Метод Римана для уравнений с доминирующей частной производной (обзор)

Обложка


Цитировать

Полный текст

Аннотация

Данная обзорная статья посвящена классу линейных уравнений с доминирующей частной производной вида \((D+M)u=f\), где \(Du\) — смешанная частная производная, а \(M\) — линейный дифференциальный оператор, содержащий производные функции \(u\), получаемые из $D$ отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования. Можно отметить структурное сходство таких уравнений с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Излагается метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной, являющийся естественным обобщением хорошо известного метода Римана для гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.

В статье изложены основные положения теории, разработанной для уравнения с доминирующей частной производной общего вида, позволяющие заинтересованному читателю применить полученные результаты
к интересующей его задаче.

Дается определение функции Римана как решения интегрального уравнения Вольтерры, приведено основное дифференциальное тождество, продемонстрирован процесс получения формулы решения задачи Коши в терминах функции Римана путем интегрирования указанного тождества по соответствующей области в \(n\)-мерном пространстве. Приведен пример построения решения задачи Коши для одного уравнения третьего порядка.

Далее излагается метод Римана для достаточно широкого класса линейных систем уравнений гиперболического типа (в том числе с кратными характеристиками). Данный метод идейно весьма близок к методу Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной.

Обсуждаются вопросы приложений метода Римана к исследованию новых задач для уравнений с частными производными. В частности, с использованием метода Римана доказана корректность новых граничных задач для факторизованных гиперболических уравнений, исследованы вопросы разрешимости интегральных уравнений с частными интегралами, определенная модификация метода Римана позволяет развивать метод Римана–Адамара для задач Дарбу. Представление решений гиперболических систем в явном виде в терминах матрицы Римана позволяет исследовать новые граничные задачи, в частности, задачи с заданием нормальных производных искомых функций на характеристиках, задачи с условиями на всей границе области, задачи Дарбу.

Изложенный здесь метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной очевидным образом переносится на матричные уравнения. В связи с этим указаны некоторые случаи, когда для таких матричных уравнений построена в явном виде (в терминах гипергеометрических функций) матрица Римана.

В работе дается обзор литературы, кратко излагается история развития данного направления в России и за рубежом.

Об авторах

Алексей Николаевич Миронов

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Елабужский институт (филиал);
Самарский государственный технический университет

Email: miro73@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8818-286X
SPIN-код: 7323-7945
Scopus Author ID: 35109674600
ResearcherId: O-4769-2016
http://www.mathnet.ru/person29439

доктор физико-математических наук, доцент; профессор каф. математики и прикладной информатики1; профессор каф. высшей математики2

Россия, 423600, Елабуга, ул. Казанская, 89; Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Любовь Борисовна Миронова

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Елабужский институт (филиал)

Email: lbmironova@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-3299-2601
SPIN-код: 9216-1763
Scopus Author ID: 56347938200
ResearcherId: O-5527-2016
http://www.mathnet.ru/person41492

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент каф. математики и прикладной информатики

Россия, 423600, Елабуга, ул. Казанская, 89

Юлия Олеговна Яковлева

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: julia.yakovleva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9839-3740
SPIN-код: 8742-2675
Scopus Author ID: 57210960309
http://www.mathnet.ru/rus/person55013

