Определение порогового решения для канала с релеевскими замираниями при зондировании спектра когнитивного радио энергетическим детектором

Полный текст

Введение

Рост запросов на беспроводные услуги за последние несколько лет иллюстрирует огромный и постоянно растущий спрос бизнес-сообщества, населения и государства. С ростом коммуникационных приложений спектр становится все более перегруженным. Существующая система назначает разные полосы частот различным пользователям или поставщикам услуг, а для работы в этих полосах необходимо наличие лицензий. Таким образом, даже если спектр может быть распределен конкретным пользователям, это не обязательно гарантирует, что он используется наиболее эффективно в любое время. Оказывается, что значительная часть радиочастотного спектра может использоваться неэффективно. Это и послужило причиной того, что нелегитимные пользователи могли использовать лицензированные полосы, предполагая, что это не вызовет никаких помех. Когнитивное радио рассматривается как новый подход, который может справиться со спектральными ограничениями. Этот подход предназначен для определения факта использования конкретного сегмента радиочастотного спектра в настоящее время и быстрого перехода к временно неиспользуемому спектру, без вмешательства в передачи других пользователей.

Описание системы зондирования спектра

Зондирование спектра (ЗС) – это ключевая процедура в технологии когнитивного радио с динамическим доступом вторичных пользователей (ВП) к полосе частот, предназначенной для работы лицензированных первичных пользователей (ПП). Зондирование спектра позволяет обнаруживать полосы частот, свободные от сигналов, работающих ПП [1]. Сигнал для ЗС может быть записан как:

$y_i\left(n\right)=\left\{\begin{array}{l}w\left(n\right),при\to H_0\\ h_{i}s\left(n\right)+w\left(n\right),при\to H_1\end{array}\right.$, (1)

где $y_i\left(n\right)$ – сигнал, принимаемый i-ым ВП на интервале зондирования; $0\le n\le N$;
$w\left(n\right)$ – сигнал помехи типа белый гауссов шум (БГШ); $h_i$ – коэффициент передачи по радиоканалу от ПП к i -му ВП; $s\left(n\right)$ – сигнал, передаваемый ПП; $H_0$ – состояние радиоканала в отсутствии сигнала $s\left(n\right)$; $H_1$ – состояние радиоканала при наличии сигнала $s\left(n\right)$.

Задача ЗС состоит в следующем: по сигналу $y_i\left(n\right)$ на интервале длительностью N обнаружить наличие сигнала $s\left(n\right)$. Таким образом, задача ЗС является двухальтернативной задачей статистической теории проверки гипотез [1]. Решение в пользу одной из двух гипотез выносится по правилу:

$Y_i>\lambda$ решение $H_1$,

$Y_i<\lambda$ решение $H_0$, (2)

где $\lambda$ – значение порога решения; $Y_i$ – функционал, обладающий свойствами достаточной статистики, т.е. содержащий в сжатом виде всю информацию, которая имелась в сигнале $y_i\left(n\right)$ об истинности гипотез $H_0$ и $H_1$ [2]. В случае энергетического детектора (ЭД):

$Y_i=\sum _0^N{\left|y_i\left(n\right)\right|}^2$. (3)

В ряде работ рассматривался критерий оптимизации порога решения в форме суммарного значения вероятности ошибочного решения $P_e$:

$P_e=P_m+P_{fa}=P(Y_i<\lambda /H_1)+P(Y_i>\lambda /H_0)\text{}$, (4)

где $P_m=1-P_d$ – вероятность ошибки вида, «пропуск цели», когда фиксируется, как истинная гипотеза $H_0$, при работающем ПП;

$P_d=P(Y_i>\lambda /H_1)$ – вероятность обнаружения, работающего ПП;

$P_{fa}$ – вероятность ошибки вида «ложная тревога», когда фиксируется, как истинная гипотеза $H_1$, при отсутствующем сигнале ПП.

В работe [2] получены аналитические выражения ${\lambda }_0$ – оптимального значения порога, которое минимизирует (4) по условию $\frac{\partial P_e}{\partial \lambda }=0$ в канале с $h_i=const$, т.е. в канале только с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ). Тогда ${\lambda }_0$ в таком случае – функция трех аргументов N, ${\sigma }_{\omega }^2$ – дисперсии АБГШ и соответственно значение $\gamma$ отношения сигнал/шум (SNR) равняется:

$\gamma ={\left|h_i\right|}^2\times \frac{{\sigma }_S^2}{{\sigma }_{\omega }^2}={\left|h_i\right|}^2\times {\gamma }_T$, (5)

где ${\sigma }_S^2$ – мощность отсчета сигнала $s\left(n\right)$,
${\sigma }_{\omega }^2$ – мощность шумового отсчета, ${\gamma }_T$ – отношение сигнал/шум на передающей стороне радиоканала.

${\lambda }_0=\frac{N{{\sigma }_{\omega }}^2}{2}\left(1\pm \sqrt{1+2\gamma (1+\frac{(1+2\gamma )In(1+2\gamma )}{N{\gamma }^2})}\right)$, (6)

где In – натуральный логарифм.

Определение порогового решения для канала с Релеевскими замираниями

Рассматривая каналы с замираниями, требуется в (4) переходить к $\overline{P_m}$ – средней величине вероятности «пропуск цели», являющейся математическим ожиданием $P_m$, полученным усреднением по распределению случайной величины $\gamma$. Для рассматриваемых в работе Релеевских замираний, $\gamma$ имеет экспоненциальное распределение [1; 2]:

$f\left(\gamma \right)=\frac{1}{\gamma }{e}^{\gamma /\overline{\gamma }}$, (7)

где $\overline{\gamma }$ – среднее значение SNR.

Точное выражение для ${\lambda }_{Op}$ – значение оптимального порога для усредненного значения ${\overline{P}}_e={\overline{P}}_m+P_{fa}$ (формула 9[2]), получить в компактном виде, пригодном для анализа не удается. Альтернативный путь заключается в усреднении значений ${\lambda }_0$ из (6) по распределению $\gamma$ из (7).

Для упрощения интегрирования и получения более компактного результата учтем следующие обстоятельства:

1) случай низких значений SNR, $\gamma <1$ проанализирован в [2], где показано, что ${\overline{P}}_e$ имеет минимум около значения ${\lambda }_{Op}\approx N{\sigma }_{\omega }^2$;

2) вклад слагаемого $\frac{(1+2\gamma )In(1+2\gamma )}{N{\gamma }^2}$ в значения порога (5) для $\gamma \ge 1$ и N=10 не превышает 6,6% от точных значений ${\lambda }_0$, при N=50 менее 2,5%, с ростом SNR эта погрешность уменьшается.

В результате приближенное значение нормализованного искомого параметра ${\lambda }_{On}=\frac{{\lambda }_{Op}}{N{\sigma }_{\omega }^2}$ вычисляется следующим образом:

$\begin{array}{l}{\lambda }_{On}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}(\sqrt{1+2\gamma \overline{\gamma })}\frac{1}{\gamma }{e}^{\gamma /\overline{\gamma }}d\gamma =\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{\pi }erfc\right(\frac{1}{\sqrt{a}})+\frac{2e^{-\frac{1}{a}}}{\sqrt{a}})e^{\frac{1}{a}}}{2}\end{array}$, (8)

где $a=\overline{\gamma }$. На рисунке 1 представлен график значений по параметру ${\lambda }_{Op}$, рассчитанный по формуле (8).

Результаты

Можно убедиться, что результирующая функция (8) в диапазоне значений аргумента $1\le \overline{\gamma }<\infty$ является непрерывной, монотонно-возрастающей выпуклой функцией, и, следовательно, в первом приближении она может быть аппроксимирована $y\left(\overline{\gamma }\right)$ линейно-ломанной функцией для двух интервалов $\overline{\gamma }$:

$y\left(\overline{\gamma }\right)=k_1\overline{\gamma }+b_1$ для $1\le \overline{\gamma }<11$;   

$y\left(\overline{\gamma }\right)=k_2\overline{\gamma }+b_2$ для $11\le \overline{\gamma }<\infty$. (9)

По логике определения порогового значения, естественно выбрать в (9) критерий наилучшего равномерного приближения [5]: параметры аппроксимирующей функции определяются таким образом, чтобы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине отклонение функции от непрерывной аппроксимирующей функции было бы минимально возможным. При этом наибольшее по абсолютной величине отклонение аппроксимирующего полинома (9) (в данном случае степени n=1) от функции (8) будет минимально возможным, если в интервале приближения – это отклонение не менее чем n+2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные значения +/-L. В нашем случае, учитывая выпуклый характер функции (8) имеем -L,+L,-L.

Процедуру определения параметров линейно-ломанной аппроксимации (9) рассмотрим подробно на примере интервала $1\le$$\overline{\gamma }$$\le 11$.

Шаг 1. Определим значения коэффициентов в уравнении хорды, пересекающей кривую (8) в точках $\overline{\gamma }$=1,11.

Шаг 2. Определим Δ – максимальное отклонение значений функции (8) от значений вышеопределенной хорды на интервале $1\le$$\overline{\gamma }$$\le 11$.

Шаг 3. Сдвинем по оси ординат линейную функцию (9), добавив к свободному члену b₁ слагаемое Δ/2.

Полученная линейная функция $y\left(\overline{\gamma }\right)=k_1\overline{\gamma }+b_1+\Delta /2$, как можно видеть, является наилучшей линейной аппроксимацией функции (8).

 

Рисунок 1. График значений по параметру λOn

 

В соответствии с исходными данными, приведенными на рисунке 1, были определены значения коэффициентов в уравнениях (9):

$k_1=\mathrm{0,089}$, $b_1=\mathrm{1,147}$, $k_2=\mathrm{0,0542}$ , $b_2=\mathrm{1,49}$.

Соответствующий график приведен на рисунке 1а.

 

Рисунок 1а. График линейно-ломаной аппроксимации y(γ )

 

Для вычисления усредненного значения вероятности ошибки ${\overline{P}}_e$ в канале с Релеевскими замираниями воспользуемся формулами (1) и (6) (последняя получена из общей формулы замираний Накагами) из [2], а так же свойствами Q-функции:

$Q\left(x\right)=1-Q(-x)$ и $Q\left(x\right)=\frac{1}{2}erfc\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$;

$\begin{array}{l}{\overline{P}}_e=1-\exp \left[\frac{1}{2N{\overline{\gamma }}^2}+\frac{1}{\lambda }(1-{\lambda }_{On})\right]\times \\ \times Q(\sqrt{N}\ast (1-{\lambda }_{On})+\frac{1}{N\overline{\gamma }})\end{array}$. (10)

Для расчета ${\overline{P}}_e$ берем ${\lambda }_{On}$, рассчитанный по формуле (8), сначала N=10, потом считаем при N=50. Полученные графические иллюстрации ${\overline{P}}_e$ приведены ниже. Из которых можно видеть, что с ростом N, уменьшается вероятность ошибки, так как при больших значениях N увеличивается точность расчетов.

 

Рисунок 2. График значения вероятности ошибки в канале с Релеевскими замираниями при N=10

 

Рисунок 3. График значения вероятности ошибки в канале с Релеевскими замираниями при N=50

 

Порог, используемый в алгоритмах обнаружения на основе детектора энергии, зависит от величины мощности шума. Следовательно, небольшая ошибка оценки мощности шума приводит к значительным потерям производительности системы зондирования [6]. В [7] рассмотрена методология определения оценочного значения, чтобы выбрать порог, при котором будет достигнута постоянная частота ложных срабатываний. Итерационный алгоритм был предложен для поиска порога решения в [8]. Пороговое значение определяется итеративно для достижения указанного уровня достоверности, то есть вероятности ложных срабатываний. Прямые методы, основанные на измерениях энергии, обсуждались в [9] для неизвестных сценариев мощности сигнала. Данный метод адаптивно оценивает уровень шума. Следовательно, он подходит для практических случаев, когда дисперсия шума неизвестна.

