EVALUATION OF THE QUANTITY OF ENSEMBLES OF NEW MULTIPHASE ORTHOGONAL SIGNALS

Full Text

Существующие и перспективные беспроводные телекоммуникационные технологии предполагают использование широкополосных каналов связи со сложными шумоподобными сигналами (СШПС) [1]. Использование данного подхода обеспечивает ряд преимуществ [2-3]: - высокую помехозащищенность систем связи; - эффективную борьбу с искажениями сигналов в канале связи; - одновременную работу многих абонентов в общей полосе частот за счет кодового разделения каналов (КРК); - совместимость передачи информации с измерением параметров движения объектов; - более эффективное использование спектра частот на ограниченной территории. Применение полученных ансамблей многофазных ортогональных сигналов (АМФОС) возможно не только в радиоканале, но и в оптическом канале. Например, в [8] разработано устройство, позволяющее передавать М-арный символ с псевдослучайной перестройкой интенсивности свечения фотоэлемента. Следовательно, при его использовании возможна передача полученных многофазных сигналов, интенсивность свечения которых будет определяться значением фазы. В случае использования достаточно представительного количества ансамблей СШПС требуемого объема, вполне возможно реализовать их стохастическое применение, которое позволит повысить структурную скрытность данных сигналов [4]. Одной из разновидностей СШПС являются ансамбли ортогональных сигналов (АОС), которые могут быть получены различными способами, в том числе путем моделирования собственными векторами (СВ) эрмитовых матриц (ЭМ) [5]. Для стохастического применения АОС в телекоммуникационных системах, помимо спектральных и корреляционных свойств, большое значение имеет количество используемых ансамблей. Объемы АОС, представленные последовательностями Уолша и псевдослучайными хаотическими последовательностями (ПСХП) оценивались в [3, 5-7], а количество получаемых вариантов АМФОС, описываемых СВ бидиагональной ЭМ не оценивалось. Задача статьи - разработка подхода к оценке количества получаемых вариантов АМФОС, описываемых СВ бидиагональной ЭМ. Целью статьи является определение верхней границы количества АМФОС, описываемых СВ бидиагональной ЭМ. Расчет числа АМФОС Расчет числа АМФОС осуществим на примере ЭМ четвертого порядка (N = 4) для простоты заключений. Также для расчета уникальных АМФОС, получаемых в результате моделирования СВ ЭМ, необходимо: - определить диапазон значений фаз коэффициентов ЭМ, при котором возможно получение уникальных АМФОС; - определить значения СВ бидиагональной ЭМ, описываемой выражением (1), позволяющие получить для каждого значения фазы коэффициентов ЭМ (360°) ансамбль из N сигналов. В ЭМ вида (1) диагональные коэффициенты являются комплексными числами, то есть содержат модули и аргументы . Модули диагональных коэффициентов второй диагонали ЭМ симметричны относительно ее главной диагонали, то есть . Определенные значения амплитуд и фаз коэффициентов ЭМ позволяют получить модель ортогональных сигналов, описываемую СВ ЭМ вида: (2) Определим общее количество АМФОС, получаемых при изменении фазы одного коэффициента ЭМ, с учетом вышеописанных условий по формуле: где K - общее число АМФОС при изменении фазы одного коэффициента ЭМ; N - порядок матрицы; D - количество используемых фаз диагонального коэффициента ЭМ. С учетом (3) получим (4): В таблице 1 представлены АМФОС, полученные при значении фазы j = 15° коэффициента А1,2. Для коэффициентов А2,3 и А3,4 j = 00. Таблица 1. АМФОС, полученные при значении фазы j = 15°0 коэффициента А1,2 № Значения сигналов S1 - S4 S1 0,01× ei×88 -0,06× ×ei× (-106) 0,68× ei×0 -0,67 ×ei×179 S2 0,68× ×ei×0 -0,67× ei×179 -0,01× ×ei× (-92) 0,06× ei×74 S3 0,01× ×ei×88 0,06× ei×74 0,68× ei×0 0,67× ei×(-1) S4 0,68× ×ei×0 0,67× ei×(-1) -0,01× ×ei× (-92) -0,06× ×ei× (-106) На рис. 1-2 представлены АМФОС, визуализированные по данным из таблицы 1. Фазы единичных элементов сигналов имеют различные значения, что показано разной штриховкой (см. рис. 3). : Однако следует учитывать, что возможно одновременное изменение фаз оставшихся коэффициентов ЭМ (А2,3, А3,4). Для определения количества комбинаций таких изменений воспользуемся известной формулой сочетаний [9] (5) где С - число сочетаний; n - количество коэффициентов в ЭМ; k - количество коэффициентов ЭМ, фазы которых подвергаются изменению в экспериментах. Рис. 1. Модели сигналов S1-S2 при значении фазы j = 150 коэффициента А1,2 Рис. 2. Модели сигналов S3-S4 при значении фазы j = 15° j = 150 коэффициента А1,2 Для определения количества комбинаций таких изменений воспользуемся известной формулой сочетаний [9] (5) где С - число сочетаний; n - число коэффициентов в ЭМ; k - число коэффициентов ЭМ, фазы которых подвергаются