Метод повышения порядка аппроксимации до произвольного натурального числа при численном интегрировании матричным методом краевых задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений различных степеней с переменными коэффициентами
- Авторы: Маклаков В.Н.1
-
Учреждения:
- Самарский государственный технический университет
- Выпуск: Том 24, № 4 (2020)
- Страницы: 718-751
- Раздел: Статьи
- Статья получена: 14.02.2021
- Статья опубликована: 31.12.2020
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/60882
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1785
- ID: 60882
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В работе использован известный матричный метод численного интегрирования краевых задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, который позволяет удерживать произвольное число членов разложения в ряд Тейлора искомого решения или, что то же самое, позволяет использовать многочлен Тейлора произвольной степени.Разностная краевая задача, аппроксимирующая дифференциальную краевую задачу, разбита на две подзадачи: в первую подзадачу вошли разностные уравнения, при построении которых не были использованы граничные условия краевой задачи; во вторую подзадачу вошли разностные уравнения, при построении которых были использованы граничные условия задачи.Исходя из ранее установленных фактов дан и апробирован метод повышения порядка аппроксимации на единицу второй подзадачи, а следовательно, и всей разностной краевой задачи в целом. Перечислим эти установленные факты:а) порядок аппроксимации первой и второй подзадач пропорционален степени используемого многочлена Тейлора;б) порядок аппроксимации первой подзадачи зависит от чётности или нечётности степени используемого многочлена Тейлора. Оказалось, что при использовании степеней многочлена Тейлора, равных $ 2m{-}1$ и $ 2m$, порядки аппроксимации этих двух подзадач совпадают;в) порядок аппроксимации второй подзадачи совпадает с порядком аппроксимации первой подзадачи, если во второй подзадаче отсутствуют заданные значения каких-либо производных, входящих в граничные условия;г) наличие во второй подзадаче хотя бы одного значения производной той или иной степени, входящей в граничные условия, приводит к понижению порядка аппроксимации на единицу как второй подзадачи, так и всей разностной краевой задачи в целом.Теоретические выводы подтверждены численными экспериментами.
Об авторах
Владимир Николаевич Маклаков
Самарский государственный технический университеткандидат физико-математических наук, доцент
Список литературы
- Keller H. B., "Accurate difference methods for nonlinear two-point boundary value problems", SIAM J. Numer. Anal., 11:2 (1974), 305-320
- Lentini M., Pereyra V., "A variable order finite difference method for nonlinear multipoint boundary value problems", Math. Comp., 28:128 (1974), 981-1003
- Keller H. B., "Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations: Survey and some resent results on difference methods", Numerical Solutions of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Part I: Survey Lectures, ed. A. K. Aziz, Academic Press, New York, 1975, 27-88
- Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы. Введение в теорию, Наука, М., 1977, 439 с.
- Формалеев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы, Физматлит, М., 2004, 400 с.
- Самарский А. А., Теория разностных схем, Наука, М., 1977, 656 с.
- Самарский А. А., Гулин А. В., Численные методы, Наука, М., 1973, 432 с.
- Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, Наука, М., 1973, 416 с.
- Boutayeb A., Chetouani A., "Global extrapolations of numerical methods for solving a parabolic problem with non local boundary conditions", Intern. J. Comp. Math., 80:6 (2003), 789-797
- Boutayeb A., Chetouani A., "A numerical comparison of different methods applied to the solution of problems with non local boundary conditions", Appl. Math. Sci., 1:44 (2007), 2173-2185
- Радченко В. П., Усов А. А., "Модификация сеточных методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе тейлоровских разложений", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008, № 2(17), 60-65
- Маклаков В. Н., Ильичева М. А., "Численное интегрирование матричным методом и оценка порядка аппроксимации разностных краевых задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 24:1 (2020), 137-162
- Маклаков В. Н., "Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014, № 3(36), 143-160
- Маклаков В. Н., "Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:1 (2017), 55-79
- Маклаков В. Н., Стельмах Я. Г., "Численное интегрирование матричным методом краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 22:1 (2018), 153-183
- Турчак Л. И., Основы численных методов, Наука, М., 1987, 320 с.
- Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, Наука, М., 1970, 608 с.
- Курош А. Г., Курс высшей алгебры, Наука, М., 1971, 431 с.
- Закс Л., Статистическое оценивание, Статистика, М., 1976, 598 с.
- "Сходимость матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 19:3 (2015), 559-577