A method for increasing the order of approximation to an arbitrary natural number by the numerical integration of boundary value problems for inhomogeneous linear ordinary differential equations of various degrees with variable coefficients by the matrix method

Cover Page

Abstract

The paper includes the well-known matrix method of numerical integration of boundary value problems for inhomogeneous linear ordinary differential equations with variable coefficients, which provides retaining an arbitrary number of Taylor series expansion members of the sought-for solution or, equally, using the Taylor polynomial of arbitrary degree.The difference boundary value problem approximating the differential boundary value problem is divided into two subtasks: the first subtask includes difference equations, in the construction of which the boundary conditions of the boundary value problem were not used. The second subtask includes difference equations, in the construction of which the boundary conditions of the problem were used.Based on the earlier results, the method of increasing the order of approximation of the second subtask per unit, and, consequently, of the entire difference boundary problem as a whole is obtained and tested. The earlier findings are as follows:a) the order of approximation of the first and second subtasks is proportional to the degree of the Taylor polynomial used;b) the order of approximation of the first subtask depends on the parity or oddness of the degree of the Taylor polynomial used. It turned out that when using the degrees of the Taylor polynomial which are equal to $2m{-}1$ and $2m$, the approximation orders of these two subtasks are the same;c) the order of approximation of the second subtask coincides with the order of approximation of the first subtask, if the second subtask does not contain the specified values of any derivatives included in the boundary conditions;d) the presence in the second subtask of at least one derivative value of varying degrees included in the boundary conditions leads to a decrease in the order of approximation per unit in both the second subtask and the entire difference boundary value problem in general.The theoretical conclusions have been confirmed by numerical experiments.

About the authors

Vladimir Nikolaevich Maklakov

Samara State Technical University

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Keller H. B., "Accurate difference methods for nonlinear two-point boundary value problems", SIAM J. Numer. Anal., 11:2 (1974), 305-320
  2. Lentini M., Pereyra V., "A variable order finite difference method for nonlinear multipoint boundary value problems", Math. Comp., 28:128 (1974), 981-1003
  3. Keller H. B., "Numerical solution of boundary value problems for ordinary differential equations: Survey and some resent results on difference methods", Numerical Solutions of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Part I: Survey Lectures, ed. A. K. Aziz, Academic Press, New York, 1975, 27-88
  4. Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы. Введение в теорию, Наука, М., 1977, 439 с.
  5. Формалеев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные методы, Физматлит, М., 2004, 400 с.
  6. Самарский А. А., Теория разностных схем, Наука, М., 1977, 656 с.
  7. Самарский А. А., Гулин А. В., Численные методы, Наука, М., 1973, 432 с.
  8. Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость разностных схем, Наука, М., 1973, 416 с.
  9. Boutayeb A., Chetouani A., "Global extrapolations of numerical methods for solving a parabolic problem with non local boundary conditions", Intern. J. Comp. Math., 80:6 (2003), 789-797
  10. Boutayeb A., Chetouani A., "A numerical comparison of different methods applied to the solution of problems with non local boundary conditions", Appl. Math. Sci., 1:44 (2007), 2173-2185
  11. Радченко В. П., Усов А. А., "Модификация сеточных методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе тейлоровских разложений", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008, № 2(17), 60-65
  12. Маклаков В. Н., Ильичева М. А., "Численное интегрирование матричным методом и оценка порядка аппроксимации разностных краевых задач для неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 24:1 (2020), 137-162
  13. Маклаков В. Н., "Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014, № 3(36), 143-160
  14. Маклаков В. Н., "Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Сообщение 2. Краевые задачи с граничными условиями второго и третьего рода", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 21:1 (2017), 55-79
  15. Маклаков В. Н., Стельмах Я. Г., "Численное интегрирование матричным методом краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 22:1 (2018), 153-183
  16. Турчак Л. И., Основы численных методов, Наука, М., 1987, 320 с.
  17. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, Наука, М., 1970, 608 с.
  18. Курош А. Г., Курс высшей алгебры, Наука, М., 1971, 431 с.
  19. Закс Л., Статистическое оценивание, Статистика, М., 1976, 598 с.
  20. "Сходимость матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами", Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 19:3 (2015), 559-577

Statistics

Views

Abstract: 103

PDF (Russian): 23

Dimensions

Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2021 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies