Аналог задачи Дезина для уравнения параболо-гиперболического типа с условиями периодичности
- Авторы: Киржинов Р.А.1
-
Учреждения:
- Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН
- Выпуск: Том 26, № 2 (2022)
- Страницы: 259-272
- Раздел: Дифференциальные уравнения и математическая физика
- Статья получена: 29.10.2021
- Статья одобрена: 07.12.2021
- Статья опубликована: 30.06.2022
- URL: https://journals.eco-vector.com/1991-8615/article/view/84098
- DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1892
- ID: 84098
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В прямоугольной области рассматривается неоднородное уравнение смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка. Для данного уравнения исследуется аналог задачи А. А. Дезина, который заключается в отыскании решения уравнения, удовлетворяющего внутренне-краевому условию, связывающему значение искомой функции на линии изменения типа уравнения со значением нормальной производной на границе в области гиперболичности, и неоднородным нелокальным краевым условиям периодичности. Приводится подстановка, позволяющая свести задачу к эквивалентной и, не теряя общности, ограничиться исследованием задачи с однородными условиями для неоднородного уравнения. Доказаны теоремы единственности и существования решения задачи, решение выписано в явном виде.
Решение поставленной задачи ищется в виде суммы ряда Фурье по ортонормированной системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. Установлен критерий единственности решения задачи. Для случая, когда нарушен критерий единственности, приведен пример нетривиального решения однородной задачи и получено необходимое и достаточное условие существования решения неоднородной задачи.
При обосновании существования решения возникает проблема малых знаменателей в сумме ряда относительно соотношения сторон прямоугольника в гиперболической части области. Получена оценка отделенности знаменателя от нуля при некоторых условиях относительно параметров задачи, которая при определенных условиях на заданные функции позволяет доказать абсолютную и равномерную сходимость как формально построенного решения, так и соответствующих производных, входящих в уравнение.
Полный текст
Введение. В 1963 г. А. А. Дезин в работе [1] рассмотрел вопрос о разрешимых расширениях для дифференциальных операторов смешанного типа и тогда же для уравнения с оператором Лаврентьева – Бицадзе в прямоугольной области сформулировал задачу с условием -периодичности и нелокальным условием, связывающим значение искомой функции внутри области со значением ее производной на границе.
В [2, с. 18] приводится формулировка нелокальных краевых условий по терминологии Дезина. В работе [3] в специальной прямоугольной области для уравнения Лаврентьева – Бицадзе доказаны принцип экстремума, теоремы единственности и существования решения задачи Дезина.
В работах [4-7] для различных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа в прямоугольной области изучены задачи с условием периодичности по переменной и нелокальным условием Дезина. Установлены критерии единственности, решения задач построены в виде суммы ортогонального ряда по собственным функциям соответствующих одномерных спектральных задач. Исследована проблема малых знаменателей, возникающая при обосновании сходимости рядов, установлена оценка отделенности от нуля малых знаменателей с соответствующей асимптотикой.
Для уравнения параболо-гиперболического типа в [8, с. 174] доказана однозначная разрешимость аналога задачи Дезина в специальной прямоугольной области, исследован вопрос о спектре однородной задачи.
В данной работе исследуется аналог задачи Дезина в прямоугольной области для неоднородного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с неоднородными нелокальными краевыми условиями, где , , — вещественные положительные числа. Установлен критерий единственности решения исследуемой задачи. Решение построено в виде суммы ряда по ортонормированной системе собственных функций соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей для отношения сторон прямоугольника в части области, где рассматривается гиперболическое уравнение. При некоторых условиях относительно заданных функций и чисел , , показано, что сумма построенного ряда является решением задачи в искомом классе.
1. Постановка задачи. Пусть — область евклидовой плоскости точек ; ; ; , , — вещественные положительные числа. Обозначим через пространство функций таких, что .
В области рассмотрим уравнение
(1)
где
— неизвестная функция, — заданная функция.
Исследуется следующая
Задача 1. Найти решение уравнения (1) из класса
удовлетворяющее условиям
(2)
(3)
где , — заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие следующим условиям: .
С помощью подстановки
где
задачу 1 можно привести к эквивалентной задаче относительно новой функции с однородными условиями вместо (2), при этом уравнение (1) примет вид , где . Поэтому, не нарушая общности, дальнейшие рассуждения будем проводить при .
2. Единственность решения. Пусть существует решение задачи 1. По аналогии с работой [9] рассмотрим функции
(4)
где , .
На основании (4) введем функции
(5)
где — достаточно малое положительное вещественное число.
Дифференцируя (5) по переменной , с учетом уравнения (1) при получим
(6)
Дифференцируя (5) дважды по переменной , с учетом уравнения (1) при получим
(7)
В равенствах (6), (7), интегрируя два раза по частям интегралы, содержащие , и переходя к пределу при , с учетом граничных условий (2) получим
(8)
где
(9)
(10)
Общие решения дифференциальных уравнений (8) выписываются в следующем виде:
(11)
где , , — произвольные постоянные.
С учетом того, что , (4) и полноты системы функций
(12)
в пространстве имеем
(13)
Удовлетворяя (11) условиям (13), находим
Тогда функции (11) примут вид
(14)
Дифференцируя равенства (4) по переменной , с учетом нелокального условия (3) получаем
Пусть
(15)
тогда находим
(16)
Выясним, при каких , , и выражение . Представим в следующем виде:
(17)
где
Из представления (17) видно, что только в том случае, когда
и
Пусть при некоторых значениях , и нарушено условие (15), тогда может принимать любое значение и однородная задача, соответствующая задаче 1 при , имеет нетривиальное решение вида
причем неоднородная задача 1 будет иметь решение только в том случае, когда для выполнено условие
(18)
Из (14) и (16) видно, что если , , то из (4) имеем
Отсюда в силу полноты системы функций (12) в пространстве и непрерывности в следует, что в .
Таким образом, справедлива
Теорема 1. Если существует решение задачи 1, то оно однозначно определяется только тогда, когда выполнено условие (15).
3. Существование решения. Решение задачи 1 при выполнении условий (15) будем искать формально в виде суммы ряда
(19)
где коэффициенты определяются формулами (14), (16).
Поскольку входит в знаменатель ряда (19), для обоснования существования решения задачи 1 необходимо показать, что существуют числа , и такие, что выражение отделено от нуля с соответствующей асимптотикой.
Оценим выражение
(20)
и выясним, существуют ли , , и постоянная такие, что при всех справедлива оценка
(21)
Лемма 1. Если и то существует положительная зависящая от и такая, что при всех справедлива оценка
Доказательство. Пусть . Тогда (20) примет вид
Если , то из последнего заключаем
где
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть , — нечетное число Тогда существует положительная зависящая от , такая, что при всех справедлива оценка
Доказательство. Пусть , , , — нечетное число. Разделим на с остатком:
Тогда из (17) получим
Если , то этот случай сводится к уже рассмотренному выше случаю .
Пусть , , . Тогда
При этом
где . Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть является иррациональным числом. Тогда существуют положительные постоянные и для которых при всех и и справедлива оценка
Доказательство. Пусть является иррациональным числом. В силу известных неравенств
справедлива оценка
(22)
Для всякого можно подобрать такое, что имеет место неравенство [10, c. 37]
Пусть такое, что выполнено последнее неравенство или равносильное ему
(23)
Из (22) и (23) имеем
при условии
С учетом этого и того, что при , имеем
Возвращаясь к , из (17) при , имеем
где , .
Лемма 3 доказана.
Теперь при определенных условиях на функцию покажем, что функция , представимая в виде (19), где определяются формулами (14) и (16), является решением задачи 1.
Формально из (19) почленным дифференцированием составим ряды:
(24)
(25)
(26)
Из (14) и соответствующих производных при имеем
где
Теперь, для доказательства сходимости (19) и соответствующих производных (24), (25), (26), достаточно доказать сходимость сумм при .
Далее нам понадобится
Лемма 4. Если
то для коэффициентов ряда Фурье (10) функции и коэффициентов ряда Фурье (9) функции при всех справедливы оценки
(27)
(28)
где — некоторая положительная постоянная.
Справедливость леммы 4 следует из теории рядов Фурье (см., напр., [11, гл. 11, §4, п. 2]).
Лемма 5. Пусть имеют место оценки (21), (27), (28). Тогда при всех справедливы оценки
где — некоторая положительная постоянная.
Доказательство. С учетом (21) и второй теоремы о среднем значении [12] имеют место следующие оценки:
где
разбивают область определения соответствующей функции на (наименьшее) конечное число частей, в каждой из которых данная функция монотонна.
Из оценок выше, а также (14), (16) находим:
(29)
(30)
(31)
Если положить
то из (29), (30), (31) с учетом (27), (28) следует справедливость леммы 5.
Из оценок леммы 5 по признаку Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная сходимость рядов (24), (25), (26) и, значит, можно непосредственно показать, что (19) является решением задачи 1.
Таким образом доказана
Теорема 2. Пусть выполнены условия одной из лемм 1–3 и удовлетворяет условиям леммы 4. Тогда существует единственное решение задачи 1, причем решение полностью определяется равенством (19) с учетом (9), (10), (14), (16). Если при каких-то значениях и нарушено условие (15), то задача 1 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие (18).
Конкурирующие интересы. Конкурирующих интересов не имею.
Авторская ответственность. Я несу полную ответственность за предоставление окончательной версии рукописи в печать. Окончательная версия рукописи мною одобрена.
Финансирование. Исследование выполнялось без финансирования.
Об авторах
Ромазан Анатольевич Киржинов
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН
Автор, ответственный за переписку.
Email: kirzhinov.r@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6645-7175
SPIN-код: 4454-4426
ResearcherId: K-2074-2018
http://www.mathnet.ru/person132548
магистр стажер–исследователь отд. уравнений смешанного типа
Россия, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, 89 а.Список литературы
- Дезин А. А. Простейшие разрешимые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов // Докл. АН СССР, 1963. Т. 148, № 5. С. 1013–1016.
- Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 c. EDN: PDBUIH.
- Нахушева З. А. Об одной нелокальной задаче А. А. Дезина для уравнения Лаврентьева—Бицадзе // Диффер. уравн., 2009. Т. 45, № 8. С. 1199–1203. EDN: KUEVVX.
- Сабитов К. Б. Задача Дезина для уравнения смешанного типа со степенным вырождением // Диффер. уравн., 2019. Т. 55, № 10. С. 1426–1431. EDN: HCBKMU. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064119100133.
- Сабитов К Б., Новикова В. А. Нелокальная задача А. А. Дезина для уравнения Лаврентьева—Бицадзе // Изв. вузов. Матем., 2016. № 6. С. 61–72. EDN: VPQASJ.
- Сабитов К. Б., Гущина В. А. Задача А. А. Дезина для неоднородного уравнения Лаврентьева—Бицадзе // Изв. вузов. Матем., 2017. № 3. С. 37–50. EDN: XEDKCH.
- Гущина В. А. Нелокальная задача А. А. Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 1. С. 22–32. EDN: WQPWFT. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1470.
- Нахушева З. А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанного типов дифференциальных уравнений. Нальчик: КБНЦ РАН, 2012. 196 с. EDN: PFJSRF.
- Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23–26. EDN: IAALPP.
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Мир, 1974. 188 с.
- Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 608 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Физматлит, 2003. 864 c. EDN: QJMDGD.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)