SOLUTION FOR THE FUNDAMENTAL MODE OF A STEP-INDEX LIGHTGUIDE WITH KERR NONLINEARITY

Abstract


The progress in the development of femtosecond fiber lasers and their applications makes the problem of modeling the high power ultrashort pulses propagation in optical fiber cables extremely important. Modern fiber lasers can generate pulses with a duration of less than ten femtoseconds with a peak power of up to tens GW. At such values of peak power nonlinear effects cannot be ignored. For fused quartz fibers and femtosecond pulse duration it can be assumed that only the Kerr nonlinearity is present. For this assumption the approximate analytical solution for the fundamental mode of an optical fiber with step-index profile was already found. This solution was obtained with Gaussian approximation method and it already takes the Kerr nonlinearity into account. However, it neglects the second degree of approximation, which is unacceptable at peak power values exceeding tens of megawatts. In this paper, we consider a solution that takes into account refractive index dependence on high-order terms of light signal peak power which occurs due to the Kerr nonlinearity. For some optical fibers studied the results of the analysis are presented, showing the dependency of the fundamental mode spot radius and propagation constant on the light signal peak power in the presence of the Kerr nonlinearity. It is shown that, with an error of less than 0.1%, the dependence of the fundamental mode propagation constant on the light signal power can be approximated by a second-order polynomial. For the considered optic fiber samples the values of the approximation coefficients were obtained.

