Two-Component Steanographic System Based on Ratio of Linear Functions of Two Signals Using an Additive Type of Embedded Signal Communication

Full Text

В двухкомпонентной стеганографической системе контейнер содержит два сигнала, в формировании которых участвуют маскирующий сигнал и два информативных сигнала. Последние функционально связаны с входным маскируемым сигналом [1-10]. Задача извлечения скрытых сигналов сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными. Форма уравнений определяется выбором алгоритма смешивания сигналов. Алгоритмы могут быть линейные и нелинейные. Алгоритмы восстановления информативного сигнала инвариантны к маскирующему сигналу, что существенно упрощает задачу вскрытия контейнера. Кроме этого, функции восстановления информативного сигнала содержат разрывы, в области которых на несколько порядков возрастает чувствительность функции к ошибкам задания коэффициентов функции. В статье рассматривается нелинейный алгоритм формирования двухкомпонентного контейнера, использующий отношение линейных функций смешиваемых сигналов, и приводится анализ чувствительности функции восстановления к вариации коэффициентов с целью выбора ключевого (секретного) коэффициента. Математическая модель системы Отношение линейных функций двух сигналов имеет вычисляется как: 1 11 2 22 . a bu y a bu + = + (1) Данное выражение преобразуется к виду 1 2 1 . au y b cu + = + (2) Полученное выражение представляет собой общую форму маскировки сигнала. В роли маскирующего сигнала может выступать как сигнал u1, так и сигнал u2. В данной статье рассмотрим вариант, когда в роли маскирующего сигнала выступает сигнал u2. В этом случае две компоненты передаваемого сигнала будут иметь вид: 11 1 11 22 2 22 1 , 1 , au y bc au y bc +  =  +ξ   +  =  +ξ  (3) где a, b и c - коэффициенты преобразования; ξ - сигнал контейнера (маскирующий сигнал); u1 и u2 - встраиваемые сигналы, сформированные из входного информативного сигнала u: 1 21 , . uu u Ku =   = -  (4) Решим систему (3), выразив из второго уравнения сигнал : ξ 22 2 2 22 1 . au by cy +- ξ= (5) Подставим (5) в первое уравнение (3) и преобразуем к виду ( ) 12 21 2112 11 2 2 1 2 21 12 0. acyu acyu cy cy y y bc bc - -+ + + -= (6) Подставим в (6) второе выражение (4): ( ) 1 12 2 21 1 21 1 1 1 2 2 1 2 21 12 () 0. ùùùùù c y c y y y bc bc +- - -+ + - = (7) Решая уравнение (7), получим: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 21 12 12 2 21 1 1 . uu c y a K c y y y bc bc ac y acy = = +- - - = + (8) Выражение (8) позволяет восстановить скрыый сигнал. Исследование Получим выражения для чувствительности (8) к вариации коэффициентов. Для этого определим дифференциал u1 через приращения коэффицинтов. Число коэффициентов в (8) равно шести. Помимо этого, используется значение K. Выражение для абсолютной чувствительности алгоритма восстановления ищем в виде 1 11 2 2 11 22 11 22 . u aa a a bb b b c c c c KK SS S SSSS ∆= ∆+ ∆+ ∆+ + ∆+ ∆+ ∆+ ∆ (9) Получим необходимые производные для перехода к приращениям в выражении (9). Максимальная чувствительность стеганографической истемы достигается вблизи точки разрыва функций декодирования сигнала. Заметим, что y1 и y2 представляют собой дроби. Поэтому знаменаель (8) не позволяет определить точку разрыва функции. Подставляя значения y1 и y2 в выражение (8) и выделяя знаменатель выражения, получим условия попадания в область разрыва: 21 12 1 2 12 112 221 1 212 0, 0, 0. ïðè bc bc a a aaK abc a bc aa bc K -=   ++ =   ++ =σ   σ→  (10) Первое условие позволяет исключить влияние сигнала u1 на точку разрыва, второе условие дает возможность исключить влияние сигнала ξ на точку разрыва. При выполнении первого и второго условий (10) третье условие обращается в ноль. Одновременное выполнение первого, второго и третьего условий (10) невозможно. Так как σ стремится к нулю, приравняем второе условие к . σ В этом случае положение точки разрыва не зависит от сигнала u1, но продолжает зависеть от . ξ Перепишем (10) как 21 2 1 1 2 1 , , 0. 1 ïðè bc c b a a aK  =    σ-  = σ→  +  (11) Определим значение , ξ при котором знаменатель функции восстановления равен нулю: 1 1 . b c ξ=- (12) Найдем выражения коэффициентов чувствительности S в (9). Для этого используем производные по всем коэффициентам: ( ( ) ) ( ) 1 1 22 11 22 1 1 2 12 21 21 1 2 21 1 12 2 / /, a du S cy cy cy da y y b c b c a c Ky acy ac y ==- -+    + -+  + (13) ( ( ) ) ( ) 2 1 11 2 2 11 2 1 2 21 12 12 2 2 21 1 12 2 / /, a du S cy cy cy da y y b c b c a c Ky acy ac y == -+    + -+  + (14) 1 1 212 1 21 1 12 2 , b du c y y S db a c y a c y = = + (15) 2 1 112 2 21 1 12 2 , b du c y y S db a c y a c y = = - + (16) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 1 2 21 1 12 2 1 2 2 21 1 12 2 , c du S dc c y y a a aby ab y aaK acy ac y = = +- - + = + (17) ( ) ( ) 2 1 2 112 1 2 211 12 2 12 2 21 1 12 2 , c du S dc cy y a a aby ab y aaK acy ac y = = +- - + = - + (18) 1 21 1 21 1 12 2 . K du a c y S dK a c y a c y = = + (19) Зная коэффициенты преобразования (3), с помощью выражений (13)-(19) можно оценить чувствительность системы к вариации того или иного коэффициента и выбрать коэффициент, наиболее подходящий на роль ключевого коэффициента, который является секретным. Для наглядности определения, какой из коэффициентов наиболее эффективно использовать в качестве ключевого, определим характер искажения восстановленного полезного сигнала при внесении ошибки в тот или иной коэффициент. Для этого воспользуемся численным моделированием. Зададимся исходными значениями: 1 12 9 1 0, 3; 2; 1, 3; 0, 3; 1; 1 10 . a bb cK - = = = = = σ= ⋅ С помощью (11) найдем a2, c2: 1 2 1 21 2 1 0,231; 1 0,195. a a aK bc c b σ- = = - + = = Здесь важно отметить, что при формировании сигналов y1 и y2 используются дроби, которые, в свою очередь, также могут иметь точки разрыва. Приближение к точкам разрыва приводит к тому, что значение амплитуды компонент может стать недопустимо высоким. Заметим, если диапазон значений ξ не захватывает точку (12), знаменатель y1 не будет равен нулю. При этом, с учетом условий (10) и (11) знаменатель y2 также не будет равен нулю. На рисунке 1 приведены зависимости маскирующего сигнала и сигналов передаваемых компонент y1 и y2. Видно, что форма сигналов компонент сходна с формой маскирующего сигнала. При заданных параметрах системы коэффициенты корреляции компонент и полезного сигнала равны 0,38, что говорит об удовлетворительном сокрытии сигнала. При внесении в значения коэффициентов ошибки, равной 10 1 10 , - δ= ⋅ получены зависимости, приведенные далее. Заметим, что характер зависимостей при внесении ошибки в коэффициенты первой и второй компонент сходен. Поэтому на рисунках представлены только зависимости, полученные при внесении ошибки в коэффициенты первой компоненты. Рисунок 1. Диаграммы маскирующего сигнала и сигналов компонент контейнера Рисунок 2. Исходный и декодированный информационные сигналы при ошибке в коэффициенте a1 Рисунок 3. Исходный и декодированный информационные сигналы при ошибке в коэффициенте b1 Рисунок 4. Исходный и декодированный информационные сигналы при ошибке в коэффициенте c1 Рисунок 5. Зависимость спектра восстановленного сигнала от ошибки, внесенной в коэффициент c1 На рисунке 2 приведены графики исходного и восстановленного сигналов при внесении ошибки в коэффициент a1. Видно, что в этом случае, помимо постоянной составляющей, имеет место искажение сигнала, однако отсутствует маскировка случайным сигналом. Следовательно, использование в качестве ключа коэффициентов a в данном алгоритме восстановления допустимо, но малоэффективно. На рисунке 3 показаны графики исходного и восстановленного сигналов при внесении ошибки в коэффициент b1. Видно, что в этом случае, помимо изменения амплитуды, имеет место искажение сигнала, однако отсутствует маскировка случайным сигналом. Следовательно, использование в качестве ключа коэффициентов a в данном алгоритме восстановления допустимо, но малоэффективно. На рисунке 4 построены графики исходного и восстановленного сигналов при внесении погрешности в коэффициент c1. Видно, что в этом случае информативный сигнал маскируется случайным сигналом, но при данных значениях ключа амплитуда случайного сигнала достаточно мала и слабо изменяется при изменении вносимой ошибки. Таким образом, использование коэффициента c в качестве ключа допустимо, но также малоэффективно. При внесении ошибки в коэффициент K при декодировании появляется постоянная составляющая, которая легко исключается из сигнала. Следовательно, использование в качестве ключа коэффициента K в данном алгоритме восстановления исключается. Рассмотрим влияние изменения ошибки значения коэффициента c на спектр восстановленного сигнала. На рисунке 5 приведена поверхность, показывающая изменение спектра восстановленного сигнала от ошибки 10 1 10- δ= ⋅ в значении коэффициента c1 от изменения . δ Видно, что при нулевой ошибке спектр состоит из одной гармоники. При увеличении ошибки гармоника информативного сигнала скрывается в спектре случайного сигнала. Отметим, что при 9 10- σ= и ошибке значения 10 1 8 10 c - = ⋅ гармоника информативного сигнала полностью скрывается в спектре маскирующего сигнала. Выводы 1. Использование алгоритма маскировки сигнала, описываемого выражениями (3), является эффективным. 2. Использование коэффициентов c1 и c2 в качестве ключа обеспечивает наибольшую устойчивость системы. 3. Для обеспечения сокрытия полезного сигнала необходимо задавать достаточно малые значения коэффициента a1, что может привести к потере данных при округлении.

About the authors

M. V Shakurskiy

Samara State Technical University

Email: m.shakurskiy@gmail.com
Samara, Russian Federation

References

Supplementary files