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент каф. высшей математики

Россия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

  1. Bianchi L. Sulla estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari alle derivate parziali d’ordine superiore// Rom. Acc. L. Rend. (5), 1895. vol.4, no. 1. pp. 89–99, 133–142 (In Italian).
  2. Niccoletti O. Sull’estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivateparziali d’ordine superiore // Rom. Acc. L. Rend. (5), 1895. vol. 4, no. 1. pp. 330–337 (In Italian).
  3. Бондаренко Б. А. Базисные системы полиномиальных и квазиполиномиальных решений уравнений в частных производных. Ташкент: Фан, 1987. 146 с.
  4. Фаге М.К. Операторно-аналитические функции одной независимой переменной// Тр. Моск. матем. об-ва, 1958. Т. 7. С. 227–268.
  5. Фаге М. К., Нагнибида Н. И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. Новосибирск: Наука, 1987. 260 с.
  6. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
  7. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
  8. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанск. матем. общ-во, 2001. 226 с.
  9. Жегалов В. И., Миронов А. Н., Уткина Е. А. Уравнения с доминирующей частной производной. Казань: Казанск. ун-т, 2001. 385 с.
  10. Джохадзе О. М. Об инвариантах Лапласа для некоторых классов линейных дифференциальных уравнений в частных производных// Диффер. уравн., 2004. Т.40, № 1. С. 58–68.
  11. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М., Л.: Гостехиздат, 1948. 296 с.
  12. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах // ПММ, 1960. Т. 24, № 5. С. 58–73.
  13. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П. Об основных уравнениях фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Докл. АН СССР, 1960. Т. 132, № 3. С. 545–548.
  14. Hallaire M. Le potentiel efficace de l’eau dans le sol en régime de dessèchement / L’Eau et la Production Végétale. vol. 9. Paris: INRA, 1964. pp. 27–62.
  15. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка// Докл. АН СССР, 1987. Т. 297, № 3. С. 547–552.
  16. Сердюкова С. И. Экзотическая асимптотика для линейного гиперболического уравнения // Докл. РАН, 2003. Т. 389, № 3. С. 305–309.
  17. Mangeron D. New methods for determining solution of mathematical models governing polyvibrating phenomena. I. // Bul. Inst. Politeh. Iaşi, N. Ser., 1968. vol. 14(18), no. 1–2. pp. 433–436.
  18. Mangeron D., Oğuztöreli M. N. Darboux problem for a polyvibrating equation: Solution as an \(F\)-equation // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1970. vol. 67, no. 3. pp. 1488–1492. https://doi.org/10.1073/pnas.67.3.1488.
  19. Кулаев Р. Ч., Шабат А. Б. Система Дарбу и разделение переменных в задаче Гурса для уравнения третьего порядка в R3 // Изв. вузов. Математика, 2020. № 4. С. 43–53. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2020-4-43-53.
  20. Bateman H. Logarithmic solutions of Bianchi’s equation// Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1933. vol. 19. pp. 852–854.
  21. Corduneanu A. About the equation \(u_{xyz}+cu=g\) // Bul. Inst. Politeh. Iaşi, Secț. I, 1974. vol. 20(24), no. 1–2. pp. 103–109.
  22. Florian H., Püngel J., Wallner H. Darstellungen von Riemannfunction for \(\dfrac{\partial^{n} w}{\partial z_{1}\partial z_{2}\ldots\partial z_{n}}+ c(z_{1},\ldots ,z_{n})w=0\) // Ber. Math.-Stat. Sekt. Forschungszent. Graz, 1983. vol.204. 29 pp. (In German)
  23. Lahaye E. La méthode de Riemann appliquee à la résolution d’une categorie d’équations linéaires du troisieme ordre// Acad. Roy. Belgique, Bull. Cl. Sci., V. Ser., 1946. vol.31. pp. 479–494 (In French).
  24. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Differ. Equ.,1972.vol.12, no. 3. pp. 559–565. https://doi.org/10.1016/0022-0396(72)90025-3.
  25. Easwaran S. On the positive definiteness of polyvibrating operators of Mangeron // Acad. roy. Belgique, Bull. Cl. Sci., V. Ser., 1973. vol.59, no.7. pp. 563–569.