Full Text

Введение Прогресс в области создания волоконных фемтосекундных лазеров и их приложений [1-6] делает крайне актуальной задачу моделирования процессов распространения в оптических волоконных волноводах ультракоротких импульсов большой мощности. Уже сегодня с помощью таких лазеров получены импульсы длительностью менее 30 фемтосекунд с пиковой мощностью до 81 ГВт и энергией 2,6 МДж [1-3]. При таких значениях пиковой мощности нельзя не учитывать зависимости параметров мод оптического волновода от нелинейности [7-8]. Для световодов из плавленого кварцевого стекла можно полагать, что при фемтосекундных длительностях импульсов можно ограничиться учетом только нелинейности Керра [9-10]. При этом условии в [11] методом приближения Гаусса [12-14] было получено аналитическое решение для фундаментальной моды кварцевого ступенчатого оптического волокна с учетом влияния керровской нелинейности. Однако авторы [11] полагали, что мощность достаточно мала, чтобы пренебречь составляющими, включающими оптическую мощность во второй степени. Следует ожидать, что при значениях пиковой мощности порядка десятков мегаватт это недопустимо. В данной работе рассмотрено решение для фундаментальной моды ступенчатого оптического волоконного волновода из кварцевого стекла, учитывающее все составляющие зависимости показателя преломления материала от пиковой мощности оптического излучения вследствие нелинейности Керра. Представлены результаты анализа зависимостей радиуса пятна и постоянной распространения фундаментальной моды такого волновода от пиковой мощности оптического излучения, обусловленных керровской нелинейностью. Постоянная распространения фундаментальной моды кварцевого ступенчатого оптического волновода с керровской нелинейностью При выводе выражения для постоянной распространения фундаментальной моды ступенчатого волоконного световода с керровской нелинейностью как в [11] воспользуемся методом приближения Гаусса [12-14]. В частности, используем представленную в [14] форму записи общей формулы для постоянной распространения некоторой моды заданных азимутального и радиального порядков круглого оптического волновода с произвольным профилем показателя преломления: , (1) ; ; , (2) где β - постоянная распространения моды; - постоянная распространения в свободном пространстве; λ - длина волны; n - показатель преломления материала оптического волокна; a - радиус сердцевины оптического волокна; r0 -эквивалентный радиус пятна моды; - функция радиального распределения поля моды азимутального порядка l и радиального порядка m по сечению оптического волокна; Cl,m - константа, определяемая в зависимости от азимутального порядка и радиального порядка моды; r - радиальная координата. С учетом вклада нелинейности Керра распределение показателя преломления вдоль радиуса ступенчатого оптического волокна описывается формулой [7]: , (3) где n2 - параметр керровской нелинейности, мкм2/Вт; I(R) - распределение интенсивности оптического излучения вдоль радиуса волокна; ns(R) - профиль показателя преломления ступенчатого оптического волокна без учета нелинейности, который согласно [12] описывается соотношением: . (4) Предполагается, что распределение интенсивности оптического излучения в волоконном световоде имеет осевую симметрию и согласно приближению Гаусса [12] распределение фундаментальной моды по сечению волоконного световода описывается с учетом (2) как . (5) Тогда, согласно (2)-(5), если в ступенчатом оптическом волокне распространяется только фундаментальная мода, то его профиль показателя преломления может быть представлен как: , (6) где Pm - пиковая оптическая мощность. Здесь учитывали, что радиус пятна моды волоконного световода в два раза больше его эквивалентного значения по аппроксимации Гаусса [15]. Подставляя (5) и (6) в (1), получаем: , (7) , , Интегрируя (7) согласно [16-18], получаем выражение для постоянной распространения фундаментальной моды в ступенчатом оптическом волокне с учетом нелинейности Керра: (8) В отличие от решения, представленного в [11], выражение (8) включает все составляющие показателя преломления материала, обусловленные нелинейностью Керра. Характеристическое уравнения относительно эквивалентного радиуса пятна фундаментальной моды кварцевого ступенчатого оптического волновода с керровской нелинейностью Согласно методу приближения Гаусса [12] уравнение относительно эквивалентного радиуса пятна моды получаем, дифференцируя выражение для постоянной распространения моды по эквивалентному радиусу пятна моды и приравнивая эту производную нулю, что эквивалентно уравнению . Дифференцируя (8) по х0 и приравниваю полученную производную нулю, получаем следующее характеристическое уравнение: ,, . (9) В отличие от известного решения, представленного в [11], уравнение (9) учитывает все составляющие показателя преломления материала, обусловленные нелинейностью Керра. Анализ влияния керровской нелинейности на радиус пятна фундаментальной моды ступенчатого оптического волновода В целях оценивания зависимости эквивалентного радиуса пятна от пиковой мощности оптического излучения были рассмотрены примеры волоконного оптического волновода с диаметром сердцевины 2,0 мкм (см. пример №1); 4,15 мкм (пример №2) и 8,0 мкмк (пример №3). Значения показателя преломления материала сердцевины и оболочки, параметра керровской нелинейности были заданы как для стандартного ступенчатого оптического волокна SMF-28 [19]. Для примера №1 расчеты были выполнены на длине волны 800 нм, а для примеров №2 и №3 на длине волны 1550 нм. Соответственно, в примере №2 рассмотрено оптическое волокно типа SMF-28 с учетом керровской нелинейности на длине волны 1550 нм. На рис. 1 приведены результаты решения уравнения (8) для примера №1, а на рис. 2 - для примеров №2 и №3. Анализ уравнения (9) и результатов вычислений показал, что, как и ожидалось, вследствие нелинейности Керра с увеличением мощности оптического излучения радиус пятна моды уменьшается. В зависимости от величины можно выделить три области решения уравнения (9). При значениях этой величины до 0,8-0,9 существует только одно решение уравнения. При значениях более 0,9 появляется второе решение. Однако, уже при уравнение (9) не имеет решений. Вопрос о физическом смысле второго решения характеристического уравнения выходит за рамки статьи и здесь не рассматривается. Рис. 1. Результаты решения уравнения (8) дли примера №1 Рис. 2. Результаты решения уравнения (8) дли примеров №2 и №3 Анализ влияния керровской нелинейности на постоянную распространенияфундаментальной моды ступенчатого оптического волновода На рис. 3 и рис. 4 приведены результаты вычислений зависимостей постоянной распространения фундаментальной моды от пиковой мощности в ступенчатом оптическом волокне с керровской нелинейностью по формулам (8)-(9). Анализ полученных зависимостей показал, что они с высокой степенью точности могут быть аппроксимированы полиномами второй степени. В таблице 1 приведены значения коэффициентов аппроксимации и оценки максимальной погрешности такой аппроксимации для рассмотренных примеров. Во всех рассмотренных случаях погрешность не превысила 0,01%. Рис. 3. Зависимость постоянной распространения фундаментальной моды от мощности оптического излучения для примера №1 Рис. 4. Зависимость постоянной распространения фундаментальной моды от мощности оптического излучения для примеров №2 и №3 Заключение В работе представлен вывод выражения для фундаментальной моды кварцевого ступенчатого волоконного световода с керровской нелинейностью и характеристического уравнения для нее. В отличие от известных решений представленное в данной работе учитывает все составляющие показателя преломления материала, обусловленные нелинейностью Керра. Таблица 1. Значения коэффициентов аппроксимации и оценки максимальной погрешности Номер примера δmax, % a b c 1 11,43 3,9·10-3 1,74·10-3 0,004 2 5,86 0,5·10-3 5,78·10-5 0,006 3 5,87 0,3·10-3 1,57·10-5 0,001 Для ряда примеров приведены результаты вычислений зависимостей эквивалентного радиуса пятна моды и постоянной распространения моды от мощности оптического излучения при условии распространения в световоде только фундаментальной моды. Показано, что в этом случае с погрешностью менее 0,1% зависимость постоянной распространения фундаментальной моды от мощности оптического излучения может быть аппроксимирована полиномом второй степени. Для рассмотренных примеров волоконных волноводов из кварцевого стекла получены значения коэффициентов аппроксимации.

About the authors

Vladimir Alexandrovich Andreev

Povolzhskiy State University of Telecommunication and Information

Email: andreev@psati.ru

Anton Vladimirovich Bourdine

Povolzhskiy State University of Telecommunication and Information

Email: bourdine@psuti.ru

Vladimir Alexandrovich Burdin

Povolzhskiy State University of Telecommunication and Information

Email: burdin@psati.ru

Viktor Pavlovich Kubanov

Povolzhskiy State University of Telecommunication and Information

Email: kubanov@psati.ru

References

  1. Debord B., Alharbi M., Vincetti L. е. а. Multi-meter fiber-delivery and pulse self-compression of milli-Joule femtosecond laser and fiber-aided laser-micromachining // Optics express. No 22 (9), 2014. - P. 10735-10746. doi: 10.1364/OE.22.010735.
  2. Pouysegur J., Guichard F., Weichelt B. е. а. Single-stage Yb:YAG booster amplier producing 2.3 mJ, 520 fs pulses at 10 kHz // Proceedings Advanced Solid State Lasers, hal-01359547, 2015.
  3. Debord B., Gerome F., Paul P.-M., Husakou A., Benabid F. 2.6 mJ energy and 81 GW peak power femtosecond laserpulse delivery and spectral broadening in inhibited coupling Kagome fiber // CLEO, STh4L.7.pdf, 2015, doi.org/10.1364 /CLEO_SI.2015.STh4L.7.
  4. Kryukov P. G. Femtosecond pulses. The introduction of a new area of laser physics. M.: Fizmalit, 2008. - 205 p.
  5. Stingl A. Femtosecond future // Nature Photonics, No. 4, 2010. - 158 p.
  6. Sibbett W., Lagatsky A. A., Brown C. T. A. The development and application of femtosecond laser systems // Optics Express, No. 20 (7), 2012. - P. 6989-7001.
  7. Agrawal G.P. Nonlinear Fiber Optics. United States: Academic Press, 2001. - 467 p.
  8. Lancry M., Poumellec B., Chahid-Erraji A. е.а. Dependence of the femtosecond laser refractive index change thresholds on the chemical composition of doped-silica glasses // Optical Materials Express. Vol. 1, No. 4, 2001. - P. 711-723. doi: 10.1364/OME.1.000711.
  9. Wood R.M. Laser-Induced Damage of Optical Materials. Boca Raton, United States: CRC Press, 2003. - 241 p.
  10. Ristau D. Laser-Induced Damage in Optical Materials. Boca Raton, United States: CRC Press, 2014. - 551 p.
  11. Burdin V.A., Bourdine A.V. Dispersion characteristics of step index single mode optical fiber with Kerr nonlinearity // SPIE Proceedings. Optical Technologies for Telecommunications, 2016. Vol. 10342, 2017. - P. 10342-0N (11). doi: 10.1117/12.2270639
  12. Снайдер А., Лав Дж. Теория диэлектрических волноводов. М.: Радио и связь, 1987. - 656 с.
  13. Бурдин В.А. Основы моделирования кусочно-регулярных волоконно-оптических линий передачи сетей связи // М: Радио и связь, 2002. - 312 с.
  14. Бурдин В.А., Бурдин А.В. Решение для произвольной направляемой моды круглого оптического волокна на основе метода приближения гаусса // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. Т. 14, №2, 2011. - С. 65-72.
  15. Petermann K. Fundamental mode microbending loss in graded-index and W fibres // Optical and Quantum Electronics, No. 9, 1977. - P.167-170. doi: 10.1007/BF00619896.
  16. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. - 228 с.
  17. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. - 830 с.
  18. Градштейн И., Рыжик И. Таблицы интегралов. М.: Физматгиз, 1962. - 1100 с.
  19. Листвин А.В., Листвин В.Н., Швырков Д.В. Оптические волокна для линий связи. М.: ЛЕСАРарт, 2003. - 288 с.

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 2

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions


Copyright (c) 2017 Andreev V.A., Bourdine A.V., Burdin V.A., Kubanov V.P.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies