An initial boundary value problem for a partial differential equation of higher even order with a Bessel operator

Full Text

Введение. Известно, что дифференциальные уравнения в частных производных имеют многочисленные приложения в науке и технике [1, 2]. В настоящее время эта теория развивается быстрыми темпами в различных направлениях. Особое место занимают дифференциальные уравнения в частных производных высокого четного порядка. Имеются многочисленные научные работы, в которых сформулированы и изучены начальные и начально-граничные задачи для таких уравнений. Например, в работе [3] в области $\Delta =\left\{\left(x\mathrm{,}t\right);0<x<p; 0<t<T\right\}$ для уравнения $u_{tt}-u_{xxxx}=f\left(x\mathrm{,}t\right)$ поставлена и исследована задача с условиями

$u\left(x,0\right)=u\left(x\mathrm{,}T\right)=00\le x\le p\mathrm{,}$

$u\left(0,t\right)=u_{xx}\left(0,t\right)=u\left(p\mathrm{,}t\right)=u_{xx}\left(p\mathrm{,}t\right)=0,0\le t\le T\mathrm{,}$ (1)

а в работе [4] — с условиями

$u\left(x,0\right)=u_t\left(x\mathrm{,}T\right)=0,0\le x\le p\mathrm{,}$

$u_x\left(0,t\right)=u_{xxx}\left(0,t\right)=u_x\left(p\mathrm{,}t\right)=u_{xxx}\left(p\mathrm{,}t\right)=00\le t\le T\mathrm{.}$ (2)

В работах [5, 6] в области $∆$ аналогичные задачи изучены для уравнений $u_{xxxx}-u_{tt}-\lambda u=f\left(x\mathrm{,}t\right)$ и $u_{xxxx}-u_{tt}-c\left(x\mathrm{,}t\right)u=f\left(x\mathrm{,}t\right)$ соответственно, а в работах [7-9] — для уравнения $u_{xxxx}+u_{tt}f\left(x\mathrm{,}t\right)$. В работе [10] для уравнения $u_{tt}+{\alpha }^2{u}_{xxxx}=0$ в верхней полуплоскости изучена задача Коши, а в работах [11-13] в области $∆$ исследованы начально-граничные задачи для уравнения $u_{tt}+{\alpha }^2{u}_{xxxx}=f\left(x\mathrm{,}t\right)$ c начальными условиями $u\left(x,0\right)=\phi \left(x\right)$, $u_t\left(x,0\right)=\psi \left(x\right)$,  $0\le x\le p$ и различными граничными условиями, в том числе с условиями  $u\left(0,t\right)=u_x\left(0,t\right)=u_{xx}\left(p\mathrm{,}t\right)=u_{xxx}\left(p\mathrm{,}t\right)=0$, $0\le t\le T\mathrm{.}$ Начально-граничная задача в области $∆$ для уравнения $u_{xxxx}+u_{tt}+\left(2\gamma /t\right)u_t=f\left(x\mathrm{,}t\right)$, где $\gamma \in (0,1/2)$ — const, с начальными $u\left(x,0\right)={\phi }_1\left(x\right)$, $\underset{t\to 0}{lim}{t}^{2\gamma }{u}_t\left(x\mathrm{,}t\right)={\phi }_2\left(x\right)$ и граничными условиями (1), (2) исследована в работах [14, 15] соответственно.

В работе [16] в области $∆$ рассмотрена задача об определении решения уравнения

$\frac{{\partial }^{2k}u}{\partial x^{2k}}-\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}f\left(x\mathrm{,}t\right)$ (3)

удовлетворяющего условиям

$\frac{{\partial }^{2m}}{\partial x^{2m}}u\left(0,t\right)=\frac{{\partial }^{2m}}{\partial x^{2m}}u\left(p\mathrm{,}t\right)=0m\overline{\mathrm{0,}k-1}\mathrm{,}0\le t\le T\mathrm{,}k\ge 2$ (4)

и одной из следующих пар условий:

$u\left(x,0\right)=u\left(x\mathrm{,}T\right)=0,0\le x\le p$;

$u\left(x,0\right)=u_t\left(x\mathrm{,}T\right)=00\le x\le p$; (5)

$u\left(x,0\right)=u\left(x\mathrm{,}T\right),u_t\left(x,0\right)=u_t\left(x\mathrm{,}T\right)0\le x\le p\mathrm{,}$                       

причем здесь подробно исследована задача (3)–(5). В [16] также поставлена задача для уравнения (3) с условиями (5) и

$\frac{{\partial }^{2m+1}}{\partial x^{2m+1}}u\left(t,0\right)=\frac{{\partial }^{2m+1}}{\partial x^{2m+1}}u\left(p\mathrm{,}t\right)=0m\overline{\mathrm{0,}k-1}\mathrm{,}0\le t\le T\mathrm{,}k\ge 2.$         

В работе [17] для уравнения (3) в области $∆$ исследована задача с условиями (4) и

$u\left(x,0\right)=u_t\left(x,0\right)=0,0\le x\le p\mathrm{.}$                                 

В работе [18] в области $D=\left\{\left(x\mathrm{,}t\right):0<x<\pi ; 0<t<2\pi \right\}$ для уравнения (3) при $f\left(x,t\right)\equiv 0$, $k=2n+1$, $n\in \mathbb{N}$ исследована некорректная задача с условиями

$\frac{{\partial }^{2m}}{\partial x^{2m}}u\left(0,t\right)=\frac{{\partial }^{2m}}{\partial x^{2m}}u\left(\pi \mathrm{,}t\right)=0m=0,1\dots \mathrm{,}k-1,$

$u\left(\alpha \pi \mathrm{,}t\right)=f\left(t\right),0\le t\le 2\pi \mathrm{,}$                     

а в [19] для квазилинейного уравнения

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^{2k}u}{\partial x^{2k}}f\left(t\mathrm{,}x\mathrm{,}u\left(t\mathrm{,}x\right)\right),k\in \mathbb{N}$                            

