Method for calculating technical characteristics and parameters of movement of scale models of wheeled vehicles, ensuring the similarity of the processes during testing

Full Text

Введение

В современных условиях при проектировании новых моделей автомобилей возникает потребность проверки тех или иных решений по формированию технического облика не только методами имитационного моделирования, но и на реальных образцах. Натурные дорожные испытания автомобилей позволяют сохранять при эксперименте полное динамическое подобие, но их проведение возможно лишь после изготовления опытного образца автомобиля, требующего очень больших материальных затрат. Кроме того, при натурных испытаниях затруднено, а часто вообще невозможно исследование многочисленных вариантов исполнений различных элементов автомобиля [1, 2].

Одним из путей решения этой проблемы является создание моделей, представляющих собой уменьшенную копию проектируемого транспортного средства. Основные затруднения, которые встречает экспериментатор при испытании масштабной модели автомобиля, заключаются в необходимости точного воспроизведения условий, имеющих место при движении в реальных дорожных условиях. Достоверность полученных результатов в основном определяется соблюдением критериев подобия [3, 4]. Подобные методы нашли свое применение в кораблестроении и авиации.

Основой натурного моделирования является рассмотрение физически подобных явлений и перенос полученных в эксперименте с моделью результатов на натуру. Основанием для такого переноса является механическое подобие физических явлений, которое слагается из подобия расстояний и координат (геометрическое подобие), скоростей (кинематическое подобие), сил (динамическое подобие) и инерционных характеристик (механическое подобие). В настоящее время теория подобия применительно к автомобилям нашла свое практическое применение, пожалуй, только в аэродинамике [5]. Однако и в вопросах, связанных с исследованием проходимости, управляемости и устойчивости колесных транспортных средств проведение экспериментальных исследований на моделях также является актуальной задачей [6 – 13]. Целью данной работы является нахождение связи между параметрами реального автомобиля и масштабной модели для экспериментальной отработки алгоритмов работы системы динамической стабилизации колесного транспортного средства.

Вывод основных констант подобия

Для решения поставленной задачи рассмотрим константы подобия, представляющие собой отношение параметра для реального автомобиля (в дальнейшем изложении будем для таких параметров использовать индекс «о») и этого же параметра для масштабной модели (будем для таких параметров использовать индекс «м»).

$C_l=\frac{l_M}{l_0}$- константа подобия по линейным размерам l;

$C_{\upsilon }=\frac{{\upsilon }_M}{{\upsilon }_0}$- константа подобия по линейным скоростям v;

$C_F=\frac{F_M}{F_0}$- константа подобия по силам F;

$C_M=\frac{M_M}{M_0}$- константа подобия по массам;

$C_G=\frac{G_M}{G_0}$- константа подобия по силе веса G;

$C_{\omega }=\frac{{\omega }_M}{{\omega }_0}$- константа подобия по угловым скоростям ω;

$C_j=\frac{j_M}{j_0}$- константа подобия по линейным ускорениям j;

$C_{\epsilon }=\frac{{\epsilon }_M}{{\epsilon }_0}$- константа подобия по угловым ускорениям $\text{ε}$;

$C_{\Theta }=\frac{{\Theta }_M}{{\Theta }_0}$- константа подобия по углам поворота управляемых колес Θ;

$C_N=\frac{N_M}{N_0}$- константа подобия по мощности N;

$C_S=\frac{S_M}{S_0}$- константа подобия по площади S;

$C_{K_y}=\frac{K_{yM}}{K_{y0}}$- константа подобия по коэффициенту сопротивления K_y боковому уводу шины;

$C_{\delta }=\frac{{\delta }_M}{{\delta }_0}$- константа подобия по углу бокового увода δ шины;

$C_{с}=\frac{{с}_M}{{с}_0}$- константа подобия по коэффициенту жесткости c;

$C_{{к}_{д}}=\frac{{к}_{дM}}{{к}_{д0}}$- константа подобия по коэффициенту демпфирования ${к}_{д}$;

$C_q=\frac{q_M}{q_0}$- константа подобия по величине давления q; 

$C_{\varphi }=\frac{{\varphi }_M}{{\varphi }_0}$- константа подобия по коэффициенту сцепления φ шины с опорной поверхностью;

$C_f=\frac{f_M}{f_0}$- константа подобия по коэффициенту сопротивления качению f шины;

$C_R=\frac{R_M}{R_0}$- константа подобия по радиусу поворота R. 

Пусть центр масс С₀ реального объекта движется относительно неподвижной системы координат OXYZ и в момент времени T имеет координаты $X_{C_0}^{}$, $Y_{C_0}^{}$, $Z_{C_0}^{}$. Пусть теперь модель объекта движется относительно неподвижной системы координат oxyz и в момент времени t ее центр масс С_м имеет координаты $x_{C_M}^{}$, $y_{C_M}^{}$, $z_{C_M}^{}$. Между моментами времени T и t можно установить зависимость $t=f\left(T\right)$. Движение объекта и модели кинематически подобны, если зависимость между соответствующими моментами времени T и t имеет вид:

$t-t_0=\tau (T-T_0)$,

где  $\tau$– постоянная, $t_0,T_0$– начальные моменты времени.

Основой подобия траекторий движения центров масс объекта и модели является то, что два радиус вектора $O{C}_0$ и $o{c}_{м}$ в моменты времени T и t одинаково ориентированы относительно осей своих систем координат. Дуги траекторий точек $C_0$ и $c_{м}$ подобны, длины этих дуг L и l находятся в соотношении $C_l=\frac{l}{L}$. Соотношение для константы подобия $C_R$ по радиусу поворота R получим на примере уравнения окружности.

$X_{C_0}^2+Y_{C_0}^2=R_0^2$;

$x_{C_M}^2+y_{C_M}^2=R_M^2=C_l^2(X_{C_0}^2+Y_{C_0}^2)=C_l^2{R}_0^2$;

$C_R=\frac{R_M}{R_0}=C_l$.

Рассмотрим две кинематически подобные материальные системы и допустим, что массы объекта М_о и модели М_м находятся в постоянном отношении ${С}_M=\frac{M_M}{M_0}$.

Пусть $F_o$ и $F_{м}$ – силы, действующие на объект и модель соответственно в моменты времени T и t. Пусть $j_o$ и $j_{м}$ – ускорения центра масс объекта и модели. Тогда $F_0=M_0{j}_0$, $F_M=M_M{j}_M$. Для подобных систем $\frac{F_M}{F_0}=const$.

$\frac{F_M}{F_0}=\frac{M_M{j}_M}{M_0{j}_0}=\frac{C_M{C}_l}{{\tau }^2}=C_F$. (2)

Соотношение (2) получено И. Ньютоном и является фундаментальным для теории подобия в механике. Оно показывает, что три из четырех констант подобия $C_M$, $C_l$, $C_F$, $\tau$могут быть выбраны произвольно, но четвертое будет определяться зависимостью (2).

Допустим, мы имеем модель, имеющую константу подобия по линейным размерам $C_l^{}$. Тогда отношение площадей будет $C_l^2$, а отношение объемов будет $C_l^3$. Если предположить, что как в модели, так и в объекте плотность материалов одинакова, то отношение $C_M=C_l^3$, и таким же будет соотношение сил тяжести для объекта и модели. Следовательно, $C_F=C_l^3$. Отсюда из соотношения Ньютона (2)

$\tau =\sqrt{C_l}$. (3)

Так как $x=C_{l}X$, $y=C_{l}Y$, $z=C_{l}Z$, $dt=\tau dT$, то

${\upsilon }_M=\frac{C_l}{\tau }{\upsilon }_0$;    $j_M=\frac{C_l}{{\tau }^2}{j}_0$, (4)

где ${\upsilon }_M$, ${\upsilon }_0$ − линейные скорости центров масс модели и объекта соответственно.

С учетом (3) и (4) можно записать $C_{\upsilon }=\sqrt{{С}_l}$, $C_j=1$. Так как $\omega =\frac{\upsilon }{R}$, то

$C_{\omega }^{}=\frac{{\upsilon }_M}{{\upsilon }_0}\frac{R_0}{R_M}=\frac{\sqrt{C_l}}{C_l}=\frac{1}{\sqrt{C_l}}$; $C_{\epsilon }=C_{\omega }^{}\frac{1}{\tau }=\frac{1}{C_l}$.

Подобие по величине давления

$C_F=C_l^3=\frac{q_M{S}_M}{q_0{S}_0}=\frac{q_M}{q_0}{C}_l^2\to C_q=C_l$.

где $q_{м}, q_{о}$ – давление в модели и в объекте соответственно; $S_{м}, S_{о}$ – площади в модели и в объекте соответственно.

Подобие по коэффициенту жесткости ${С}_{С}=\frac{{С}_F}{{С}_l}=C_l^2,$ по коэффициенту демпфирования ${С}_{{к}_{Д}}=\frac{{С}_F}{{С}_{\upsilon }}=\frac{C_l^3}{\sqrt{C_l}}=C_l^{\mathrm{2,5}},$. Подобие по мощности ${С}_N={С}_F{С}_{\upsilon }=C_l^3\sqrt{C_l}=C_l^{\mathrm{3,5}}.$

Для двухосной колесной машины (рассмотрим велосипедную схему), совершающей плоскопараллельное движение, схема поворота представлена на рис. 1.

 

Рис. 1. Схема поворота двухосной колесной машины: О – центр поворота; R – радиус поворота; С – центр масс машины; В – колесная база; Θ – средний угол поворота управляемых колес

Fig. 1. Turning scheme of a two-axle wheeled vehicle: О – center of rotation; R – turning radiusа; С – center of mass of vehicle; В – wheelbase; Θ – average angle of rotation of the steered wheels

 

Средний угол поворота управляемых колес Θ=B/R. Подобие по углу поворота управляемых колес ${С}_{\Theta }=\frac{{С}_l}{{С}_l}=1$.

Для определения соотношения между сцепными свойствами шин объекта и модели запишем выражение для продольной реакции R_x в пятне контакта

$R_x=\phi P_N$,

где φ – коэффициент сцепления; P_N – нормальная реакция в пятне контакта шины с опорной поверхностью.

Тогда для констант подобия:

$C_F=C_{\varphi }{C}_F\to C_{\varphi }=1.$ (5)

Из выражения (5) следует, что зависимость коэффициента сцепления φ от величины скольжения s (так называемая диаграмма «φ−s») для объекта и модели должна быть полностью идентична на одной и той же опорной поверхности.

Аналогично для силы сопротивления качению P_f можно записать:

$P_f=f{P}_N$,

где f – коэффициент сопротивления качению.

Тогда константа подобия С_f = 1.

Запишем выражение для поперечной реакции R_у в пятне контакта $R_y=K_y\delta ,$

где K_y – коэффициент сопротивления боковому уводу шины; δ – угол бокового увода.

Тогда для констант подобия:

$C_F=C_{K_y}{C}_{\delta }\to C_F=C_{K_y}.$

Разработанный метод нахождения констант подобия позволяет определить не только массо-габаритные параметры модели, но и режимы ее движения при испытаниях, обеспечивающие подобие протекающих в модели и объекте физических процессов, что позволяет перенести полученные в эксперименте с моделью результаты на реальный объект.

Применение констант подобия в математической модели

Для проверки работоспособности полученных констант подобия следует провести виртуальные испытания полномасштабной модели и масштабной копии. В процессе моделирования движения возможно определить максимально возможную скорость движения по дуге заданного радиуса. Для данного моделирования необходимо задать исходные данные для полномасштабной модели и вычислить, посредством масштабных коэффициентов, параметры масштабной модели. За основу был взят автомобиль, представленный на рис. 2.

         

Рис. 2. Изображение полномасштабной модели

Fig. 2. Full-scale model image

 

В таблице 1 представлены краткие технические характеристики полномасштабной модели автомобиля и масштабной копии с учетом констант подобия. Константу подобия по линейным размерам  примем равной =0,108.

 

Таблица 1

Краткие технические характеристики полномасштабной модели автомобиля и масштабной копии

Table 1. Brief technical characteristics of a full-scale vehicle model and a scale copy

Параметр	Полномасштабная модель	Масштабная модель
Масса, кг	3000	3,78
База, м	2,380	0,257
Колея, м	1,442	0,155
Скорость движения	$v_{о}$	$\mathrm{0,328}{v}_{о}$
Ускорение	$j_{о}$	$j_{о}$
Угловая скорость	${\text{ω}}_0$	$\mathrm{3,042}{\omega }_0$
Угловое ускорение	${\text{ε}}_0$	$\mathrm{9,259}{\text{ε}}_0$
Средний угол поворота управляемых колес	${\Theta }_0$	${\Theta }_0$
Радиус поворота, м	33	3,56
Жесткость упругих элементов подвески	${с}_0$	${с}_0$0,011
Коэффициент демпфирования подвески	${к}_{д0}$	$\mathrm{0,00125}{к}_{д0}$
Момент инерции Ix, $кг·{м}^2$	3000	0,044
Момент инерции Iy, $кг·{м}^2$	7625	0,111
Момент инерции Iz, $кг·{м}^2$	10000	0,146
Ширина коридора поворота, м	6	0,64

 

Результат моделирования движения

Проверка работоспособности предложенной методики формирования технических характеристик эквивалентных масштабных моделей для полномасштабных автомобилей проводилась методами имитационного моделирования. Особенности математической модели движения приведены в работах [14 – 20]. В процессе моделирования движения задавалась начальная поступательная скорость. После преодоления дистанции в 55 метров для полномасштабной модели и 12 метров для масштабной модели автомобили достигали точки начала выполнения маневра. Красной линии соответствует траектория движения центра масс автомобилей. Скорости подбирались таким образом, чтобы траектории движения совпали (с учетом соблюдения масштабных зависимостей) при условии возникновения заноса. На рис. 3 изображено движение модели полномасштабного автомобиля при входе в поворот на скорости . На рисунке 4 изображено движение модели масштабной копии автомобиля при входе в поворот на скорости . Для наглядности масштаба дуги визуальный размер автомобиля в анимации не изменен.

 

Рис. 3. Движение полноразмерного автомобиля при входе в поворот на скорости

Fig. 3. The movement of a full-size vehicle when entering a turn at a speed of

 

Рис. 4. Движение масштабной модели автомобиля при входе в поворот на скорости

Fig. 4. The movement of a scale model of a vehicle when entering a turn at a speed of

 

Из рис. 3 и 4 видно, что траектории движения полноразмерной модели и ее масштабной копии совпадают и касаются границ дуги в двух точках.  При этом автомобиль движется в заносе. С учетом константы подобия по линейной скорости, равной 0,328, ожидаемая скорость масштабной модели будет составлять 20,95 , при скорости движения полноразмерной модели в . Отсюда следует, что ожидаемая скорость не совпала со скоростью масштабной модели на 0,5%. Таким образом, можно утверждать, что масштабная теория работоспособна, а зависимости констант подобия определены верно.

Выводы

1. На основе теории подобия предложен метод расчета технических характеристик и параметров движения масштабных моделей для реальных полномасштабных колесных машин при обеспечении подобия протекающих процессов для масштабных моделей и для реальных машин.
2. Получены основные зависимости для масштабных коэффициентов для силовых, кинематических и размерных факторов.
3. Методами имитационного моделирования движения масштабной модели и полномасштабной колесной машины подтверждено подобие протекающих в них процессов.

About the authors

M. M. Zhileykin

Bauman Moscow State Technical University

Author for correspondence.
Email: jileykin_m@mail.ru

DSc in Engineering

Russian Federation, Moscow

M. M. Zhurkin

Bauman Moscow State Technical University

Email: mimizhur@gmail.com
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files