Поэтому при получении формулы (7) авторы полагали величину мощности шума ${\sigma }_{\omega }^2$ постоянной детерминированной величиной. В реальных условиях, по целому ряду причин [4; 5] мощность шума может быть определена с некоторой степенью неопределенности. При анализе характеристик энергетического детектора [4; 5] применяют модель ограниченной неопределенности: точное или номинальное значение ${\sigma }_{\omega }^2$ лежит в ограниченном интервале:

$\frac{{\sigma }_{\omega }^2}{\rho }\le {\sigma }_{\omega }^2\le \rho {\sigma }_{\omega }^2$, (11)

где $\rho$ – параметр, характеризующий степень неопределенности ${\sigma }_{\omega }^2$.

Распределение случайной величины ${\sigma }_{\omega }^2$ подчиняется равномерному закону распределения [5]. Таким образом, значения $\overline{\gamma }$ в (10) должны рассматриваться в интервале $\frac{\overline{\gamma }}{\rho }\le \overline{\gamma }\le \rho \overline{\gamma }$. Ниже приведены графики значений вероятности ошибки в канале с Релеевскими замираниями на рисунке 4:

• ${\overline{P}}_e$ при N=10; $\overline{\gamma }$ = 1…12;
• ${\overline{P}}_{e}1$ при N=10; $\overline{\gamma }$ = $\frac{\overline{\gamma }}{\rho }$, где $\rho$ = 1,5;
• ${\overline{P}}_{e}2$ при N=10; $\overline{\gamma }$ = $\rho \overline{\gamma }$, где $\rho$ = 1,5.

На рисунке 5 приведены графики значений вероятности ошибки в канале с Релеевскими замираниями:

• ${\overline{P}}_e$ при N=50; $\overline{\gamma }$= 1…12;
• ${\overline{P}}_{e}1$ при N=50; $\overline{\gamma }$ = $\frac{\overline{\gamma }}{\rho }$, где $\rho$ = 1,5;
• ${\overline{P}}_{e}2$ при N=50; $\overline{\gamma }$ = $\rho \overline{\gamma }$, где $\rho$ = 1,5.

По графикам на рисунке 4 видно, что более низкая вероятность ошибки будет ${\overline{P}}_{e}2$ при $\overline{\gamma }=\rho \overline{\gamma }$ и ${\overline{P}}_e$ при $\overline{\gamma }$ = 1…12. Значения у них почти одинаковые, чего нельзя сказать про ${\overline{P}}_{e}1$. Здесь значение вероятности ошибки больше. Проанализировав следующий график, на рисунке 5, и сравнив его с первым графиком на рисунке 4, можно отметить, что при одинаковых ${\lambda }_{{}^{Op}}$, $\rho$, вероятность ошибки меньше при большем значении N. Это связано с тем, что чем больше мы берем точек, тем более достоверным и точным получается результат. Также при большем значении $\rho$ и в интервале от $\overline{\gamma }\le \rho \overline{\gamma }$ вероятностная характеристика лучше.

 

Рисунок 4. Графики значений вероятности ошибки в канале с Релеевскими замираниями, при N=10

 

Рисунок 5. Графики значений вероятности ошибки в канале с Релеевскими замираниями: при N=50

 

Заключение

Зондирование спектра на основе детектора, требующее минимум априорных сведений о ПП, демонстрирует весьма устойчивое качество характеристик обнаружения в широком диапазоне значений SNR. Изменения в этом показателе могут быть обусловлены как ограниченной точностью мониторинга свойств канала и мощности шума, так и объективной природой нестационарности радиоокружения [10]. Полученные в данной работе результаты позволяют прогнозировать диапазон ожидаемых характеристик обнаружения и граничные их значения в сценариях «наихудшего случая».

Об авторах

Сергей Николаевич Елисеев

Московский технический университет связи и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: fgupnrsnr@yandex.ru

д.т.н., профессор, профессор кафедры теории электрических цепей

Россия, Москва

Наталья Вениаминовна Степанова

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: puhleniw@mail.ru

старший преподаватель кафедры радиоэлектронных систем

Россия, Самара

Список литературы

Дополнительные файлы