INTERVAL METHOD FOR DELAY EVALUATION IN ONE-BOX QUEUE SYSTEMS WITH GENERAL TYPE DEMAND STREAMS

Full Text

Введение Основным соотношением, определяющим размер очередей в системах массового обслуживания, является формула Хинчина-Поллячека, устанавливающая зависимость между средним размером очереди и коэффициентом загрузки системы [1-2] известного вида Указанная формула справедлива только для пуассоновских потоков при постоянном интервале времени обслуживания. Имеется много попыток преобразования указанной формулы [7-11], однако они оперируют в основном с пуассоновскими потоками. Поэтому возникала необходимость нахождения зависимостей, пригодных для определения размеров очередей в системах, с потоками общего вида. Такая зависимость была получена, в результате применения интервального метода, основанного на определении чисел заявок, поступающих в течение интервалов обслуживания [3-6]: (1) где - среднее значение длины очереди, - дисперсия числа заявок на -ом интервале обслуживания а - ковариация чисел заявок на -ом интервале и длины очереди на предыдущем интервале. Соотношение (1) обобщает формулу Хинчина-Поллячека, оно справедливо для любых стационарных и ординарных потоков заявок, при постоянном времени обслуживания и было получено, в результате анализа уравнения баланса (2) Формула (2) устанавливает зависимость между размером очереди числами заявок на текущем интервале времени, и размером очереди на предыдущем интервале. Преобразование обобщенной формулы Выразим в (1) значения через согласно (2): После преобразований, получим Суммируя данное выражение с (1), получим окончательно (3) Соотношение (3) также обобщает формулу Хинчина-Поллячека, и также справедливо для любых стационарных и ординарных потоков заявок, при постоянном времени обслуживания Временные задержки в очередях Рассмотрим временные задержки в очередях, на основе анализа уравнения баланса интервалов времени между соседними заявками: (4) где - i-ый интервал времени между двумя соседними заявками; и - промежутки времени ожидания в очереди (задержки) для заявок на -ом и () -ом интервалах между соседними заявками, соответственно. Как и прежде, здесь - детерминированная переменная величина, характеризующая интервал времени обработки одной заявки. Указанная величина может изменяться в пределах, соответствующих изменению значений коэффициента загрузки от нуля до единицы, то есть , где - математическое ожидание интервалов между соседними заявками; - средняя интенсивность потока заявок; - коэффициент загрузки. Анализ удобнее проводить в безразмерных относительных временных интервалах. Введем обозначения: , (5) где и - целые числа интервалов укладывающиеся в и соответственно, и принимающие значения Уравнение баланса в указанных безразмерных единицах может быть представлено в следующем виде: ; Перепишем уравнения как ; (6) Введем случайную величину ; (7) Тогда уравнение баланса (6) может быть представлено в виде (8) Обратим внимание на то, что неравенство выполняется лишь при условии, что каждое из слагаемых равны нулю, поскольку оба слагаемых не отрицательные целые числа. Это означает, что а также, Одновременно Возведем в квадрат обе части уравнения (8) и произведем усреднение: Из основного уравнения баланса (7) непосредственно следует, что Учитывая, что для стационарного процесса а также, что а получим: или (9) Соотношение (9) обобщает формулу Хинчина-Поллячека для среднего значения времени ожидания в очередях систем массового обслуживания с потоками заявок общего вида. Преобразование формулы временных задержек Обратим внимание на то, что соотношение (9) по форме аналогично (1), однако оно определяет среднее значение времени ожидания в очереди в зависимости от интервалов между соседними заявками. Коэффициент загрузки как и следовало ожидать, обратно пропорционален среднему значению интервалов между заявками. Определим из выражения (8): Ковариация После подстановки в (9) получим: (10) Суммирование (9) и (10) дает Учитывая, что после преобразования получим (11) Введем обозначения ; Очевидно, что С учетом этого соотношение (12) примет вид (12) Время ожидания и интервалы между заявками здесь выражены в относительных единицах, по отношению к среднему значению интервала между соседними заявками Инвариантность корреляционных связей Полученный результат позволяет сделать весьма важный дополнительный вывод. В соответствии с теоремой Литтла [1]: Приравняв (3) и (12), получим фундаментальное соотношение (13) которое устанавливает равенство по модулю значений ковариаций при различных методах определения средней длины очереди в одноприборных СМО, с потоками заявок общего вида. Знак «минус» в правой части возникает здесь потому, что с увеличением интервала между заявками размеры очередей уменьшаются. Можно сказать, что числители в (3) и (12) характеризуют динамическую составляющую мощностей потоков, которая не зависит от способа ее определения. На рис. 1 представлены результаты моделирования (13) для реального видеотрафика. Левая часть равенства соответствует кривой «для интенсивностей», правая соответствует кривой «для интервалов между заявками». Незначительные различия между ними возникают в результате погрешностей моделирования. Рис. 1. Результаты моделирования равенства (13) для реального видеотрафика Заключение В то время как приведенное в [3-6] соотношение (3) обобщает формулу Хинчина-Поллячека для определения среднего размера очереди в СМО с потоками заявок общего вида, полученные в настоящей работе соотношения (10)-(12) обобщают указанную формулу для определения среднего значения времени ожидания в очередях. В отличие от (3), где анализируются интенсивности заявок, поступающих в течение интервала времени обслуживания, основными анализируемыми параметрами в рассматриваемых соотношениях являются временные интервалы между соседними заявками.

About the authors

Boris Yakovlevich Likhttsinder

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: lixt@psati.ru

References

Supplementary files