изменению в экспериментах. Фазы единичных элементов сигналов имеют различные значения, что показано разной штриховкой: Рис. 3. Штриховка фаз единичных элементов Однако следует учитывать, что возможно одновременное изменение фаз оставшихся коэффициентов ЭМ (А2,3, А3,4). Для определения количества комбинаций таких изменений воспользуемся известной формулой сочетаний [9] (5) где С - число сочетаний; n - количество коэффициентов в ЭМ; k - количество коэффициентов ЭМ, фазы которых подвергаются изменению в экспериментах. В нашем случае n = 3, ; а k принимает значения k = 1 и k= 2. Из вышеописанного следует, что количество комбинаций изменения фаз коэффициентов ЭМ, дающих АМФОС в комплексном виде: (6) Тогда формула (3) примет вид: (7) где Т - количество возможных комбинаций изменения фаз коэффициентов ЭМ. Итак, оОбщее число количество АМФОС равно: (8) При данном подходе возможно получение сигналов , которые по сути являются инверсными по отношению к . Предположим, что они тождественны друг другу, поскольку имеют одинаковую структуру, а разница заключается в начальной фазе. Таким образом, чтобы рассчитать количество уникальных АМФОС необходимо: - определить количество фаз, при которых появляются ансамбли инверсных многофазных ортогональных сигналов (АИМФОС) - один сигнал является противоположным по отношению к другому; - рассчитать общее количество число АИМФОС. Для решения первой задачи используем формулы: (9) (10) где θ - значение фазы в градусах, при которой появляется АИМФОС; p - соответствует 180°0 на тригонометрической окружности; φ - значение фазы коэффициента А1,2 ЭМ в градусах. Итак, из (9), )-(10), следует, что количество фаз, при которых появляются АИМФОС: равно С = 270. Расчет общего количества АИМФОС выполним по формуле: (11) где W - общее количество АИМФОС;. C - количество фаз, при которых появляются АИМФОС. Результаты расчета: (12) Общее Кколичество уникальных АМФОС и общее количество АИМФОС рассчитано, следовательно, можно выполнить расчет количества уникальных АМФОС по формуле (13) где Q - общее количество уникальных АМФОС. Результаты расчета показывают, что количество уникальных АМФОС для ЭМ четвертого порядка равно: (14) Аналогичноым образом можно рассчитать количество число уникальных АМФОС для ЭМ более высоких порядков. В таблице 2 представлены результаты расчетов для матриц порядков N = 8, 16, 32, 64. Таблица 2. Результаты расчетов количества числа уникальных АМФОС Порядок матрицы, N Количество Число уникальных АМФОС, Q 4 2,16×103 8 9,072×104 16 4,718×107 32 6,185×1012 64 2,125×1022 Сравним полученную оценку АМФОС с оценкой объема ансамбля L псевдослучайных хаотических последовательностей - 3 (ПСХП-3) из [7]. Как известно из [7], при N = 64 объем ансамбля сигналов ПСХП-3 не превышает 118 последовательностей, а для предложенных АМФОС-2.078×1022. Расчет «выигрыша» предложенного способа генерации уникальных АМФОС выполним по формуле: (15) где ∆ - преимущество в количестве уникальных АМФОС; Q - общее количество число уникальных АМФОС, предложенных авторами; L - число- общее количество уникальных ПСХП-3. Подставив вышеуказанные значения, получим: (16) На рисунке 4 изображена графическая зависимость количества уникальных АМФОС (Q) и ПСХП-3 (L) от порядка ЭМ (N). Рис. 4. Графическая зЗависимость количества числа уникальных АМФОС (Q) и ПСХП-3 (L) от порядка ЭМ (N) На рис. 4 изображена зависимость числа уникальных АМФОС Q и ПСХП-3 L от порядка ЭМ N. Таким образом, сравнительный анализ полученных результатов и представленных в [7] результатов показал, что общее количество число уникальных АМФОС (Q) при одинаковом значении N в предложенном способе генерации АМФОС больше, чем в [7], что свидетельствует о возможности их стохастического применения. Заключение Получены формулы для оценки количества вариантов АМФОС, описываемых СВ бидиагональных ЭМ разных порядков. Определена графическая зависимость количества уникальных АМФОС от порядка ЭМ. Поскольку количество сигналов, которое можно получить, используя данный подход достаточно большое, то можно сделать вывод о возможности их стохастического использования для передачи информации в радио- и оптическом каналах с целью повышения защищенности информации в них. В результате сравнительного анализа количества АМФОС и ПСХП-3 выявлен «выигрыш» предложенных сигналов (∆ = ).

About the authors

Alexander Pavlovich Zhuk

North-Caucasus Federal University

Email: alekszhuk@mail.ru

Nadezhda Viktovna Belan

North-Caucasus Federal University

Email: nadya_belan@mail.ru

Ivan Valentinovich Karasev

North-Caucasus Federal University

Email: tuskymon@yandex.ru

Lyudmila Alekseevna Luganskaya

North-Caucasus Federal University

Email: lyuda_st87@mail.ru

References

Supplementary files