Sub-band Representation Image Analysis in the Field of Spatial Frequencies

Full Text

Одним из характерных свойств изображений является наличие квазипериодичности в ориентации линий и контуров объектов. Это позволяет говорить об адекватности анализа изображений на основе частотных представлений, основным инструментом которых служат трансформанты Фурье следующего вида: 12 12 11 , exp( ( 1) ( 1)), = = Φ ωω = = - ω - +ω - ∑∑ F NM ik ik f ik () j( (1) где , ik f 1,.., ; = iN 1,.., = kM - пиксели изобра- жения { }; = ik Ff 11 2; ω= πv 22 2 ω= πv - круговые нормированные пространственные частоты в том смысле, что выполняются неравенства (следствие дискретизации) 12 , 0,5. -≤ < vv 0,5 (2) Ввиду ортогональности используемого в (1) двумерного базиса в области (2) имеет место равенство Парсеваля [1], которое показывает 22 11 22 12 1 2 || | ( , )| /4 . || NM ik ik F Ff dd = = ππ -π -π = = = Φ ωω ω ω π ∑∑ ∫∫ (3) Важность этого равенства определяется тем,что оно описывает распределение евклидовой нормы (энергии) изображения в области определения трансформанты Фурье (пространственных частот). Это распределение можно представить в следующем виде: 12 2 11 || ( ), || RR sr sr F EF = = = ∑∑ (4) где () sr EF - часть энергии (квадрата нормы) 22 (, ) ( ) | ( , )| /4 , ω∈ =Φπ ∫∫ sr F sr uvV E F u v dudv (5) связанная с одной из подобластей пространственных частот ( ) 2 1 21 2 1 21 { [ , [ , )) ( [ , ) [ , ))}, = ∈- - ∪ ∩ ∩ ∈- - ∪ sr s s s s r r rr V u u u uu v v v vv (6) которые не пересекаются и полностью покрывают всю область вида (2). Условия покрытия всей области (2) имеют вид: 12 11 11 2 1 21 0; ; ;. = = > >==π ss r r sR rR uv uu vvu v (7) Очевидно, что характеристики (5) могут использоваться для описания свойств изображений, предназначенных для реализации компьютерной обработки [2; 3], например, в качестве признаков [4; 5] при идентификации их в том или ином классе. Кроме того, ниже будут получены и другие характеристики изображений. Анализ свойств изображений на основе субполосных представлений. Анализ свойств изображений с позиций разбиения области определения их трансформант Фурье (2) на подобласти вида (6), (7) будем именовать субполосным [6]. Важно, что эти характеристики могут быть вычислены непосредственно в области оригиналов (без перехода в частотную область). Нетрудно получить соответствующее представление, если в определение (5) подставить представление (1) подынтегральной функции. В результате имеем: 11 2 2 , 1, 1 1 ( ,) ( , ) 12 2 11 2 2 () exp( (( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ) . = = ∈∈ = × × --+ +- -- - -- ∑∑ ∫∫ ∫∫ sr sr NM sr ik nm in km uv V uv V E F ff ji u k vnu m v du dv du dv После интегрирования и проведения несложных преобразований получаем искомое представление: () ( ) = T sr s r E F sp A FB F , (8) где символ sp означает след матрицы; { }, , 1,.., ; { }, , 1,.., = = = = s s ik r r nm A a ik N B b nm M - матрицы с элементами 2sin ( )/2)/( ( )) cos( ( )), / ; = ∆ - π- × × Ω- =∆ π s ik s s s ii s a (uik ik ik a u (9) 2sin ( )/2)/( ( )) cos( ( )), / ; = ∆ - π- × × Ω- =∆π r nm r r r mm r b (vnm nm nm b v (10) 21 21 ; ( ) / 2; ∆ = - Ω= + ss s s s s uu u u u (11) 21 21 ; ( ) / 2. ∆ = - Ω= + rr r r r r vv v v v (12) Здесь и в дальнейшем верхний индекс T означает символ транспонирования матриц и векторов. Представляется естественным матрицы с элементами вида (9) и (10) называть субполосными. Они обладают рядом примечательных свойств, которые полезны для осуществления субполосного анализа изображений. Для более детального анализа этих свойств целесообразно привести общее интегральное представление элементов субполосной матрицы { }, = u u ik Cc , 1,.., = ik N соотносимых с некоторой частотной полосой (субполосой) 2 1 12 1 2 [ , ) ( , ], 0 ; . = - - ∪ < ≤π U u u uu u u (13) Это представление имеет вид exp( ( )) / 2 . ∈ = -- π ∫ u ik uU c ju i k du (14) На основе этого представления легко показать, что субполосные матрицы будут неотрицательно определенными. В самом деле, пусть вектор 1 ( ,.., ) =  T N xxx состоит из вещественных компонент. Тогда при подстановке (14) в определение субполосной квадратичной формы ,1 () = = = ∑  N Tu u u i k ik ik G x x Cx xxc (15) нетрудно получить соотношение 2 ( ) | ( )| /2 , ∈ = π ∫  u uU G x X u du (16) где () Xu - трансформанта (спектр) Фурье рассматриваемого вектора 1 ( ) exp( ( 1)). = = -- ∑ N i i X u x ju i (17) Так как соотношение (17) определяет целую функцию частоты, то она ни в каком частотном интервале конечных размеров не может быть тождественно равна нулю. Поэтому интеграл в правой части (16), а следовательно, и квадратичная форма (15) на всем векторном пространстве будет положительной, то есть выполняется неравенство ,1 = = > ∑  N Tu u i k ik ik x Cx xxc 0. (18) Ясно также, что представление (14) определяет симметричную матрицу. Поэтому она является матрицей простой структуры [7], то есть обладает набором собственных векторов, образующих ортонормальный базис в пространстве векторов соответствующей размерности. Таким образом, справедливо представление , T u uu u C QLQ = (19) где 1 ( ... ) =  uu uN Q qq - ортогональная матрица собственных векторов (1,...,1), = = TT uu u u QQ QQ diag (20) , = u u uu CQ QL (21) 1 ( ,.., ) = λλ uu u L N diag - диагональная матрица собственных чисел. Ввиду (18) собственные числа субполосной матрицы тоже положительны [7], и в дальнейшем полагаем, что они упорядочены по убыванию: 12 ... 0. λ ≥λ ≥ ≥λ > uu u N (22) На основе (21) и (14) нетрудно получить следующее соотношение для компонент собственных векторов ( )exp( ( 1)) / 2 , ∈ λ= - π ∫ r mr r zU q H z jz m dz (23) где 1 ( ) exp( ( 1)). = = -- ∑ N uu r mr m H z q jm (24) Таким образом, собственные векторы субполосных матриц полностью определяются отрезками их трансформант Фурье в рассматриваемом частотном интервале. Умножив (23) слева и справа на u mn q и суммирования по общему нижнему индексу, с учетом свойства ортонормальности собственных векторов (20) получаем важные соотношения (звездочка вверху означает комплексное сопряжение): * * () () /2 () () 0, ∈ π -π π= = = ∫ ∫ uu rn zU uu rn H z H z dz H z H z dz (25) 2 | ( )| /2 ∈ λ = π≤ ∫ uu rr zU H z dz 1. (26) Соотношение (25) определяет так называемое [1] свойство двойной ортогональности спектров собственных векторов. В свою очередь соотношение (26) наряду с равенством Парсеваля показывает, что собственное число равно попадающей в исходный частотный интервал части квадрата евклидовой нормы (энергии) соответствующего собственного вектора. Отметим, что близость собственного числа к единице означает, что область определения спектра соответствующего собственного числа имеет малые размеры (финитна). Соотношение (19) вместе с (20) определяют ортогонально подобные матрицы, следы которых поэтому равны [7], то есть для среднего собственного числа, согласно (25), должно выполняться равенство 21 11 / ( )/ , = = λ= =- π ∑∑ NN uu i ii i N cN uu i / (27) которое следует из (13) и (14). Таким образом, все собственные числа равны единице тогда и только тогда, когда ширина субполосы совпадает со всей областью определения трансформанты Фурье. Очевидно, что в этом случае субполосная матрица с элементами (14) будет единичной. По аналогии с (9) для элементов (14) можно использовать представление 0 2 cos( ( )), = Ω- u ik ik u c c ik (28) где 0 0 sin( ( ) / 2) / ( ( )), /2 . = ∆ - π- =∆π ik ii c uik ik cu (29) Остальные переменные определены соотношениями (11)-(12). В свою очередь, полагая 00 { }, , 1,.., , = = u ik C c ik N (30) 2 (1,cos ,..,cos( ( 1))), 2 (0,sin ,..,sin( ( 1))), = Ω Ω- = Ω Ω- u uu u uu CS N SS N diag diag (31) субполосную матрицу (14) можно представить в аддитивном виде: 00 . = + u uu u uu u C CS C CS SS C SS (32) Субполосную матрицу вида (30) будем называть нулевой для выбранной частотной подполосы. Соотношение (31) определяет процедуру переноса ее в пределы этой субполосы, что может быть удобным для многократного использования субполос одной и той же ширины. Поэтому применение субполосного анализа представляется целесообразным использовать разбиения частотной полосы на 1 + R субполос, границы которых определяются следующим образом: 10 20 11 20 21 0 2/ ; ; 4 / , 1,.., . ==π= = +π = rr u u Nu u u u Nr R ; (33) При этом в соответствии с требованием (13) совпадения с границей области определения должно выполняться равенство ( 2) / 4. = - RN (34) Так как количество частотных интервалов должно быть целым, то выбор размерности обрабатываемых векторов (строк или столбцов изображений) должен это обеспечивать. Пусть теперь наряду с изображением F рассматривается изображение такой же размерности { }, = ik Dd 1,.., ; = iN 1,.., . = kM Тогда квадрат евклидовой нормы их разности = - CFD (35) можно в соответствии с (4) представить в субполосной форме: 2 1 || ( ). = = -= - ∑∑ sr r FD EFD 12 RR s1 || (36) Очевидно, что каждое из слагаемых в последнем соотношении можно считать локальной субполосной мерой близости, которая в соответствии с (5) отражает близость двумерных отрезков трансформант Фурье сравниваемых изображений в заданных подобластях пространственных частот. При этом в вычислительном соотношении (8) необходимо F заменить на . C Для слагаемых в правой части (36) нетрудно показать справедливость следующего соотношения: ( ) ( ) ( ) 2 ( , ), -= + - sr sr sr sr EFD EF ED WFD (37) где последнее слагаемое естественно именовать субполосной корреляцией двух изображений: *2 (, ) (, ) (,) (,) /4 . ω∈ = = ΦΦ π ∫∫ sr sr FD uvV W FD u v u v dudv (38) Сопоставление правой части (38) с определением (5) дает равенства ( , ) ( ); ( , ) ( ). = = sr sr sr sr WFF EF WDD ED (39) После подстановки в (38) определений трансформант Фурье вида (1) и очевидных преобразований можно получить соотношения для вычислений непосредственно в области оригиналов: ( , ) ( ). = T sr s r W F D sp A FB D (40) Таким образом, субполосная корреляция является вещественным числом. Можно также определить нормированный субполосный коэффициент корреляции: 1/2 (, ) (, )/( () ()), ρ= sr sr sr sr FD W FD E FE D (41) который вследствие (39) удовлетворяет неравенству | ( , )| 1 ρ≤ sr FD (42) и может использоваться в качестве меры сходства двумерных отрезков трансформант Фурье сравниваемых изображений в заданной подобласти пространственных частот. Важным направлением анализа изображений служит разделение их на аддитивные компоненты одинаковой размерности [5]: 12 , = + FF F (43) где 11 { }; = ik Ff 22 , { }, = ik Ff 1,.., ; = iN 1,.., . = kM Такие процедуры принято именовать фильтрацией. Часто для получения компонент используются частотные представления. Достаточно широко применяются следующие идеальные требования 1 (,) (,), (,) , Φ ≡Φ ∈ FF sr uv uv uv V (44) 1 (,) 0, (,) . Φ≡ ∉ F sr uv uv V (45) В настоящее время для фильтрации чаще всего используются либо фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры), либо прием обнуления некоторых коэффициентов дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и последующего обратного ДПФ [8-11]. В любом случае в точности выполнить требования (44), (45) невозможно. Поэтому целесообразно ввести некоторую меру погрешности их достижения. Естественной мерой представляется функционал следующего вида: 1 1 12 1 ( , ) ( ) || || ( ). sr sr sr PFF EFF F EF = -+ - (46) Заметим, что здесь в правой части первое слагаемое определяет точность выполнения тождеств (44), тогда как остальные два - меру отклонения от тождества (45) (согласно равенству Парсеваля). С учетом равенства (37) и представлений (8) и (40) правую часть (46) можно преобразовать: 1 1 11 (, ) ( 2 ). = + +- + T sr s r TT sr P F F spA FB F sp A FB F F F (47) Очевидно, что искомая компонента изображения должна минимизировать этот функционал. Ясно, что при этом должен минимизироваться след матрицы (часть выражения (47) в скобках). Это соответствует минимизации ее евклидовой нормы. Таким образом, минимум функционала погрешностей выполнения (44), (45) достигается на матрице (изображении): 1 , = sr F A FB (48) подстановка которой в (47) с учетом симметрии субполосных матриц дает соотношение для вычисления достигаемого значения: 1 1 min ( , ) ( ), . × = - -∈ T sr s r T NM s rr s P F F sp A FB F AFBBF A F R (49) Отсюда нетрудно получить и иное представление: 1 1 min ( , ) ( ( )), . × = - -∈ T sr s r T NM rs P F F sp A FB F BF A F R (50) Легко увидеть, что второй сомножитель здесь равен второму слагаемому в (43), который получается в результате минимизации функционала (46). Заключение Субполосный подход к анализу изображений позволяет получить характеристики, которые можно использовать в качестве признаков для их сравнения. Получены соотношения, определяющие важнейшие понятия субполосного анализа, и, в частности, разработана процедура оптимальной фильтрации. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 20-07-00241.

About the authors

A. N Zalivin

Belgorod University of Cooperation of Economics and Law

Email: belov@bsu.edu.ru
Belgorod, Russian Federation

A. A Chernomorets

Belgorod State National Research University

Email: belov@bsu.edu.ru
Belgorod, Russian Federation

E. G Zhilyakov

Belgorod State National Research University

Email: belov@bsu.edu.ru
Belgorod, Russian Federation

S. P Belov

Belgorod University of Cooperation of Economics and Law

Email: belov@bsu.edu.ru
Belgorod, Russian Federation

References

Supplementary files