в области $D_T=\left\{\left(t\mathrm{,}x\right):0<t<T;0<x<\pi \right\}$ рассмотрена задача с начальными

$u\left(0,x\right)=\phi \left(x\right),u_t\left(T\mathrm{,}x\right)=\psi \left(x\right),0\le x\le \pi$

и периодическими условиями вида

$\frac{{\partial }^{j}u}{\partial x^j}{\left|{}_{x=0}=\frac{{\partial }^{j}u}{\partial x^j}\right|}_{x=\pi }\mathrm{,}j=0,1\dots \mathrm{,2}k-\mathrm{1,}0\le t\le T\mathrm{.}$                      

В работе [20] в области $∆$ для уравнения

$\frac{{\partial }^{2k}u}{\partial x^{2k}}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=f\left(x\mathrm{,}t\right)$                                          

исследованы задачи с условиями (4), (5) и (4), $u\left(x,0\right)=u_t\left(x,0\right)=0$.

В работе [21] изучены начально-краевые задачи для уравнения вида

$u_{tt}+A\left(x\mathrm{,}D\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)=f\left(x\mathrm{,}t\right),$                                     

где $A\left(x\mathrm{,}D\right)={\sum }_{\alpha \le m}{a}_{\alpha }\left(x\right)D^{\alpha }$ — произвольный положительный формально самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор порядка $m=2l$ с достаточно гладкими коэффциентами $a_{\alpha }\left(x\right)$, где $\alpha =\left({\alpha }_1\mathrm{,}{\alpha }_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\alpha }_N\right)$ — мультииндекс и $D=\left(D_1\mathrm{,}{D}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{D}_N\right)$, $D_j=\partial /\partial x_j$, а в [22] — задачи для уравнения

${\partial }_t^{\rho }u\left(x\mathrm{,}t\right)+A\left(x\mathrm{,}D\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)=f\left(x\mathrm{,}t\right),$                                 

где ${\partial }_t^{\rho }u\left(x\mathrm{,}t\right)$ — дифференциальный оператор Римана – Лиувилля дробного порядка $\rho \in (0,1]$.

Кроме приведенного выше, в [23-27] исследована задача Коши в верхней полуплоскости для уравнений высокого четного порядка с оператором Бесселя.

1. Постановка задачи. Исследование спектральной задачи. В области $\Omega =\left\{\left(x\mathrm{,}t\right):0<x<1;0<t<T\right\}$ рассмотрим уравнение

$B_{\gamma -1/2}^{t}u+{\left(-1\right)}^k\frac{{\partial }^{2k}u}{\partial x^{2k}}=f\left(x\mathrm{,}t\right)$ (6)

где $\gamma$, $T$ — заданные действительные числа, причем , $0<\gamma <1/2$, $f\left(x,t\right)$— заданная функция, а $B_{\omega }^t\equiv {\partial }^2/\partial t^2+\left[\left(1+2\omega \right)/t\right]\partial /\partial t$ — оператор Бесселя.

Исследуем следующую начально-граничную задачу.

Задача 1. Найти функцию $u\left(x\mathrm{,}t\right)\in C_{x\mathrm{,}t}^{2k-\mathrm{1,0}}\left(\overline{\Omega }\right)\cap C_{x\mathrm{,}t}^{2k\mathrm{,2}}\left(\Omega \right)$, удовлетворяющую в области $\Omega$ уравнению (6), а на границе области $\Omega$ следующим начальным и граничным условиям: 

$u\left(x,0\right)={\phi }_1\left(x\right),0\le x\le 1;\underset{t\to +0}{lim}{t}^{2\gamma }{u}_t\left(x\mathrm{,}t\right){\phi }_2\left(x\right)\text{\hspace{1em}0<}x<1;$ (7)

$\left.\begin{array}{c}u\left(0,t\right)\frac{\partial }{\partial x}u\left(0,t\right)=\dots =\frac{{\partial }^{k-1}}{\partial x^{k-1}}u\left(0,t\right)0\le t\le T\mathrm{,}\\ \frac{{\partial }^k}{\partial x^k}u\left(1,t\right)\frac{{\partial }^{k+1}}{\partial x^{k+1}}u\left(1,t\right)=\dots =\frac{{\partial }^{2k-1}}{\partial x^{2k-1}}u\left(1,t\right)0\le t\le T\mathrm{,}\\ \end{array}\right\}$ (8)

где ${\phi }_1\left(x\right)$ и ${\phi }_2\left(x\right)$ — заданные непрерывные функции.

Исследуем существование, единственность и устойчивость решения задачи 1. Нетривиальные решения однородного уравнения

$B_{\gamma -1/2}^{t}u+{\left(-1\right)}^k\frac{{\partial }^{2k}u}{\partial x^{2k}}=0,$                                        

удовлетворяющего условиям (8), ищем в виде $u\left(x\mathrm{,}t\right)=v\left(x\right)T\left(t\right)$. В результате относительно функции $T\left(t\right)$ получим уравнение

$B_{\gamma -1/2}^{t}T\left(t\right)+\lambda T\left(t\right)\text{\hspace{1em}0<}t<T\mathrm{,}$                                

а относительно функции $v\left(x\right)$ получим следующую спектральную задачу:

$Mv\equiv {\left(-1\right)}^k{v}^{2k}\left(x\right)=\lambda v\left(x\right)\text{\hspace{1em}0<}x<1,$ (9)

$\left.\begin{array}{c}v\left(0\right)=v^{\text{'}}\left(0\right)=\dots =v^{\left(k-1\right)}\left(0\right)=0\\ v^{\left(k\right)}\left(1\right)=v^{\left(k+1\right)}\left(1\right)=\dots =v^{\left(2k-1\right)}\left(1\right)=0.\end{array}\right\}$ (10)

Рассмотрим задачу (9), (10). Пусть $v\left(x\right)$, $w\left(x\right)\in C^{\left(2k-1\right)}\left[0,1\right]\cap C^{2k}\left(0,1\right)$ и $v^{\left(2k\right)}\left(x\right)$, $w^{\left(2k\right)}\left(x\right)\in C\left(0,1\right)\cap L\left[0,1\right]$. Тогда интегрированием по частям нетрудно убедиться, что справедливо равенство

${\int }_0^{1}wMvdx={\int }_0^{1}vMwdx+{\left(-1\right)}^k[w{v}^{\left(2k-1\right)}-w^{\text{'}}{v}^{\left(k-2\right)}+\dots +$

$+{\left(-1\right)}^{k-1}{w}^{\left(k-1\right)}{v}^{\left(k\right)}+{\left(-1\right)}^k{w}^{\left(k\right)}{v}^{\left(k-1\right)}+\dots +{\left(-1\right)}^{2k-1}{w}^{\left(2k-1\right)}v{]}_{x=0}^{x=1}\mathrm{.}$

Отсюда следует, что если функции $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ удовлетворяют условиям (10), то имеет место равенство ${\int }_0^{1}wMvdx={\int }_0^{1}vLwdx\mathrm{,}$ откуда следует, что задача $Mv=0$, (10) самосопряженная. Теперь выясним, при каких $\lambda$ задача (9), (10) имеет нетривиальные решения. С этой целью сначала умножим уравнение (9) на функцию $v\left(x\right)$, а затем проинтегрируем по $x$ на отрезке [0, 1]:

${\left(-1\right)}^k{\int }_0^1{v}^{\left(2k\right)}\left(x\right)v\left(x\right)dx=\lambda {\int }_0^1{v}^2\left(x\right)dx\mathrm{.}$                               

Применим правило интегрирования по частям $k$ раз к первому интегралу:

$\lambda {\int }_0^1{v}^2\left(x\right)dx={\int }_0^1{\left[v^{\left(k\right)}x\right]}^{2}dx+$

$+{\left(-1\right)}^k{\left[v^{\left(2k-1\right)}\left(x\right)v\left(x\right)-v^{\left(2k-2\right)}\left(x\right)v\left(x\right)+\dots +{\left(-1\right)}^{k-1}{v}^{\left(k\right)}\left(x\right)v^{\left(k-1\right)}\left(x\right)\right]}_0^1\mathrm{.}$

В силу условия (10) из последнего соотношения следует равенство

$\lambda {\int }_0^1{v}^2\left(x\right)dx={\int }_0^1{\left[v^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx\mathrm{.}$                                     

Отсюда следует, что $\lambda \ge 0$.

Рассмотрим случай $\lambda =0$. Здесь уравнение (9) принимает вид $v^{\left(2k\right)}\left(x\right)$. Общее решение этого уравнения определяется равенством

$v\left(x\right)=c_1\frac{x^{2k-1}}{\left(2k-1\right)}+c_2\frac{x^{2k-2}}{\left(2k-2\right)}+\dots +c_{2k-2}{\frac{x}{2!}}^2+c_{2k-1}\frac{x}{1!}+c_{2k}\mathrm{,}$                

где $c_j$, $j=\overline{\mathrm{1,2}k}$ — произвольные постоянные. Подчиняя эту функцию условиям (10), получим $c_j=0$, $j=\overline{\mathrm{1,2}k}$. Тогда $v\left(x\right)\equiv 0$, $x\in \left[0,1\right]$.

Следовательно, задача (9), (10) может иметь нетривиальные решения только при $\lambda >0$.

Предполагая $\lambda >0$, приведем задачу (9), (10) к эквивалентному интегральному уравнению. С этой целью построим функцию Грина:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\left(-1\right)}^{k-1}{x}^{2k-1}}{\left(2k-1\right)!0!}+\frac{{\left(-1\right)}^{k-2}{x}^{2k-2}s}{\left(2k-2\right)!1!}+\dots +\frac{x^k{s}^{k-1}}{k!\left(k-1\right)}\mathrm{,}0\le x<s\mathrm{,}\\ \frac{{\left(-1\right)}^{k-1}{s}^{2k-1}}{\left(2k-1\right)!0!}+\frac{{\left(-1\right)}^{k-2}{s}^{2k-2}x}{\left(2k-2\right)!1!}+\dots +\frac{s^k{x}^{k-1}}{k!\left(k-1\right)}\mathrm{,}s<x\le 1.\\ \end{array}\right.$ (11)

Функция Грина (11) по переменной $x$ удовлетворяет условиям (9), ее производные по $x$ до порядка $2k-2$ включительно непрерывны при $x\in (0,1)$, производная порядка $2k-1$при $x=s\in \left(0,1\right)$ имеет скачок вида

$\frac{{\partial }^{2k-1}}{\partial x^{2k-1}}G\left(x\mathrm{,}s\right){|}_{x=s+0}-\frac{{\partial }^{2k-1}}{\partial x^{2k-1}}G\left(x\mathrm{,}s\right){|}_{x=s-0}{\left(-1\right)}^k\mathrm{,}$ (12)

а производная порядка $2k$ удовлетворяет уравнению $\left({\partial }^{2k}/\partial x^{2k}\right)G\left(x\mathrm{,}s\right)=0$ при $x\ne s\in \left(0,1\right)$.

Пользуясь этими свойствами функции $G\left(x,s\right)$, нетрудно убедиться, что решение уравнения $Mv\left(x\right)=g\left(x\right)$, удовлетворяющее условиям (10), определяется формулой

$v\left(x\right)={\int }_0^{1}G\left(x\mathrm{,}s\right)g\left(s\right)ds\mathrm{,}$ (13)

где $g\left(x\right)$ — заданная непрерывная функция.

Докажем, что при (13) выполняется равенство $Mv\left(x\right)=g\left(x\right)$.

В силу свойств функции $G\left(x,s\right)$ из (13) сразу следует выполнение условий (10). Перепишем (13) в виде

$v\left(x\right)={\int }_0^{x}G\left(x\mathrm{,}s\right)g\left(s\right)ds+{\int }_x^{1}G\left(x\mathrm{,}s\right)g\left(s\right)ds\mathrm{.}$                           

Это равенство последовательно продифференцируем $2k$ раз. Тогда, принимая во внимание непрерывность функции $g\left(x\right)$ и производных функции $G\left(x,s\right)$ до $\left(2k-2\right)$ порядка включительно, получим

$v^{2k}\left(x\right)={\int }_0^x{G}_x^{\left(2k\right)}\left(x\mathrm{,}s\right)g\left(s\right)ds+{\int }_x^1{G}_x^{\left(2k\right)}\left(x\mathrm{,}s\right)g\left(s\right)ds+$

$+\left[G_x^{\left(2k-1\right)}\left(x\mathrm{,}x-0\right)-G_x^{\left(2k-1\right)}\left(x\mathrm{,}x+0\right)\right]g\left(x-0\right)+$

$+\left[g\left(x-0\right)-g\left(x+0\right)\right]G_x^{\left(2k-1\right)}\left(x\mathrm{,}x+0\right).$

Отсюда в силу равенств (12) и $\left({\partial }^{2k}/\partial x^{2k}\right)G\left(x\mathrm{,}s\right)=0$, $x\ne s$, а также непрерывности функции $g\left(x\right)$ следует, что $v^{\left(2k\right)}\left(x\right)={\left(-1\right)}^{k}g\left(x\right)$, т. е. $Mv\left(x\right)=g\left(x\right)$.

Из доказанного выше следует, что задача (9), (10) эквивалентна следующему интегральному уравнению:

$v\left(x\right)=\lambda {\int }_0^{1}G\left(x\mathrm{,}s\right)v\left(s\right)ds\mathrm{.}$ (14)

Так как $\lambda >0$ и ядро $G\left(x,s\right)$ симметрично и непрерывно, согласно теории интегральных уравнений [28], уравнение (14) и, следовательно, задача (9), (10) имеет счетное число собственных значений

${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3<\cdots <{\lambda }_n<\cdots \mathrm{,}{\lambda }_n\to +\infty \mathrm{,}$                      

а соответствующие им собственные функции

$v_1\left(x\right),v_2\left(x,\right)v_3\left(x\right),\dots \mathrm{,}{v}_n\left(x\right)\dots$                         

образуют ортонормированную систему в пространстве $L_2\left(0,1\right)$; при этом любая функция $g\left(x\right)\in L_2\left(0,1\right)$ разлагается в сходящийся в среднем ряд Фурье по этим собственным функциям. Так как задача $Mv=0$, (10) самосопряженная, система функций ${\left\{v_n\left(x\right)\right\}}_n^{+\infty }$ полна в пространстве $L_2\left(0,1\right)$ [29].

2. Сходимость основных билинейных рядов. Сформулируем и докажем следующую лемму.

Лемма 1. Следующие ряды равномерно сходятся на  [0, 1]:

$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{v_n^2\left(x\right)}{{\lambda }_n}\mathrm{,}\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\displaystyle {\left[v_n^{\left(j\right)}\left(x\right)\right]}^2}}{{\lambda }_n^2}\mathrm{,}j\overline{\mathrm{1,2}k-1}\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\displaystyle {\left[v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)\right]}^2}}{{\lambda }_n^3}\mathrm{.}$ (15)

Доказательство. Так как ядро $G\left(x,s\right)$ интегрального уравнения (14) симметрично, непрерывно и положительно, согласно теореме Мерсера [28] справедливо равенство

$G\left(x\mathrm{,}s\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{v_n\left(x\right)v_n\left(s\right)}{{\lambda }_n}\mathrm{.}$                                        

Отсюда в силу непрерывности ядра $G\left(x,s\right)$ при $x=s$ следует неравенство

$G\left(x\mathrm{,}x\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{v_n^2\left(x\right)}{{\lambda }_n}\le K\mathrm{,}$ (16)

где K — некоторое действительное положительное число. Следовательно, первый ряд в (15) сходится равномерно.

Далее согласно (14) справедливы следующие равенства:

$v_n^{\left(j\right)}\left(x\right)={\lambda }_n{\int }_0^1\frac{{\partial }^j}{\partial x^j}G\left(x\mathrm{,}s\right)v_n\left(s\right)ds\mathrm{,}j=\overline{\mathrm{1,2}k-1}$                        

или

$\frac{v_n^{j}x}{{\lambda }_n}={\int }_0^1\frac{{\partial }^j}{\partial x^j}G\left(x\mathrm{,}s\right)v_n\left(s\right)ds\mathrm{,}j=\overline{\mathrm{1,2}k-1}\mathrm{.}$                          

Так как ${\left\{v_n\left(x\right)\right\}}_{n=1}^{+\infty }$ ортонормированная система, из последнего равенства следует, что $v_n^{\left(j\right)}\left(x\right)/{\lambda }_n$ являются коэффициентами Фурье функции $\left({\partial }^j\text{/}\partial x^j\right)G\left(x\mathrm{,}s\right)$ по аргументу $s$. Тогда, учитывая, что $\left({\partial }^j/\partial x^j\right)G\left(x\mathrm{,}s\right)$, $j=\overline{\mathrm{1,2}k-1}$, $\forall x\in \left[0,1\right]$ квадратично суммируемы, согласно неравенству Бесселя имеем

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac{\left[v_n^j\left(x\right)\right]}{{\lambda }_n}}^2\le {\int }_0^1{\left[\frac{{\partial }^j}{\partial x^j}G\left(x\mathrm{,}s\right)\right]}^{2}ds\le K_j\mathrm{,}j=\overline{\mathrm{1,2}k-1}\mathrm{,}$             

где $K_j$ — некоторые действительные положительные числа. Следовательно, вторые ряды в (15) равномерно сходятся.

Далее, учитывая уравнение (9) и неравенство (16), имеем

$\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\left[v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)\right]}^2}{{\lambda }_n^3}\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\left[{\lambda }_n{\left(-1\right)}^k{v}_n\left(x\right)\right]}^2}{{\lambda }_n^3}\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\left[v_n\left(x\right)\right]}^2}{{\lambda }_n}\le K\mathrm{,}$                  

откуда следует, что последний ряд в (15) сходится равномерно.     

3. Порядок коэффициентов Фурье. Сформулируем и докажем следующие леммы.

Лемма 2. Пусть $g\left(x\right)\in C^{k-1}\left[0,1\right],$ $g^{\left(k\right)}\left(x\right)\in L_2\left(0,1\right)$ и $g\left(0\right)=g^{\text{'}}\left(0\right)=\dots =g^{\left(k-2\right)}\left(0\right)=g^{\left(k-1\right)}\left(0\right)=0$. Тогда справедливо неравенство

$\sum _{n=1}^{\infty }{\lambda }_n{g}_n^2\le {\int }_0^1{\left[g^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx\mathrm{,}$ (17)

где $g_n$ — коэффициенты Фурье функции $g\left(x\right)$ по системе собственных функций  ${\left\{v_n\left(x\right)\right\}}_{n=1}^{+\infty }\mathrm{.}$

Доказательство. Рассмотрим следующее выражение:

$J={\int }_0^1{\left[g^{\left(k\right)}\left(x\right)-\sum _{n=1}^{m-1}{g}_n{v}_n^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx\ge 0.$                               

Имеют место следующие равенства:

$J={\int }_0^1{\left[g^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx+{\int }_0^1{\left[\sum _{n=1}^{m-1}{g}_n{v}_n^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx-2{\int }_0^1\text{}{g}^{\left(k\right)}\left(x\right)\left[\sum _{n=1}^{m-1}{g}_n{v}_n^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]dx=$

$={\int }_0^1{\left[g^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx+{\int }_0^1\sum _{n=1}^{m-1}{\left[g_n{v}_n^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx+2\sum _{\begin{array}{c}n\mathrm{,}l\\ n\ne l\end{array}}^{m-1}{g}_n{g}_l{\int }_0^1{v}_n^{\left(k\right)}\left(x\right)v_l^{\left(k\right)}\left(x\right)dx-$

$-2\sum _{n=1}^{m-1}{g}_n{\int }_0^1{g}^{\left(k\right)}\left(x\right)v_n^{\left(k\right)}\left(x\right)dx\mathrm{.}$ (18)

Применяя правило интегрирования по частям $k$ раз, имеем

${\int }_0^1{v}_n^{\left(k\right)}\left(x\right)v_l^{\left(k\right)}\left(x\right)dx=[v_n^{\left(k\right)}\left(x\right)v_l^{\left(k-1\right)}x-v_n^{\left(k+1\right)}\left(x\right)v_l^{\left(k-2\right)}\left(x\right)+$

$+\cdots +{\left(-1\right)}^{k-1}{v}_n^{\left(2k-1\right)}\left(x\right)v_l\left(x\right){]}_0^1+{\left(-1\right)}^k{\int }_0^1{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)v_l\left(x\right)dx\mathrm{.}$

Отсюда в силу равенств (10) и ${\left(-1\right)}^k{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)=\lambda v_n\left(x\right)$ следует, что

${\int }_0^1{v}_n^{\left(k\right)}\left(x\right)v_l^{\left(k\right)}\left(x\right)dx={\lambda }_n{\int }_0^1{v}_n\left(x\right)v_l\left(x\right)dx=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& n\ne l\mathrm{,}\\ {\lambda }_n\mathrm{,}& n=l\mathrm{.}\end{array}\right.$ (19)

Аналогично, принимая во внимание условия леммы 2, получим

${\int }_0^1{g}^{\left(k\right)}\left(x\right)v_n^{\left(k\right)}xdx=[g^{\left(k-1\right)}\left(x\right)v_n^{\left(k\right)}\left(x\right)-g^{\left(k-2\right)}x{v}_n^{\left(k+1\right)}\left(x\right)+$

$+{\left(-1\right)}^{k-1}g\left(x\right)v_n^{\left(2k-1\right)}\left(x\right){]}_0^1+{\left(-1\right)}^k{\int }_0^1{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)g\left(x\right)dx=$

${\lambda }_n{\int }_0^{1}g\left(x\right)v_n\left(x\right)dx={\lambda }_n{g}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (20)

Учитывая равенства (19), (20) и $J\ge 0$, из равенства (18) получим

$J={\int }_0^1{\left[g^{\left(k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx-\sum _{n=1}^{m-1}{\lambda }_n{g}_n^2\ge 0.$                                 

Так как это неравенство имеет место $\forall m\in \mathbb{N}$, справедливо неравенство (17).

Лемма 3. Пусть $g\left(x\right)\in C^{2k-1}\left[0,1\right]$, $g^{\left(k\right)}\left(x\right)\in L_2\left(0,1\right)$ и $g\left(0\right)=g^{\text{'}}\left(0\right)=\dots =g^{\left(k-2\right)}\left(0\right)=g^{\left(k-1\right)}\left(0\right)=0,$ $g^{\left(k\right)}\left(1\right)=g^{\left(k+1\right)}\left(1\right)=\dots =g^{\left(2k-1\right)}\left(1\right)=0$. Тогда справедливо неравенство

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\lambda }_n^2{g}_n^2\le {\int }_0^1{\left[g^{\left(2k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx\mathrm{.}$ (21)

Доказательство. Применяя правило интегрирования по частям $2k$ раз, имеем

${\int }_0^1{g}^{\left(2k\right)}\left(x\right)v_n\left(x\right)dx=[g^{\left(2k-1\right)}\left(x\right)v_n\left(x\right)-g^{2\left(k-2\right)}\left(x\right){v^{\text{'}}}_n\left(x\right)+$

$+\dots +{\left(-1\right)}^{2k-1}g\left(x\right)v_n^{\left(2k-1\right)}x{]}_0^1+{\left(-1\right)}^{2k}{\int }_0^{1}g\left(x\right)v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)dx=$

$={\left(-1\right)}^k{\lambda }_n{\int }_0^{1}g\left(x\right)v_n\left(x\right)dx={\left(-1\right)}^k{\lambda }_n{g}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$                     

Следовательно, ${\left(-1\right)}^k{\lambda }_n{g}_n$ — коэффициенты Фурье функции $g^{\left(2k\right)}\left(x\right)$ по системе функций ${\left\{v_n\left(x\right)\right\}}_{n=1}^{+\infty }$. Так как $g^{\left(2k\right)}\left(x\right)\in L_2\left(0,1\right)$, согласно неравенству Бесселя справедливо неравенство (21).     

Лемма 4. Пусть $g\left(x\right)\in C^{3k-1}\left[0,1\right]$, $g^{\left(k\right)}\left(x\right)\in L_2\left(0,1\right)$ и $g\left(0\right)=g^{\text{'}}\left(0\right)=\dots =g^{\left(k-2\right)}\left(0\right)=g^{\left(k-1\right)}\left(0\right)=0$, $g^{\left(k\right)}\left(1\right)=g^{\left(k+1\right)}\left(1\right)=\dots =g^{\left(2k-1\right)}\left(1\right)=0$, $g^{\left(2k\right)}\left(0\right)=g^{\left(2k+1\right)}\left(0\right)=\dots =g^{\left(3k-1\right)}\left(0\right)=0$. Тогда справедливо неравенство

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\lambda }_n^3{g}_n^2\le {\int }_0^1{\left[g^{\left(3k\right)}\left(x\right)\right]}^{2}dx\mathrm{.}$ (22)

Доказательство. Функция $g^{\left(2k\right)}\left(x\right)$ удовлетворяет условиям леммы 2 и, как доказано выше, ${\left(-1\right)}^k{\lambda }_n{g}_n$ — ее коэффициенты Фурье. Тогда согласно (17) получаем справедливость неравенства (22). 

4. Существование решения задачи 1. Сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть функции ${\phi }_1\left(x\right)$ и ${\phi }_2\left(x\right)$ удовлетворяют условиям леммы 4, а функция $f\left(x,t\right)$ удовлетворяет этим условиям по аргументу $x$ равномерно по $t$. Тогда функция

$u\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }\{a_n{t}^{1/2-\gamma }{J}_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)+b_n{t}^{1/2-\gamma }{J}_{\gamma -1/2}\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)+$

$+\frac{\pi }{2\cos \gamma \pi }[{\int }_0^t{J}_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)J_{\gamma -1/2}\left(\sqrt{{\lambda }_n}\tau \right){\left(\frac{t}{\tau }\right)}^{1/2-\gamma }\tau f_n\left(\tau \right)d\tau -$

$-{\int }_0^t{J}_{\gamma -1/2}\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)J_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}\tau \right){\left(\frac{t}{\tau }\right)}^{1/2-\gamma }\tau f_n\left(\tau \right)d\tau \left]\right\}{v}_n\left(x\right)$ (23)

определяет решение задачи 1, где ${\lambda }_n$ и $v_n\left(x\right)$ — собственные значения и собственные функции задачи (9), (10);

$a_n=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sqrt{{\lambda }_n}}{2}\right)}^{\gamma -1/2}\Gamma \left(1/2-\gamma \right){\phi }_{2n}\mathrm{,}{b}_n={\left(\frac{\sqrt{{\lambda }_n}}{2}\right)}^{1/2-\gamma }\Gamma \left(1/2+\gamma \right){\phi }_{1n}$ (24)

${\phi }_{1n}={\int }_0^1{\phi }_1\left(x\right)v_n\left(x\right)dx\mathrm{,}{\phi }_{2n}={\int }_0^1{\phi }_2\left(x\right)v_n\left(x\right)dx$;

$f_n\left(t\right)={\int }_0^{1}f\left(x\mathrm{,}t\right)v_n\left(x\right)dx\mathrm{,}n\in \mathbb{N};$

$J_v\left(x\right)$— функция Бесселя первого рода, $\Gamma \left(z\right)$ — гамма-функция Эйлера.

Доказательство. Решение задачи 1 ищем в виде

$u\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n\left(t\right)v_n\left(x\right)$, (25)

где $u_n\left(t\right)$ — неизвестные функции, которые подлежат определению. Разложим функцию $f\left(x,t\right)$ в ряд по системе ${\left\{v_n\left(x\right)\right\}}_{n=1}^{+\infty }$:

$f\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }{f}_n\left(t\right)v_n\left(x\right)$. (26)

Подставив (25) и (26) в уравнение (6), а (5) "— в условие (7), имеем

$\sum _{n=1}^{+\infty }\left[{\left(-1\right)}^k{u}_n\left(t\right)v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)+B_{\gamma -1/2}^t{u}_n\left(t\right)v_n\left(x\right)\right]=\sum _{n=1}^{+\infty }{f}_n\left(t\right)v_n\left(x\right),$

$\underset{t\to +0}{lim}\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n\left(t\right)v_n\left(x\right)\underset{n=1}{\overset{+\infty }{=\sum }}{\phi }_{1n}{v}_n\left(x\right),$

$\underset{t\to +0}{lim}{t}^{2\gamma }\sum _{n=1}^{+\infty }{u^{\text{'}}}_n\left(t\right)v_n\left(x\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\phi }_{2n}{v}_n\left(x\right).$

Из этих равенств, учитывая равенства ${\left(-1\right)}^k{v}_n^{\left(2k\right)}={\lambda }_n{v}_n$ и ортонормированность системы функций ${\left\{v_n\left(x\right)\right\}}_{n=1}^{+\infty }$, относительно неизвестных функций $u_n\left(t\right)$, $n\in \mathbb{N}$, получим следующую задачу:

$B_{\gamma -1/2}^t{u}_n\left(t\right)+{\lambda }_n{u}_n\left(t\right)=f_n\left(t\right)t\in \left(0,T\right),n\in \mathbb{N};$ (27)

$u_n\left(0\right)={\phi }_{1n}\mathrm{,}\underset{t\to +0}{lim}{t}^{2\gamma }{u^{\text{'}}}_n\left(t\right)={\phi }_{2n}\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (28)

Применяя метод Лагранжа, легко убедиться, что решение задачи (27), (28) существует, единственно и определяется равенством

$u_n\left(t\right)=a_n{t}^{1/2-\gamma }{J}_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)+b_n{t}^{1/2-\gamma }{J}_{\gamma -1/2}\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)+$

$+\frac{\pi }{2\cos \gamma \pi }{\int }_0^t{J}_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)J_{\gamma -}1/2\left(\sqrt{{\lambda }_n}\tau \right){\left(\frac{t}{\tau }\right)}^{1/2-\gamma }\tau f_n\left(\tau \right)d\tau -$

$-\frac{\pi }{2\cos \gamma \pi }{\int }_0^t{J}_{\gamma -1/2}\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)J_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}\tau \right){\left(\frac{t}{\tau }\right)}^{1/2-\gamma }\tau f_n\left(\tau \right)d\tau \mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ (29)

где $a_n$ и $b_n$ — постоянные, определенные равенствами (24). Подставляя (29) в (25), получим формальное решение задачи 1 в виде (23).

Докажем, что ряд (23) и ряды $\left({\partial }^{2k}/\partial x^{2k}\right)u$, $t^{2\gamma }\left(\partial /\partial t\right)u$, $B_{\gamma -1/2}^{t}u$, полученные из (23) почленным дифференцированием, сходятся равномерно в $\overline{\Omega }$. При этом воспользуемся следующей леммой.

Лемма 5. Для функций $u_n\left(t\right)$ определяемых равенствами (29), справедливы неравенства

$\left|u_n\left(t\right)\right|\le \left|{\phi }_{1n}\right|+\left|\frac{T^{1-2\gamma }}{1-2\gamma }\right|{\phi }_{2n}+|\frac{2T\sqrt{T}}{1-2\gamma }\parallel f_{n}t{\parallel }_{L_2\left(0,T\right)}\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$ (30)

Доказательство. Функции (29) с помощью функции Бесселя – Клиффорда ${\overline{J}}_w\left(z\right)=\Gamma \left(w+1\right){\left(z/2\right)}^{-w}{J}_w\left(z\right)$ перепишем в виде

$u_n\left(t\right)=\frac{a_n{t}^{1-2\gamma }{\left(\sqrt{{\lambda }_n}\right)}^{1/2-\gamma }}{\Gamma \left(3/2-\gamma \right)}{\overline{J}}_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)+\frac{b_n{\left(\sqrt{{\lambda }_n}/2\right)}^{\gamma -}}{\Gamma \left(\gamma +1/2\right)}{\overline{J}}_{\left(\gamma -1/2\right)}\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right)+$

$+\frac{1}{1-2\gamma }{\int }_0^t{\overline{J}}_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right){\overline{J}}_{\gamma -1/2}\left(\sqrt{{\lambda }_n}\tau \right){\left(\frac{t}{\tau }\right)}^{1-2\gamma }\tau f_n\left(\tau \right)d\tau -$

$-\frac{1}{1-2\gamma }{\int }_0^t{\overline{J}}_{\gamma -1/2}\left(\sqrt{{\lambda }_n}t\right){\overline{J}}_{1/2-\gamma }\left(\sqrt{{\lambda }_n}\tau \right)\tau f_n\left(\tau \right)d\tau \mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$               

Отсюда, принимая во внимание $\left|{\overline{J}}_{\nu }\left(x\right)\right|\le 1$ при $\nu >-1/2$, получим

$\left|u_n\left(t\right)\right|\le \left|a_n\right|\frac{t^{1-2\gamma }{\left(\sqrt{{\lambda }_n}/2\right)}^{1/2-\gamma }}{\Gamma \left(3/2-\gamma \right)}+\left|b_n\right|\frac{{\left(\sqrt{{\lambda }_n/2}\right)}^{\gamma -}}{\Gamma \left(\gamma +1/2\right)}+$

$+\frac{t^{1-2\gamma }}{1-2\gamma }{\int }_0^t{\tau }^{2\gamma }\left|f_n\left(\tau \right)\right|d\tau +\frac{1}{1-2\gamma }{\int }_0^t\tau \left|f_n\left(\tau \right)\right|d\tau \mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$

Теперь, учитывая $0\le \tau \le t\le T$ и применяя неравенство Коши – Буняковского, имеем

$\left|u_n\left(t\right)\right|\le \left|a_n\right|\frac{{\left(T^2\sqrt{{\lambda }_n}/2\right)}^{1/2-\gamma }}{\Gamma \left(3/2-\gamma \right)}+\left|b_n\right|\frac{{\left(\sqrt{{\lambda }_n/}{\displaystyle 2}\right)}^{\gamma -1/2}}{\Gamma \left(\gamma +1/2\right)}+$

$+\frac{2T}{1-2\gamma }{\left({\int }_0^{T}d\tau \cdot {\int }_0^T{f}_n^2\left(\tau \right)d\tau \right)}^{1/2}\le$

$\le \left|a_n\right|\frac{{\left(T^2\sqrt{{\lambda }_n}/2\right)}^{1/2-\gamma }}{\Gamma \left(3/2-\gamma \right)}+\left|b_n\right|\frac{{\left(\sqrt{{\lambda }_n}{\displaystyle /}{\displaystyle 2}\right)}^{\gamma -}}{\Gamma \left(\gamma +1/2\right)}+\frac{2T\sqrt{T}}{1-2\gamma }\parallel f_n{\parallel }_{L_2\left(0,T\right)}\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$      

Отсюда, принимая во внимание (24), получим неравенства (30).

Лемма 5 доказана.     

Переходим к доказательству равномерной сходимости рядов (23) и

$\left({\partial }^j/\partial x^j\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n\left(t\right)v_n^{\left(j\right)}\left(x\right),j=\overline{\mathrm{1,2}k-1}\mathrm{,}$

$\left({\partial }^{2k}/\partial x^{2k}\right)u\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n\left(t\right)v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right).$ (31)

$t^{2\gamma }{u}_t\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }{t}^{2\gamma }{u^{\text{'}}}_n\left(t\right)v_n\left(x\right),B_{\gamma -1/2}^{t}u\left(x\mathrm{,}t\right)=\sum _{n=1}^{+\infty }{B}_{\gamma -1/2}^t{u}_n\left(t\right)v_n\left(x\right).$              

Рассмотрим ряд (31). Согласно (30), из (31) следует, что для доказательства равномерной сходимости этого ряда достаточно доказать абсолютную и равномерную сходимость рядов

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\phi }_{1n}{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right),\sum _{n=1}^{+\infty }{\phi }_{2n}{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right),\sum _{n=1}^{+\infty }{\int }_0^T{\left(f_n^2\left(\tau \right)d\tau \right)}^{1/2}{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right).$                 

К каждому из этих рядов применяем неравенство Коши – Буняковского:

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\phi }_{jn}{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)\le \sum _{n=1}^{+\infty }\left|{\phi }_{jn}{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)\right|\le \sum _{n=1}^{+\infty }\left|\sqrt{{\lambda }_n^3}{\phi }_{jn}\frac{v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n^3}}\right|\le$

$\le {\left[\sum _{n=1}^{+\infty }{\lambda }_n^3{\phi }_{jn}^2\cdot \sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\left[v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)\right]}^2}{{\lambda }_n^3}\right]}^{1/2}\mathrm{,}j=\overline{\mathrm{1,2}}\mathrm{,}$

$\sum _{n=1}^{+\infty }{\left({\int }_0^T{f}_n^2\left(\tau \right)d\tau \right)}^{1/2}{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)\le \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum |}}{\left({\int }_0^T{f}_n^2\left(\tau \right)d\tau \right)}^{1/2}{v}_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)|\le$

$\le \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum |}}{\left({\lambda }_n^3{\int }_0^T{f}_n^2\left(\tau \right)d\tau \right)}^{1/2}\frac{v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)}{\sqrt{{\lambda }_n^3}}|\le$

$\le {\left({\int }_0^T\sum _{n=1}^{+\infty }{\lambda }_n^3{f}_n^2\left(\tau \right)d\tau \cdot \sum _{n=1}^{+\infty }\frac{{\left[v_n^{\left(2k\right)}\left(x\right)\right]}^2}{{\lambda }_n^3}\right)}^{1/2}\mathrm{.}$                          

Ряды, стоящие в правых частях этих неравенств, в силу условий теоремы 1 согласно леммам 1 и 4 равномерно сходятся. Следовательно, ряды, стоящие в левых частях, сходятся абсолютно и равномерно в $\overline{\Omega }$.

Аналогично доказывается абсолютная и равномерная сходимость в $\overline{\Omega }$ и остальных рядов.

Из доказанного выше следует, что все ряды, соответствующие каждым членам уравнения (6) и условиям (7), (8), сходятся абсолютно и равномерно в $\overline{\Omega }$. Тогда сумма этих рядов удовлетворяет уравнению (6 и условиям (7), (8). Следовательно, сумма ряда (23) является решением задачи 1.     

5. Единственность решения задачи. Сформулируем и докажем следующие теоремы.

Теорема 2. Задача (6)–(8) не может иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что задача (6)–(8) имеет два решения: $u_1(x,t)$ и $u_2\left(x,t\right)$. Введем обозначение

$u_1\left(x\mathrm{,}t\right)-u_2\left(x\mathrm{,}t\right)=u_0\left(x\mathrm{,}t\right)$ (32)

Тогда функция $u_0\left(x\mathrm{,}t\right)$ является решением однородной задачи, соответствующей задаче 1.

Рассмотрим следующие функции:

$w_n\left(t\right)={\int }_0^1{u}_0\left(x\mathrm{,}t\right)v_n\left(x\right)dx\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ (33)

где $v_n\left(x\right)$ — собственные функции задачи (9), (10).

Согласно (33) введем функции

$w_n\left(t\right)={\int }_0^1{u}_0\left(x\mathrm{,}t\right)v_n\left(x\right)dx\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ (34)

где $\left(\epsilon \mathrm{,1}-\epsilon \right)\ne \varnothing$. Очевидно, что $\underset{\epsilon \to 0}{lim}{w}_{n\mathrm{,}\epsilon }\left(t\right)=w_n\left(t\right)$.

Вычислим первые и вторые производные функций (34):

${w^{\text{'}}}_{n\mathrm{,}\epsilon }\left(t\right)={\int }_{\epsilon }^{1-\epsilon }\frac{\partial }{\partial t}{u}_0\left(x\mathrm{,}t\right)v_n\left(x\right)dx\mathrm{,}{{w^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{n\mathrm{,}\epsilon }\left(t\right)\text{=}{\int }_{\epsilon }^{1-\epsilon }\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}{u}_0\left(x\mathrm{,}t\right)v_n\left(x\right)dx\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$       

Из этих равенств следует, что

$B_{\gamma -1/2}^t{w}_{n\mathrm{,}\epsilon }\left(t\right)={\int }_{\epsilon }^{1-\epsilon }{B}_{\gamma -1/2}^t{u}_0\left(x\mathrm{,}t\right)v_n\left(x\right)dx\mathrm{,}n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$