  26. Easwaran S. Mangeron’s polyvibrating operators and their eigenvalues// Acad. roy. Belgique, Bull. Cl. Sci., V. Ser., 1973. vol. 59, no. 10. pp. 1011–1015.
  27. Oğuztöreli M. N. Boundary value problems for Mangeron’s equations. I // Bul. Inst. Politeh. Iaşi, Secț. I, 1973. vol. 19(23), no. 3–4. pp. 81–85.
  28. Radochová V. Die Lösing der partiellen Differentialgleihung \(u_{xxtt}=A(t,x)u_{xx}+B(t,x)u_{tt}\) mit gewissen Nebenbedinungen// Časopis pro pěstování matematiky, 1973. vol.98, no.4. pp. 389–397 (In German). http://eudml.org/doc/21186.
  29. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the support of solutions of pseudoparabolic equation// Proc. Amer. Math. Soc., 1977. vol.63, no.1. pp. 77–81. https://doi.org/10.2307/2041069.
  30. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncilindrical domains// J. Differ. Equ., 1978. vol.27, no.3. pp. 394–404. https://doi.org/10.1016/0022-0396(78)90059-1.
  31. Rundell W. The Stefan problem for a pseudo-heat equation// Indiana Univ. Math. J., 1978. vol. 27, no. 5. pp. 739–750. https://www.jstor.org/stable/24892297.
  32. Rundell W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations// Proc. Amer. Math. Soc., 1979. vol.76, no.2. pp. 253–257. https://doi.org/10.2307/2042998.
  33. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения // Диффер. уравн., 1982. Т. 18, № 2. С. 280–285.
  34. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А. М. Нахушева // Диффер. уравн., 1983. Т. 19, № 1. С. 163–166.
  35. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Диффер. уравн., 1982. Т. 18, № 4. С. 689–699.
  36. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка // ДАН СССР, 1982. Т. 265, № 6. С. 1327–1330.
  37. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка и экстремальных свойствах их решений // ДАН СССР, 1982. Т. 267, № 3. С. 567–570.
  38. Джохадзе О. М. Задача типа Дарбу для уравнения третьего порядка с доминирующими младшими членами // Диффер. уравн., 1996. Т. 32, № 4. С. 523–535.
  39. Джохадзе О. М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка // Матем. заметки, 2003. Т. 74, № 4. С. 517–528. https://doi.org/10.4213/mzm282.
  40. Корзюк В. И. Граничная задача для уравнения Манжерона третьего порядка // Диффер. уравн., 1997. Т. 33, № 12. С. 1683–1690.
  41. Мамедов И. Г. Фундаментальное решение задачи Коши, связанной с псевдопараболическим уравнением четвертого порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2009. Т. 49, № 1. С. 99–110.
  42. Мамедов И. Г. Об одной задаче Гурса в пространстве Соболева // Изв. вузов. Математика, 2011. № 2. С. 54–64.
  43. Мамедов И. Г. Неклассический аналог задачи Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной // Матем. заметки, 2014. Т. 96, № 2. С. 251–260. https:// doi.org/10.4213/mzm8569.
  44. Bandaliyev R. A., Guliyev V. S., Mamedov I. G., Rustamov Y. I. Optimal control problem for Bianchi equation in variable exponent Sobolev spaces // J. Optim. Theory Appl., 2019. vol. 180, no. 1. pp. 303–320. https://doi.org/10.1007/s10957-018-1290-9.
  45. Мамедов И. Г., Марданов М. Д., Меликов Т. К., Бандалиев Р. А. О корректной разрешимости задачи Неймана для обобщенного уравнения Манжерона с негладкими коэффициентами // Диффер. уравн., 2019. Т. 55, № 10. С. 1405–1415.
  46. Фаге М. К. Задача Коши для уравнения Бианки// Матем. сб., 1958. Т. 45(87), № 3. С. 281–322.
  47. Жегалов В. И. Трехмерный аналог задачи Гурса/ Неклассические задачи и уравнения смешанного типа. Новосибирск, 1990. С. 94–98.
  48. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве// Диффер. уравн., 1996. Т. 32, № 10. С. 1429–1430.
  49. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в \(n\)-мерном пространстве: Сибирский матем. журн. Деп. в ВИНИТИ 08.07.97 № 2290–B97. Новосибирск, 1997. 4 с.
  50. Жегалов В. И. О трехмерной функции Римана// Сибирский матем. журн., 1997. Т. 38, № 5. С. 1074–1079.
  51. Жегалов В. И., Котухов М. П. Об интегральных уравнениях для функции Римана// Изв. вузов. Математика, 1998. № 1. С. 26–30.
  52. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка// Изв. вузов. Математика, 1999. № 10. С. 73–76.
  53. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной// Изв. вузов. Математика, 2001. № 11. С. 77–81.
  54. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными// Диффер. уравн., 2002. Т.38, № 1. С. 93–97.
  55. Севастьянов В. А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика, 1997. № 5. С. 69–73.
  56. Севастьянов В. А. Об одном случае задачи Коши // Диффер. уравн., 1998. Т. 34, № 12. С. 1706–1707.
  57. Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка: Дифференц. уравн. Деп. в ВИНИТИ 28.06.99 № 2059–B99. Минск, 1999. 13 с.
  58. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения в \(n\)-мерном пространстве// Изв. вузов. Математика, 1999. № 7. С. 78–80.
  59. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения четвертого порядка // Диффер. уравн., 2001. Т. 37, № 12. С. 1698–1701.
  60. Уткина Е. А. Об одном дифференциальном уравнении со старшей частной производной в трехмерном пространстве // Диффер. уравн., 2005. Т. 41, № 5. С. 697–701.
  61. Уткина Е. А. К общему случаю задачи Гурса // Изв. вузов. Математика, 2005. № 8. С. 57–62.
  62. Уткина Е. А. Повышение порядка нормальных производных в граничных условиях задачи Гурса // Изв. вузов. Математика, 2007. № 3. С. 79–83.
  63. Миронов А. Н. О методе Римана для уравнений со старшей частной производной в \(\mathbb R^n\) / Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 19. Казань: Казанское матем. общ-во, 2003. С. 154–155.
  64. Миронов А. Н. Метод Римана для уравнений со старшей частной производной в \(\mathbb R^n\)// Сибирский матем. журн., 2006. Т. 47, № 3. С. 584–594.
  65. Миронов А. Н. К методу Римана решения одной смешанной задачи// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. № 2(15). С. 27–32. https://doi.org/10.14498/vsgtu526.
  66. Жегалов В. И., Миронов А. Н. К пространственным граничным задачам для гиперболических уравнений // Диффер. уравн., 2010. Т. 46, № 3. С. 364–371.
  67. Миронов А. Н. Применение метода Римана к факторизованному уравнению в \(n\)-мерном пространстве// Изв. вузов. Математика, 2012. № 1. С. 54–60.
  68. Миронова Л. Б. Задача для факторизованного уравнения с псевдопараболическим дифференциальным оператором// Изв. вузов. Математика, 2020. № 8. С. 44–49. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2020-8-44-49.
  69. Миронов А. Н. О построении функций Римана для двух уравнений со старшими частными производными// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. № 2(17). С. 49–59. https://doi.org/10.14498/vsgtu444.
  70. Миронов А. Н. О функции Римана для одного уравнения в \(n\)-мерном пространстве// Изв. вузов. Математика, 2010. № 3. С. 23–27.
  71. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения со старшей частной производной пятого порядка// Диффер. уравн., 2010. Т.46, № 2. С. 266–272. 13044911.
  72. Жегалов В. И. К случаям разрешимости гиперболических уравнений в терминах специальных функций/ Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 2002. С. 73–79.
  73. Жегалов В. И. О случаях разрешимости гиперболических уравнений в квадратурах// Изв. вузов. Математика, 2004. № 7. С. 47–52.
  74. Кощеева О. А. О построении функции Римана для уравнения Бианки в \(n\)-мерном пространстве// Изв. вузов. Математика, 2008. № 9. С. 40–46.
  75. Жегалов В. И. Решение уравнений Вольтерры с частными интегралами с помощью дифференциальных уравнений // Диффер. уравн., 2008. Т. 44, № 7. С. 874–882.
  76. Жегалов В. И., Сарварова И. М. Об одном подходе к решению интегральных уравнений Вольтерра с вырожденными ядрами// Изв. вузов. Математика, 2011. № 7. С. 28–36.
  77. Миронова Л. Б. О методе Римана в \(\mathbb R^n\) для одной системы с кратными характеристиками // Изв. вузов. Математика, 2006. № 1. С. 34–39.
