Simulation of vehicle tires based on the finite element method

Full Text

Введение Моделирование колесных машин является одним из основных направлений развития и практического применения программных систем, основанных на моделировании динамики систем тел. Широкое распространение в данной области получили зарубежные программные комплексы MSC.ADAMS/Car [1] и SimPack/Automotive [2], а также российские разработки ЭЙЛЕР [3], ФРУНД [4] и разрабатываемый автором работы Универсальный механизм/UM Automotive (ПК УМ) [5]. Библиография по данному направлению насчитывает большое число публикаций [6-10]. Особенность моделирования динамики колесных машин, по сравнению с другими транспортными средствами, связана с необходимостью рассчитывать силы взаимодействия шины с дорогой. Наиболее распространенные модели шин являются либо безынерционными, либо имеют небольшое число степеней свободы [7-9, 11]. Одна из наиболее сложных моделей шины FTire с большим числом степеней свободы, применяемая для моделирования динамики колесных машин, разработана немецким ученым М. Гипсером [12]. Модель FTire представляет шину системой абсолютно твердых тел, распределенных по геометрической поверхности шины и связанных упруго-диссипативными силовыми элементами. Несмотря на большое число публикаций по теме взаимодействия шины с дорогой, развитие этого направления для внедорожных машин представляется актуальным как с точки зрения построения уточненных многомассовых моделей шины, учитывающих просадку грунтов и образования колеи, так и с целью повышения быстродействия расчетов в случае моделей шины с большим числом степеней свободы. Целью данной работы является разработка математической модели шины, которая позволит моделировать динамику движения колесных машин по грунту с осадкой. Методы и средства проведения исследований В рамках настоящей статьи рассмотрена методика анализа автомобильной шины методом конечных элементов при различных видах нагружения с целью идентификации параметров её упрощенных динамических моделей. Постановка задачи и конструкция шины Автомобильная шина имеет сложную конструкцию. На рис. 1 показана типичная шина грузового автомобиля. В основании шины лежит резинотканевый кордный слой, который охватывает всю шину и заворачивается вокруг бортовых колец. Для увеличения жесткости части шины, которая непосредственно контактирует с дорожным покрытием, сверху на каркас накладывается брекер, состоящий из нескольких слоёв корда. Внутренняя часть шины защищается от воздействия внешней среды специальными слоями (протектор и боковина), выполненными из резины. Рис. 1. Конструкция автомобильной шины: 1 - проектор; 2 - брекер; 3- боковина; 4 - каркас; 5 - бортовое кольцо № 1; 6 - бортовое кольцо № 2; 7 - наполнительный шнур № 1; 8 - наполнительный шнур № 2; 9 - усилительная бортовая лента; 10 - герметизирующий слой Очевидно, что создание модели шины, подробно учитывающей особенности её конструкции, для использования в расчетах динамики внедорожных колесных машин в настоящее время вряд ли возможно. Поэтому в расчетах динамики автомобилей как правило применяются упрощенные динамические модели. При этом возникает проблема идентификации параметров упрощенных динамических моделей шин. Для решения этой проблемы разработана методика создания уточнённой конечно-элементной модели шины в программном комплексе Femap with NX Nastran [13]. Данная методика апробирована при выполнении следующих расчетов: 1. Определение напряженно-деформированного состояния шины и пятна контакта шины с опорой при следующих вариантах нагрузок: 1.1. Внутреннее давление. 1.2. Внутреннее давление и вертикальная нагрузка. 2. Определение собственных частот и форм колебаний шины. Методика создания конечно-элементной модели шины Протектор, боковина и наполнительные шнуры шины изготовлены из резин с различными механическими свойствами. Резина - это гиперупругий материал, способный претерпевать большие деформации, а после снятия нагрузки возвращаться в исходное состояние. Части шины, изготовленные из резины, моделировались объёмными конечными элементами с гиперупругими свойствами. Для описания гиперупругих свойств материалов существуют различные модели: Нео-Гука (Neo-Hooken), Муни-Ривлина (Moony-Rivlin), Огдена (Ogden), Арруда - Бойса (Arruda-Boyce) и др. Целесообразно выбирать используемую в расчетах модель гиперупругого материала на основе экспериментальных исследований материалов шины. Некоторые рекомендации по идентификации параметров различных моделей гиперупругих материалов приведены в [14]. В связи с тем, что цель данной работы состоит не столько в исследовании напряженно-деформированного состояния определенной конструкции шины, а в разработке методики ее конечно-элементного моделирования, далее рассмотрим одну из наиболее распространённых моделей - модель Муни-Ривлина. Функционал упругой энергии (упругий потенциал) в этой модели имеет вид: , где , - первый и второй инварианты тензора деформаций, - детерминант градиента деформаций, и - константы, i, j, k = 0, 1, … Если сохранить только первые члены ряда, то получаем так называемую двухпараметрическую модель Муни-Ривлина: , где , - коэффициент Пуассона. Известно, что двухпарметричесая модель Муни-Ривлина хорошо описывает деформации растяжения в диапазоне 90 - 100%, но достаточно плохо - поведение материала при сжатии. Согласно [15] для описания гиперупругих свойств частей шины, изготовленных из резины, принято решение ограничиться использованием двухпараметрической модели Муни-Ривлина. Шина, представленная на рис. 1., имеет два бортовых кольца. Каждое бортовое кольцо состоит из нескольких стальных проволок круглого поперечного сечения. Вокруг проволок находится резина. Таким образом, материал бортового кольца представляет собой двухфазный композит (рис. 2) с матрицей - резиной и волокнами - стальными проволоками. Рис. 2. Двухфазный композит В [16] приведена методика расчета эффективных упругих постоянных композита, армированного непрерывными продольными волокнами. Согласно этой методике продольный модуль упругости композита EL и коэффициент Пуассона в плоскости, перпендикулярной плоскости изотропии, νLT определяется на основе на основе уравнения правила смесей: , где - эффективная упругая постоянная композита, и - упругие постоянные волокон и матрицы соответственно, а и - их относительные объёмные доли в композите. Для определения поперечных упругих постоянных применяются уравнения Халпина-Цая (Halpin-Tsai): , где , - эмпирическая константа. К сожалению, подобный подход нельзя применять при моделировании бортовых колец шины, так как в общепринятой методике матрица - это изотропный материал, который описывается упругими константами, а в бортовом кольце матрица - это гиперупругий материал, представление которого упругими константами не допускается. В методической документации к программе Nastran в таких ситуациях рекомендуют продольные упругие постоянные рассчитывать на основе уравнения смешения, а поперечные подбирать опытным путём, чтобы обеспечить работоспособность конечных элементов. На основе этих рекомендаций выполнено моделирование бортовых колец объёмными конечными элементами с ортотропными свойствами материала. Брекер - это часть шины, которая состоит из нескольких слоёв корда, расположенных под различными углами друг относительно друга, как показано на рис. 3. Он увеличивает сопротивление шины механическим повреждениям при наезде шины на неровности дороги. В конечно-элементной модели брекер моделировался многослойными конечными элементами Laminate. В программном комплексе NX Nastran эти конечные элементы подобны конечным элементам, которые используются для моделирования оболочек, за исключением того, что состоят из нескольких слоев (до 90). При этом имеется возможность независимого задания свойств материала каждого слоя. Использование конечных элементов Laminate при моделировании шины позволяет учесть толщину и угол поворота каждого слоя брекера. Рис. 3. Конструкция брекера Каркас шины моделировался балочными конечными элементами, работающими на растяжение, сжатие и изгиб. Частота проволок каркаса в конструкции шины намного больше густоты конечно-элементной модели в тангенциальном направлении. При этом проволоки каркаса работают независимо друг от друга. Поэтому для балочных конечных элементов вычислялись приведенные характеристики сечения, учитывающие количество проволок, которое приходится на один слой конечно-элементной модели в тангенциальном направлении. Созданная таким образом конечно-элементная модель шины показана на рис. 4. Эта модель учитывает наличие двух плоскостей симметрии шины и состоит из 27541 узла и 29909 конечных элементов. К внутренней поверхности шины приложено внутреннее давление. Для приложения вертикальной нагрузки использован специальный Rigid элемент, который создаёт жесткую связь между узлом в точке приложения нагрузки и узлами в области контакта шины и обода колеса. Опора, на которой расположена шина, моделировалась жёстким недеформируемым телом. При моделировании контактного взаимодействия шины с опорой коэффициент трения принят равным 0,6. F=7357,5 Н P=590 кПа µ=0,6 Рис.4. Конечно-элементная модель шины Апробация конечно-элементной модели шины Определение напряжённо-деформированного состояния шины выполнено с использованием метода Ньютона-Рафсона (Newton-Raphson). Нагрузки прикладывались к шине последовательно. Сначала выполнялся надув шины, а затем прикладывалась вертикальная нагрузка. Каждая нагрузка прикладывалось за 20 шагов, что позволило исследовать историю нагружения шины. На рис. 5 показано изменение деформированного состояния шины при надуве. Деформированное состояние на этом рисунке в масштабе соответствует полному перемещению в узлах конечно-элементной модели, а цветовая раскраска демонстрирует компоненту перемещения узлов модели по оси X. При внутреннем давлении 29,5 кПа, что соответствует 5% от максимального давления в этой шине, шина увеличивается по оси X на 7,04 мм, а по оси Y на 1,01 мм (рис. 5а). При давлении 295 кПа шина деформируется по оси X на 16,5 мм, а по оси Y на 2,41 мм (рис. 5б). При максимальном давлении шина деформируется по оси X на 21,1 мм, а по оси Y на 3,24 мм (рис. 5в). ΔX=7,04 мм ΔX=16,5 мм ΔX=21,1 мм ΔY=1,01 мм ΔY=2,41 мм ΔY=3,24 мм а) б) в) Рис. 5. Изменение деформированного состояния шины при надуве: а - внутреннее давление 29,5 кПа; б - внутреннее давление 295 кПа; в - внутреннее давление 590 кПа После надува к модели прикладывалась вертикальная нагрузка, равная 7357,5 Н. Величина этой силы учитывает то, что конечно-элементная модель представляет собой четвертую часть исследуемой шины. На рис. 6 показано деформированное состояние шины, учитывающее воздействие как внутреннего давления 590 кПа, так и вертикальной нагрузки. Так же, как и на предыдущем рисунке, деээформированное состояние в масштабе соответствует полному перемещению в узлах конечно-элементной модели, а цветовая раскраска демонстрирует компоненту перемещения узлов модели по оси X. В случае вертикальной нагрузки перемещения узлов шины по оси X не одинаковы в тангенциальном направлении. Они максимальны в области шины, которая расположена рядом с опорой, и минимальны в противоположной части шины. Максимальное перемещение узлов шины по оси X составляет 31,8 мм, что превышает в 1,5 раза аналогичное значение без учета вертикальной нагрузки. 19,2 мм 31,8 мм Рис. 6. Деформированное состояние шины под действием вертикальной нагрузки 120 мм 130 мм Рис. 7. Распределение давления в пятне контакта, Па При наличии вертикальной нагрузки появляется площадка контакта между шиной и опорой. На рис. 7 показано распределение давлений в пятне контакта. Площадь пятна контакта шины с опорой имеет эллипсообразную форму. Размер пятна контакта в направлении оси Z равен 130 мм, а в направлении оси X - 120 мм. При этом следует учитывать, что размер пятна контакта определен с точностью до размеров конечных элементов, используемых в области контакта шины и дороги. Размер конечных элементов расчетной схемы в близи площадки контакта составляет 8,57 мм по оси X и 26,09 мм по оси Z. Благодаря наличию рисунка протектора контакт осуществляется не по всей поверхности эллипса, а лишь под выступами проектора. Контактное давление по площади контакта распределяется неравномерно. Максимальное давление на пятне контакта достигает величины 1,1 МПа. Следует отметить, что на распределение давления по площадке контакта влияют прогиб шины и её конструкция. Особенно сильное влияние на давление в контакте оказывает кривизна протектора шины. С уменьшением кривизны протектора увеличивается давление по краям беговой дорожки, а в её середине уменьшается. Представляют интерес собственные частоты и формы колебаний шины, так как, во-первых, они характеризуют фундаментальные упруго-массовые свойства шины, а, во-вторых, они необходимы для создания упрощенной динамической конечно-элементной модели шины. На собственные частоты и формы колебаний шины большое влияние должно оказывать действующее на шину внутреннее давление, а также внешние нагрузки. Поэтому важно получить решение обобщенной проблемы собственных значений с учетом предварительного нагружения шины. То есть сначала выполняется решение нелинейной статической задачи, которая описывается системой уравнений метода конечных элементов: , где - линейная матрица жёсткости, - нелинейная матрица жёсткости, коэффициенты которой являются функциями компонент вектора перемещений, - дифференциальная матрица жёсткости, коэффициенты которой являются функциями напряжений, - вектор перемещений узлов, - вектор внешних сил. Затем решается обобщенная проблема собственных значений с матрицами жёсткости шины, измененными с учётом достигнутых величин перемещений и напряжений при решении нелинейной задачи методом Ньютона-Рафсона: , где - собственное значение, - вектор, определяющий собственную форму колебаний, - матрица масс, k - номер шага нагружения. Таблица Собственные частоты шины, Гц № Без нагрузки Давление Давление и вертикальная нагрузка 1 15,82 46,75 50,67 2 19,39 57,29 61,62 3 20,37 67,50 69,57 4 23,38 70,28 72,78 5 27,69 77,29 81,44 6 32,23 86,42 89,61 7 35,13 94,89 96,97 8 37,01 102,86 103,87 9 40,11 110,54 110,69 10 41,08 118,14 117,65 В таблице приведены первые 10 собственных частот конечно-элементной модели шины, вычисленные с учетом различных вариантов её предварительного нагружения. Во втором столбце таблицы находятся собственные частоты без учёта приложенных нагрузок. В третьем столбце приведены частоты, вычисленные с учётом внутреннего давления в шине 590 кПа, а в четвертом столбце показаны частоты, вычисленные после приложение к модели как внутреннего давления 590 кПа, так и вертикальной нагрузки 7357,5 Н. Большие различие в частотах нагруженной и ненагруженной шины подтверждают важность учёта внутреннего давления при расчете собственных частот шины. Именно эти частоты и формы колебаний целесообразно использовать при подготовке упрощенной динамической модели шины. Вертикальная нагрузка также оказывает некоторое влияние на собственные частоты и формы колебаний шины. Так, например, учёт вертикальной нагрузки по сравнению со случаем, когда учитывается только внутреннее давление в шине, приводит к увеличению первой собственной частоты на 8,39%. С увеличением номера частоты влияние вертикальной нагрузки на частоты снижается. Девятая и десятая собственные частоты, вычисленные с учетом вертикальной нагрузки, близки к частотам шины, рассчитанным только с учётом внутреннего давления в шине. Формы колебаний шины, вычисленные с учётом внутреннего давления, показаны на рис. 8. 4 - 70,28 Гц 5 - 77,29 Гц 6 - 86,42 Гц 3 - 67,50 Гц 2 - 57,29 Гц 1 - 46,75 Гц Рис. 8. Формы колебаний шины с учётом внутреннего давления Заключение На основе метода конечных элементов создана уточненная модель шины. Апробирована её работоспособность как при выполнении статических расчетов напряжённо-деформированного состояния шины от действия внешней нагрузки, так и при решении обобщенной проблемы собственных значений. Полученные в ходе расчётов величины деформаций шины и размеры площадки контакта шины с опорой имеют реалистичные значения. Подтверждено большое влияние на собственные частоты и формы колебаний шины внешней нагрузки. Это свидетельствуют о работоспособности рассмотренной методики конечно-элементного моделирования шины в программном комплексе Femap with NX Nastran. В дальнейшем возможно применение данной методики конечно-элементного моделирования шины для выполнения уточненных расчетов динамики колесных машин в программном комплексе «Универсальный механизм». Для этого требуется создание специальных моделей шины, предназначенных для исследования динамики колёсных машин. Необходимость создания таких моделей обусловлена тем, что сейчас в программном комплексе «Универсальный механизм» имеются только упрощённые модели взаимодействия колеса с дорогой. Их возможностей вполне хватает для исследования динамики подвески легковых автомобилей, но недостаточно для моделирования внедорожников. При создании динамических моделей шин работы могут вестись по двум направлениям. Во-первых, динамическая модель шины может быть создана на основе метода дискретных элементов [17]. Эта модель представляет собой некоторое количество абсолютно-твёрдых тел-частиц, связанных между собой и с диском колеса набором упруго-диссипативных элементов. Количество частиц или разбивка шины может быть задано на этапе подготовки модели в подсистеме шины. Внешний вид модели такого колеса в программном комплексе «Универсальный механизм» представлен на рис. 9 (дискретные элементы выделены жёлтым цветом, распределение сил в контакте с дорогой изображено красными стрелками). Рис. 9. Модель колеса в программном комплексе «Универсальный механизм» Каждая частица такой модели имеет три линейные степени свободы относительно диска колеса. Массы частиц рассчитываются в соответствии с массой всей шины и разбивкой её поверхности. Результаты расчётов уточнённой конечно-элементной модели шины (рис. 4) могут быть применены для идентификации массовых и упруго-диссипативных свойств разрабатываемой динамической модели шины. Во-вторых, может быть разработана модель шины на основе метода связанных подструктур (Крэйга-Бэмптона - Craig-Bampton) [18]. В такой динамической моделе упругие перемещения шины представляются в виде суммы n допустимых форм упругого тела: , где - вектор узловых степеней свободы шины, - допустимая форма, - модальная координата, определяющая упругие перемещения, соответствующие i-й форме. Матрица называется модальной матрицей. Эта матрица строится на основании статических и собственных форм, рассчитанных с использованием уточнённой конечно-элементной модели (рис. 4). Существенная сложность создания динамической модели шины с использованием метода Крэйга-Бэмптона состоит в том, что в программе NX Nastran шину необходимо моделировать в нелинейной постановке, а методика и соответствующее программное обеспечение для экспорта данных из NX Nastran в программный комплекс «Универсальный механизм» в настоящее время разработано только для линейных задач. Поэтому для создания такой динамической модели дополнительно предстоит выполнить большой объём работы по созданию обмена данными между двумя программными продуктами.

About the authors

S. B Tomashevskiy

Bryansk State Technical University

Email: tomashevskiy-sb@yandex.ru
PhD in Engineering Bryansk, Russia

References

Supplementary files