta +e_3\sin \theta ,e_4\},\end{array}$$ где $\theta \in [0,\pi )$, $\epsilon =\pm 1$, $\beta \in \mathbb{R}$. Подалгебры 5) и 6) не позволяют построить инвариантное решение, так как не удовлетворяют соответствующему необходимому условию его существования (см., например, [13]). Вычисление инвариантов остальных подалгебр приводит к следующим анзацам инвариантных решений: $$\begin{array}{l}1)u=\epsilon t^{\alpha -1}x+\phi (t),[1ex]2)u=-\epsilon \beta t^{\alpha -1}x+t^{\alpha -1}y+\phi (t),[1ex]3)u=\phi (t),[1ex]4)u=(y\cos \theta -x\sin \theta )\phi (\xi ),\xi ={\displaystyle \frac{t}{|y\cos \theta -x\sin \theta {|}^{\frac{2}{\alpha }}}},\end{array}$$ где $\phi (z)$ --- новая искомая функция одного аргумента. Подстановка этих анзацев в исходное уравнение сводит задачу нахождения инвариантного решения к решению так называемых редуцированных уравнений (или фактор-уравнений), представляющих собой в данном случае обыкновенное дробно-дифференциальное уравнение порядка $\alpha$. В первых трех случаях это уравнение имеет вид $${}_0^{}{D}_t^{\alpha }\phi =0,$$ его общее решение хорошо известно [1, 2]: $$\phi (t)=C{t}^{\alpha -1},$$ где $C$ --- произвольная постоянная. В результате приходим к следующим весьма простым неподобным инвариантным решениям: $$\begin{array}{l}1)u=C{t}^{\alpha -1},[1ex]2)u=t^{\alpha -1}(\epsilon x+C),[1ex]3)u=t^{\alpha -1}(\epsilon \beta x+y+C),\beta \in \mathbb{R},\epsilon =\pm 1.\end{array}$$ Более интересным оказывается случай 4), для которого редуцированное уравнение имеет вид $${}_0^{}{D}_{\xi }^{\alpha }\phi +{\displaystyle \frac{2}{\alpha }}\xi [{\sin }^2\theta (\psi f(\psi ){)}_{\xi }+{\cos }^2\theta (\psi g(\psi ){)}_{\xi }]=0,$$ где $\psi (\xi )=\phi (\xi )-\frac{2}{\alpha }\xi {\phi }^{\prime }(\xi )$. Уравнение $\text{(???)}$ в общем случае аналитически решено быть не может, поэтому рассмотрим некоторые его частные случаи. Пусть $f=1$ и $g(\psi )={\psi }^{-1}$. Тогда уравнение $\text{(???)}$ переходит в линейное уравнение $${\alpha }^2{}_0^{}{D}_{\xi }^{\alpha }\phi =4{\xi }^2{\sin }^2\theta {\phi }^{″}+2(2-\alpha ){\sin }^2\theta \xi {\phi }^{\prime }.$$ При $\theta =0$ решение уравнения имеет вид $\phi (\xi )=C{\xi }^{\alpha -1}$, что дает инвариантное решение исходного уравнения $$u=C{t}^{\alpha -1}{y}^{\frac{2}{\alpha }-1}.$$ При $\theta \ne 0$ заменой переменных $\tau =\xi (\sin \theta {)}^{\frac{2}{\alpha }}$, $z(\tau )=\phi (\xi (\tau ))$ уравнение $\text{(???)}$ приводится к виду $${\alpha }^2{}_0^{}{D}_{\tau }^{\alpha }z=4{\tau }^2{z}^{″}+2(2-\alpha )\tau z^{\prime },$$ который является частным случаем уравнения, рассмотренного в работе [30], и имеет общее решение $$z(\tau )={\tau }^{-\frac{\alpha }{2}}[C_1\varphi (-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}},1+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}};{\tau }^{-\frac{\alpha }{2}})+C_2\varphi (-{\displaystyle \frac{\alpha }{2}},1+{\displaystyle \frac{\alpha }{2}};-{\tau }^{-\frac{\alpha }{2}})].$$ Здесь $C_1$ и $C_2$~--- произвольные постоянные, $$\varphi (\rho ,\mu ;z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\rho k+\mu )}}{\displaystyle \frac{z^k}{k!}},\rho >0,\mu ,z\in \mathbb{C}$$ --- функция Райта. Тогда инвариантное решение имеет вид $$u=(y\cos \theta -x\sin \theta )z({\displaystyle \frac{t(\sin \theta {)}^{\frac{2}{\alpha }}}{|y\cos \theta -x\sin \theta {|}^{\frac{2}{\alpha }}}}).$$ Теперь рассмотрим случай $f(\psi )={\psi }^{\beta -1}$ $(\beta \ne 0,1)$, $g(\psi )={\psi }^{-1}$. Тогда уравнение $\text{(???)}$ принимает вид $${\alpha }^{\beta +1}{}_0^{}{D}_{\xi }^{\alpha }\phi +2\beta {\sin }^2\theta \xi (\alpha \phi -2\xi {\phi }^{\prime }{)}^{\beta -1}((\alpha -2){\phi }^{\prime }-2\xi {\phi }^{″})=0.$$ Данное уравнение при $\alpha <\beta <1$ имеет частное степенное решение $$\phi (\xi )=A{\xi }^{\gamma },A=[{\displaystyle \frac{{\alpha }^{\beta +1}}{2\beta {\sin }^2\theta }}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(\gamma +1-\alpha )}}{]}^{\frac{1}{\beta -1}},\gamma ={\displaystyle \frac{1-\alpha }{\beta -1}}.$$ Соответствующее инвариантное решение исходного уравнения имеет вид $$u=A{t}^{\gamma }{\displaystyle \frac{(y\cos \theta -x\sin \theta )}{|y\cos \theta -x\sin \theta {|}^{\frac{2}{\alpha }\gamma }}}.$$ Теперь рассмотрим случай $f(r)=f_0{r}^{\beta }$, $g(r)=g_0{r}^{\beta }$, $f_0$, $g_0=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ ($f_0\ne g_0$), $\beta \ne 0$. В этом случае алгебра Ли симметрий $L_5$ является пятимерной с базисом $X_1,\dots ,X_5$, определяемым $\text{(???)}$, $\text{(???)}$. Соответствующая оптимальная система подалгебр строится на основе двухшагового алгоритма, предложенного академиком Л.~В.~Овсянниковым в работе [31] (см. также [32]). Базисы найденных неподобных двумерных подалгебр из оптимальной системы ${\mathrm{\Theta }}_2{L}_5$ и соответствующие представления инвариантных решений с одной независимой переменной приведены в~табл.~$\text{???}$. В~таблице для подалгебр используется сокращенная форма записи: например, $\mathrm{\Theta }$, $p2+4$ означает двумерную подалгебру с базисом из операторов $X_1\sin \theta +X_2\cos \theta$, $p{X}_2+X_4$. В~табл.~$\text{???}$ представлены аналогичные результаты для шестимерной алгебры $L_6$ с базисом $X_1,\dots ,X_6$, соответствующей частному случаю $\beta =\alpha /(1-\alpha )$. Все анзацы инвариантных решений записаны в табл.~$\text{???}$ и $\text{???}$ таким образом, чтобы после симметрийной редукции соответствующее редуцированное уравнение относительно функции $\phi (z)$ было либо обыкновенным дифференциальным уравнением целого порядка (если $z$ не зависит от $t$), либо обыкновенным дробно-дифференциальным уравнением с дробной производной Римана--~Лиувилля по переменной $z$. Замены переменных, позволяющие сохранить тип оператора дробного дифференцирования при симметрийной редукции, приведены в~[30]. $$\text{Unknown environment 'table'}$$ $$\text{Unknown environment 'table'}$$ \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \Section{Построение законов сохранения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Уравнение $\text{(???)}$ не обладает классическим лагранжианом, поэтому для построения его законов сохранения с использованием симметрий может быть применен принцип нелинейной самосопряженности, изначально предложенный профессором Н.\,Х. Ибрагимовым для дифференциальных уравнений целого порядка [27, 28] и обобщенный в работах [33, 34] на дифференциальные уравнения дробного порядка. Уравнение $\text{(???)}$ может быть представлено в виде $$\mathcal{F}(t,x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy},{}_0^{}{D}_t^{\alpha }u)=0.$$ Для него вводится формальный лагранжиан вида $\mathcal{L}=v\mathcal{F}$, где $v=v(t,x,y)$~--- новая зависимая переменная. Тогда уравнение, сопряженное к $\text{(???)}$, находится как $${\displaystyle \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta u}}=0,$$ где вариационная производная имеет в данном случае вид $${\displaystyle \frac{\delta }{\delta u}}=-D_x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u_x}}-D_y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u_y}}+D_x^2{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u_{xx}}}+D_y^2{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u_{yy}}}+D_x{D}_y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial u_{xy}}}+{}_t^C{D}_T^{\alpha }{\displaystyle \frac{\partial }{\partial {}_0^{}{D}_t^{\alpha }u}}.$$ Здесь ${}_t^C{D}_T^{\alpha }$~--- оператор правостороннего дробного дифференцирования Ге\-ра\-си\-мо\-ва--Капуто порядка $\alpha$, определенный для $t\in (0,T)$ [2, 7]: $${}_t^C{D}_T^{\alpha }u={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{\mathrm{\Gamma }(n-\alpha )}}{\int }_t^T{\displaystyle \frac{1}{(\tau -t{)}^{\alpha -n+1}}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{n}u(\tau ,x,y)}{\partial {\tau }^n}}d\tau ,n=[\alpha ]+1.$$ Для уравнения $\text{(???)}$, представленного в форме $\text{(???)}$, вычисления приводят к следующему сопряженному уравнению: $$\begin{array}{c}{}_t^C{D}_T^{\alpha }v=-D_x[v({\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_x}}{u}_{xx}+{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_x}}{u}_{yy}+{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_x}}{u}_{xy})]--D_y[v({\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_y}}{u}_{xx}+{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_y}}{u}_{yy}+{\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_y}}{u}_{xy})]+v_{xx}F+2v_x{D}_{x}F+v{D}_x^{2}F++v_{yy}G+2v_y{D}_{y}G+v{D}_y^{2}G+v_{xy}H+v_x{D}_{y}H+v_y{D}_{x}H+v{D}_x{D}_{y}H.\hfill \end{array}$$ Если найдется такая подстановка $v=\phi (t,x,y,u)$, что приведенное сопряженное уравнение будет выполнено тождественно на всех решениях $u(t,x,y)$ исходного уравнения $\text{(???)}$, то уравнение $\text{(???)}$ называется \textit{нелинейно самосопряженным}. В [28] доказано, что любое линейное уравнение является нелинейно самосопряженным. Поэтому в линейном случае $f=f_0=\mathrm{const}$, $g=g_0=\mathrm{const}$ уравнение $\text{(???)}$ является нелинейно самосопряженным с подстановкой $v\text{hm}=\psi (t,x,y)$, где $\psi (t,x,y)$ --- любое решение его сопряженного уравнения $\text{(???)}$, которое в данном случае также будет линейным. Для нелинейного случая в результате вычислений получено, что $\phi =\phi (x,y)$, и эта функция должна удовлетворять следующей системе уравнений: $$\begin{array}{l}{\phi }_x{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_x}}+{\phi }_y({\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_x}}-{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_y}})=0,[2ex]{\phi }_x({\displaystyle \frac{\partial H}{\partial u_y}}-{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_x}})+{\phi }_y{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_y}}=0,[2ex]{\phi }_x{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial u_y}}+{\phi }_y{\displaystyle \frac{\partial G}{\partial u_x}}=0,[2ex]{\phi }_{xx}F+{\phi }_{yy}G+{\phi }_{xy}H=0.\end{array}$$ Для произвольных функций $f$ и $g$ единственным решением этой системы будет $\phi =c$, где $c$~--- произвольная постоянная. Также выделяются два особых случая: $$\text{Unknown environment 'itemize'}$$ \smallskip Таким образом, доказана \smallskip \phantomsection \hypertarget{LS:Th3}{} \begin{theorem}[3]Уравнение $\text{(???)}$ является нелинейно самосопряженным$.$ Соответствующая подстановка $v=\phi (t,x,y,u),$ обращающая уравнение $\text{(???)}$ в~тождество на всех решениях уравнения $\text{(???)}$$,$ имеет следующий вид{\/\rm:} $$\text{Unknown environment 'enumerate'}$$ Здесь $c,$ $c_1,$ $c_2$ --- произвольные постоянные$.$ \end{theorem} \smallskip Поскольку уравнение $\text{(???)}$ является нелинейно самосопряженным, по любой его известной симметрии вида $\text{(???)}$ может быть найден соответствующий закон сохранения $$D_t{C}^t+D_x{C}^x+D_y{C}^y=0.$$ Координаты сохраняющегося вектора $(C^t,C^x,C^y)$ будут при этом находиться по следующим формулам (см. [19, 35]: $$\begin{array}{l}{C}^t={}_0^{}{I}_t^{1-\alpha }W{\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {}_0^{}{D}_t^{\alpha }u}}+J\{W,D_t({\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {}_0^{}{D}_t^{\alpha }u}})\},[2ex]C^x=W({\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_x}}-D_x{\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xx}}}-D_y{\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xy}}})+D_x(W){\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xx}}}+D_y(W){\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{xy}}},[2ex]C^y=W({\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_y}}-D_x{\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yx}}}-D_y{\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yy}}})+D_x(W){\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yx}}}+D_y(W){\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u_{yy}}},\end{array}$$ где $W=\eta -\tau u_t-{\xi }^1{u}_x-{\xi }^2{u}_y$, $$J\{f,g\}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}}{\int }_0^t{\int }_t^T{\displaystyle \frac{f(\tau ,x,y)g(\mu ,x,y)}{(\mu -\tau {)}^{\alpha }}}d\mu d\tau .$$ В случае произвольных $f$ и $g$ подстановка в эти формулы формального лагранжиана $$\mathcal{L}={}_0^{}{D}_t^{\alpha }u-F(u_x,u_y)u_{xx}-G(u_x,u_y)u_{yy}-{\displaystyle \frac{1}{2}}H(u_x,u_y)u_{xy}-{\displaystyle \frac{1}{2}}H(u_x,u_y)u_{yx},$$ где функции $F,G,H$ определены в $\text{(???)}$, дает $$C^t={}_0^{}{I}_t^{1-\alpha }W,$$ \vspace{-7mm} $$\begin{array}{c}{C}^x=W[2u_x{u}_y(u_x{u}_{xy}+u_y{u}_{yy})(f^{″}-g^{″})+(u_y{u}_{xy}+u_x{u}_{yy})(f^{\prime }-g^{\prime })]--(f+2u_x^2{f}^{\prime })D_x(W)-u_x{u}_y(f^{\prime }+g^{\prime })D_y(W),\hfill \end{array}$$ \vspace{-7mm} $$\begin{array}{c}{C}^y=W[2u_x{u}_y(u_y{u}_{xy}+u_x{u}_{xx})(g^{″}-f^{″})+(u_x{u}_{xy}+u_y{u}_{xx})(g^{\prime }-f^{\prime })]--u_x{u}_y(f^{\prime }+g^{\prime })D_x(W)-(g+2u_y^2{g}^{\prime })D_y(W).\hfill \end{array}$$ Операторам $\text{(???)}$ соответствуют следующие значения $W$: $$W_1=-u_x,W_2=-u_y,W_3=u-{\displaystyle \frac{2}{\alpha }}t{u}_t-x{u}_x-y{u}_y,W_4=t^{\alpha -1}.$$ Легко видеть, что оператор $X_4$ дает тривиальный закон сохранения с $C^t=0$, а операторы $X_1$ и $X_2$ дают законы сохранения, сводящиеся к тривиальному элементарными преобразованиями с учетом самого уравнения $\text{(???)}$. Единственный нетривиальный закон сохранения порождается оператором $X_3$, соответствующий сохраняющийся вектор имеет координаты $$C^t={}_0^{}{I}_t^{1-\alpha }u,C^x=-f(u_x^2+u_y^2)u_x,C^y=-g(u_x^2+u_y^2)u_y.$$ Данный закон сохранения соответствует исходному уравнению $\text{(???)}$. Других нетривиальных законов сохранения в случае произвольных функций $f$ и $g$ метод нелинейной самосопряженности с подстановкой вида $v=\phi (t,x,y,u)$ для уравнения $\text{(???)}$ не дает. В случае $f(r)=f_0{r}^{\beta }$, $g(r)=g_0{r}^{\beta }$ оператор $X_5$ из $\text{(???)}$ также порождает закон сохранения c сохраняющимся вектором $\text{(???)}$. При $\beta =\alpha /(1-\alpha )$ оператор $X_6$ из $\text{(???)}$ порождает новый закон сохранения, координаты сохраняющегося вектора которого имеют вид $$C^t=t{}_0^{}{I}_t^{1-\alpha }u-{}_0^{}{I}_t^{2-\alpha }u,C^x=-f_{0}t{u}_x(u_x^2+u_y^2{)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }},C^y=-g_{0}t{u}_y(u_x^2+u_y^2{)}^{\frac{\alpha }{1-\alpha }}.$$ В случае $f=g$ оператор $X_r$ из $\text{(???)}$ также порождает лишь тривиальный закон сохранения. Более интересными представляются случаи \hyperlink{LS:Th3.2}{2}) и \hyperlink{LS:Th3.3}{3}) из теоремы~\hyperlink{LS:Th3}{3}. Для произвольной функции $f$ и $g=g_0=\mathrm{const}$ при $v=c_1+c_{2}y$ для операторов $X_1$ и $X_2$ получаем закон сохранения c сохраняющимся вектором $\text{(???)}$. Оператор $X_3$ порождает в этом случае новый закон сохранения: $$C^t=y{}_0^{}{I}_t^{1-\alpha }u,C^x=-y{u}_{x}f(u_x^2+u_y^2),C^y=g_0(u-y{u}_y).$$ Аналогично, для случая $f=f_0=\mathrm{const}$ и произвольной функции $g$ оператор $X_3$ при $v=c_1+c_{2}x$ дает $$C^t=x{}_0^{}{I}_t^{1-\alpha }u,C^x=f_0(u-x{u}_x),C^y=-x{u}_{y}g(u_x^2+u_y^2).$$ Других законов сохранения для нелинейного уравнения $\text{(???)}$ метод нелинейной самосопряженности с подстановкой вида $v=\phi (t,x,y,u)$ не дает. Найденные законы сохранения могут быть использованы, в частности, для построения частных решений уравнения $\text{(???)}$ по методу, предложенному в [36].