  78. Миронова Л. Б. О характеристических задачах для одной системы с двукратными старшими частными производными // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. № 43. С. 31–37. https://doi.org/10.14498/vsgtu450.
  79. ЖегаловВ.И.,МироноваЛ.Б.Ободнойсистемеуравненийсдвукратнымистаршими частными производными// Изв. вузов. Математика, 2007. № 3. С. 12–21.
  80. Созонтова Е. А. О характеристических задачах с нормальными производными для системы гиперболического типа// Изв. вузов. Математика, 2013. № 10. С. 43–54.
  81. Миронова Л. Б. Применение метода Римана к одной системе в трехмерном пространстве// Изв. вузов. Математика, 2019. № 6. С. 48–57. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2019-6-48-57.
  82. Миронов А. Н. Задача Дарбу для уравнения Бианки третьего порядка// Матем. заметки, 2017. Т. 102, № 1. С. 64–71. https://doi.org/10.4213/mzm11395.
  83. Миронов А. Н. Задача Дарбу для уравнения Бианки четвертого порядка // Диффер. уравн., 2021. Т. 57, № 3. С. 349–363. https://doi.org/10.31857/S0374064121030067.
  84. Mironova L. B. Boundary-value problems with data on characteristics for hyperbolic systems of equations // Lobachevskii J. Math., 2020. vol. 41, no. 3. pp. 400–406. https://doi.org/10.1134/S1995080220030130.
  85. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я., Быстрова О. К., Захаров В. Н. Функция Римана для некоторых дифференциальных уравнений в \(n\)-мерном евклидовом пространстве и их применения. Самара: Самар. ун-т, 1995. 76 с.
  86. Волкодавов В. Ф., Захаров В. Н. Функция Римана для одного класса дифференциальных уравнений в трехмерном евклидовом пространстве и ее применения. Самара: СамГПУ, 1996. 51 с.
  87. Андреев А. А. Построение элементарных решений и решение задачи Коши для уравнений и систем уравнений гиперболического типа: Дисс. ... канд. ф.-м. н., специальность 01.01.02. Куйбышев, 1981. 100 с.
  88. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
  89. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 1. М.: Наука, 1981. 544 с.
  90. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Задача Гурса для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 3(24). С. 35–41. https://doi.org/10.14498/vsgtu996.
  91. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
  92. Яковлева Ю. О., Тарасенко А. В. Решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка методом Римана// Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия, 2019. Т. 25, № 3. С. 33–38. https://doi.org/ 10.18287/2541-7525-2019-25-3-33-38.
  93. Holmgren E. Surles systèmes linéaires aux dérivées partielles du premier ordre// Arkiv för mat., astr. och fys., 1910. vol. 6, no. 2. pp. 1–10 (In French).
  94. Бурмистров Б. Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе / Тр. сем. по краев. задачам, Т. 8. Казань: Казанск. ун-т, 1971. С. 41–54.
  95. Чекмарев Т. В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Диффер. уравн., 1982. Т. 18, № 9. С. 1614–1622.
  96. Чекмарев Т. В. Системы уравнений смешанного типа. Нижний Новгород: Нижегородский гос. техн. ун-т, 1995. 199 с.
  97. Бицадзе А. В. О структурных свойствах решений гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка// Матем. моделирование, 1994. Т. 6, № 6. С. 22–31.
  98. Романовский Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода // Матем. сб., 1985. Т. 127(169), № 4(8). С. 494–501.
  99. Романовский Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Матем. сб., 1987. Т. 133(175), № 3(7). С. 341–355.
  100. Воробьева Е. В., Романовский Р. К. Метод характеристик для гиперолических краевых задач на плоскости // Сиб. матем. журн., 2000. Т. 41, № 3. С. 531–540.
  101. Романовский Р. К., Медведев Ю. А. Оптимальное двустороннее граничное управление теплопереносом в стержне. Гиперболическая модель // Изв. вузов. Математика, 2016. № 6. С. 54–60.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2021

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах