Research of System with Shifted Hyper-Erlang and Exponential Input Distributions

Full Text

Настоящая статья посвящена анализу системы массового обслуживания) СМО HE2/M/1 со сдвинутыми вправо от нулевой точки гиперэрланговским и экспоненциальным входными распределениями. Система HE2/M/1 с обычными распределениями рассмотрена в [1], где для нее представлены спектральное разложение решения интегрального уравнения Линдли и расчетная формула для главной характеристики СМО - среднего времени ожидания требований в очереди. В отличие от обычной системы HE2/M/1, систему со сдвинутыми распределениями обозначим 21.HE /M /--Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли (ИУЛ) в теории систем массового обслуживания G/G/1 занимает важное место. Одна из форм интегрального уравнения Линдли выглядит так [2; 3]: ( )d,0,0,0.yW y u Cu yWyy-∞-≥=<∫Для записи ИУЛ, а также при рассмотрении метода спектрального разложения решения ИУЛ будем использовать стандартные обозначе-ния [2]: через ()As∗ и ()Bs∗ обозначим преобразования Лапласа функций плотности распределения интервалов между поступлениями и времени обслуживания соответственно. Суть решения ИУЛ методом спектрального разложения состоит в нахождении для выражения ( )( )* *1A sB s-⋅ - представления в виде произведения двух множителей, которое давало бы рациональную функцию от s. Следовательно, для нахождения закона распределения времени ожи-дания необходимо следующее спектральное разложение: ( )( )* *1A sB s- ⋅ -=( )( )/,ss+-ψψ где ( )s+ψ и ( )s-ψ - некоторые дробно-рациональные функции от s, удовлетворяющие специальным условиям согласно [2], которые здесь опускаем. Постановка задачиВ статье ставитсязадача вывода формулы для среднего времени ожидания для рассматриваемой системы со сдвинутыми распределениями HE2/M/1, а также подтверждения адекватности построенной математической модели путем чис-ленного моделирования в пакете Mathcad. Вы-Mathcad. Вы-. Вы-вод решения для среднего времени ожидания проводится методом спектрального разложения решения ИУЛ, как это показано в работах [4-7]. Близкие аппроксимативные подходы использова-ны в [8-11].Решение для системы //--2HE M 1В системе 21HE /M /-- интервалы времени между поступлениями требований заданы функ-цией плотности10202( )2102( )220() 4 ( )4(1 ) ( ),ttttat p t t ep tte-λ --λ -=λ-++ -λ-(1)преобразование Лапласа которой имеет вид ( )()0221212*221.22tsAsp pess-= λλ=+- +λ+λ  (2)Время обслуживания распределено с плотно-стью0(- )(),ttbt e-μ= μ(3)а ее преобразование Лапласа вычисляется как: ( )0*.tsBses-μ=+μ(4)В выражениях (1)-(4) 00t> представляет со-бой параметр сдвига распределений. Тогда спектральное разложение решения ИУЛ для системы 21HE /M /--( )( )* *1A sB s- ⋅ -=( )( )/ss+-=ψψпримет вид( )( )()00221212221221.tstssppsssees+--ψ λλ=+-× ψλ-λ- μ×-μ+ (5)В разложении (5) экспоненты с противопо-ложными знаками обнуляются, тогда получаем спектральное разложение:( )( )()221212221221.sppssss+-ψ λλ=+-× ψλ-λ- μ×-μ+ (6)Таким образом, спектральное разложение ре-шения ИУЛ для системы 21HE /M /-- полностью совпадает с таким же разложением для обыч-ной системы HE2/M/1, поэтому мы в дальней-M/1, поэтому мы в дальней-/1, поэтому мы в дальнейшем изложении можем воспользоваться резуль-татами [1].Окончательно спектральное разложение ре-шения ИУЛ для системы HE2/M/1 имеет вид [1]( )( )() ()12342212( )( )( )( ).2 2 ()ssssss ssssss ss+-ψ-+ - - -=ψλ -λ - μ+ (7)Исследование многочлена в числителе разложения (7) и определение его корней являются основным моментом метода спектрального раз-ложения решения ИУЛ. Многочлен четвертой степени в числителе разложения (6)-(7)4323 2 10scscscsc+ + ++(8)с коэффициентами0 112 121 216 [()],ca= μ+ λλ λλ -μλ +λ221112 212 1 2 24 ( 4) 16 (),ca= μ λ + λλ +λ - λλ λ +λ - μ2221 2121 24() 164 (),c= λ +λ + λλ - μ λ +λ3124()c=μ- λ +λв случае стабильной системы имеет один действительный отрицательный корень 1s- и три положительных корня 2,s3,s4s (либо вместо последних один действительный положительный и два комплексно сопряженных с положительной вещественной частью). Эти коэффициенты сформированы с помощью символьных операций Mathcad и выражаются через параметры распре- и выражаются через параметры распре-делений (1) и (3), которые предстоит еще опре-делить.Рациональные функции ( )s+ψ и ( )s-ψ будем строить по правилам метода спектрального раз-ложения: ()s+ψ=1( ) / ( ),ss ss+ μ+ так как нули многочлена (6) 0,s=1ss= - и полюс s= -μ ле-жат в области ) ,( 0Res≤ а функция() ()221223422(),( )( )( )sssss ssss-λ- λ-ψ=----так как ее нули и полюсы лежат в области ( ),Re sD> как того требует метод спектрального разложения.Далее по методике спектрального разложения найдем константу K:( )()()1100limlim,ssssssKss+→→ψ+===+μ μгде 1s - абсолютное значение отрицательного корня 1.s- Постоянная K определяет вероятность того, что поступающее в систему требование за-стает ее свободной. Для нахождения преобразования Лапласа функции плотности времени ожидания построим функцию ( )( )11().()K ssss sss+++μΦ= =ψμ+Отсюда преобразование Лапласа функции плотности времени ожидания ( )*()Ws s s+= ⋅Φбудет ( )()()*11.ssWsss+μ=μ+(9)Для вычисления среднего времени ожидания найдем производную от функции ( )*W s со зна-ком минус в точке 0:s=( )*1011.sdW sdss=-=-μОкончательно среднее время ожидания для системы 21--HE /M / :111//-=μ.Ws(10)Выражение (9) для преобразования Лапласа функции плотности времени ожидания позволяет определить также моменты высших порядков времени ожидания, а именно: вторая производная от преобразования (9) в точке 0s= дает второй начальный момент времени ожидания, что позволяет определить дисперсию времени ожидания. В стандарте [12] джиттер (дрожание задержки)в телекоммуникациях определен как колебание времени ожидания вокруг его среднего значения. Тогда джиттер можно определить через дисперсию времени ожидания. При анализе трафика, чувствительного к задержкам, это будет важным подспорьем.Для использования формулы (10) при расчетах необходимо знать числовые характеристики распределения (1) и (3). Через числовые характеристики будем определять неизвестные параметры распределений (1) и (3) методом моментов. Для этого воспользуемся основным свойством преобразований Лапласа (2) и (4) воспроизведения моментов и запишем первые два первых начальных момента для распределения (1):()01222002212 1 21,(1 ) 3 3(1 )2[].22pptp pp pttλλ-τ= ++λλ--τ= +++ +λλ λ λ (11)Отсюда определим квадрат коэффициента ва-риации интервалов поступления:2221 21212211 2 0122()(12)().2[()]pppcptλλ - λ λ -λ + - λ -λ=λ- λ-λ + λλ (12)Для распределения (3) эти же моменты равны 10.t-μτ=μ +(13)Второй начальный момент времени обслужи-вания выглядит как2200222.ttμτ= + +μμ(14)Отсюда коэффициент вариации времени обслуживания будет равен10(1 ) .ct-μ= +μ(15)Рассматривая равенства (11)-(15) как форму записи метода моментов, найдем неизвестные параметры распределений (1) и (3) 1,λ2,λ,p,μ0.t Теперь, исходя из вида первого уравне-ния (11), положим 102 / (),ptλλ= τ-202(1 ) / ()ptλλ= - τ- (16)и потребуем выполнения условия (12). Подставив (16) в (12), решаем полученное уравнение четвертой степени относительно параметра p с учетом условия 01p<< и выбираем нужное решение:202 2201 13(),2 4 8[()]tptcλλλλτ-=+-τ- + τа затем определяем из (16) параметры 1λ и 2λ. Определим параметры распределения (3) из уравнений моментов (13)-(15). Из (13) получим значение 10t-μ=τ -μ и, подставив его в (15), найдем параметр распределения (3) 1/ .cμμ Таблица. Результаты экспериментов для СМО 21HE /M /-- и НE2/M/1 Параметр сдвига будет связан с параметрами обслуживания условием 0(1 ).tcμμ=τ-(17)Выражение (17) будет определять диапазон изменения параметра сдвига 0(0, 1).t∈Тогда алгоритм расчета среднего времени ожидания в очереди для системы 21HE /M /-- сво-дится к следующим этапам. 1. Задавая значения ,λτ,μτ,cλ,cμ0t в качестве входных параметров системы, определяем методом моментов все неизвестные параметры распределений (1) и (3).2. Находим нужный корень 1s- уравнения (8) и используем расчетную формулу (10). Аналогичную аппроксимацию законов распределений с использованием начальных моментов можно увидеть в [7; 8].Теперь рассмотрим влияние параметра сдвига на коэффициенты вариаций распределений. Для обычного распределения HE2, как следует из выражения (12), при00=:t2221 2121221 122()(12)().2[()]pppcpλλ - λ λ -λ + - λ -λ=λ- λ-λСравнивая последнее выражение с (12), убеждаемся, что параметр сдвига во времени 00t>уменьшает коэффициент вариации интервалов поступлений в 012121[ (1 )]tppλλ+λ - +λ раз. Аналогично для экспоненциального закона времени обслуживания параметр сдвига уменьшает коэффициент вариации времени обслуживания в 01t+μ раз. Учитывая квадратичную зависимость среднего времени ожидания от коэффициентов вариаций интервалов поступлений и времени обслуживания, убеждаемся в том, что введение па-раметра сдвига в законы распределения (1) и (3) уменьшает среднее время ожидания в очереди в СМО. Результаты численного моделированияВ таблице приведены данные расчетов среднего времени ожидания для систем 21HE /M /-- и HE2/M/1 для случаев малой, средней и высокой нагрузки 0,1;ρ= 0,5; 0,9.Коэффициент загрузки ρ определяется отношением средних интервалов /.μλρ=τ τ Результаты, приведенные в таблице, получены для нормированного времени обслуживания 1.μτ= Данные таблицы подтверждают сделанные выше предположения о среднем времени ожидания в системе с запаздыванием. Кроме того, с уменьшением параметра сдвига t0 среднее время ожидания в системе с запаздыванием стремится к значению этого времени в обычной системе, что дополнительно подтверждает адекватность полученных результатов. Результаты расчетов хорошо согласуются с данными [13] в той области изменения параметров, где применимы данные рассматриваемой системы.ЗаключениеВ работе получено спектральное разложение решения ИУЛ для системы 21,HE /M /-- а через нее выведена расчетная формула для среднего времени ожидания требований в очереди для этой системы. Эта формула дополняет известную незавершенную формулу теории массового обслуживания для среднего времени ожидания для систем типа G/G/1.Результаты вычислительных экспериментов подтверждают, что новая система 21HE /M /--обеспечивает намного меньшее время ожида-ния в очереди, чем обычная система HE2/M/1, за счет введения в законы распределения параметра сдвига 0(0, 1).t∈Известно, что среднее время ожидания требований в очереди является главной характеристикой СМО, так как остальные характеристики: средняя задержка, средняя длина очереди, среднее количество требований в системе и др. - определяются через среднее время ожидания. Адекватность полученных результатов обеспечена корректным использованием классического метода спектрального разложения, а проведенные вычислительные эксперименты только подтверждают данный факт.

About the authors

V. N Tarasov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: tarasov-vn@psuti.ru
Samara, Russian Federation

References

Supplementary files