Method for calculating the characteristics of a linear type peristaltic pump with incomplete compression of the working member

Full Text

Введение Перистальтический насос относится к объемным гидромашинам и состоит из упругого рабочего органа и одного или нескольких выжимных элементов. В качестве упругого рабочего органа может применяться мембрана или гибкая трубка, для изготовления которой применяют такие материалы, как силикон, неопрен, биопрен, марпрен, поливинилхлорид, витон, полиуретан и др. Применяемые выжимные элементы отличаются большим разнообразием: это могут быть толкатели, приводимые в движение кривошипно-шатунным механизмом, ролики, башмаки, пьезоэлектрические кристаллы, гидропривод и т.д. Среди насосов промышленного назначения наибольшее распространение получили конструкции насосов с трубкой, расположенной по кругу и с роликами или башмаками в качестве выжимных элементов. Конструкции с роликами могут работать с давлением до 1,2 МПа, и они экономичнее конструкций с башмаками, так как сопровождаются меньшим тепловыделением и потому требуют меньше смазки, но насосы с башмаками могут работать с давлением до 1,6 МПа [1], поэтому их все еще производят. Диаметр трубки таких насосов обычно составляет от 10 до 125 мм. Подача таких насосов может достигать до 80 м3/ч. Благодаря таким преимуществам, как герметичность, простота конструкции, возможность перекачки жидкостей с большим количеством твердых включений перистальтические насосы нашли применение во многих областях. Их применяют в пищевой, химической, нефтяной и горнодобывающей промышленностях, для перекачки сточных вод, красящих веществ и др. Кроме крупногабаритных насосов, рассмотренных выше, существуют также миниатюрные перистальтические насосы, в которых диаметр трубки может быть от 0,15 до 10 мм, рабочее давление до 0,2 МПа, а создаваемая подача 0,3 - 2000 мкл/мин [2]. Такие насосы применяют в медицине для транспортировки биологических жидкостей и дозировки лекарственных препаратов. Также их применяют в струйных принтерах, в настольных биореакторах и другом лабораторном оборудовании. Одно из перспективных направлений применения таких насосов - биопринтеры для печати моделей на основе клеток, сохраняющих свою жизнеспособность, где в настоящее время применяют шприцевые дозаторы, похожие по принципу действия на миниатюрные поршневые насосы. В таких областях стерильность и точность гораздо важнее энергоэффективности, поэтому конструкция перистальтического насоса с линейно расположенной трубкой и несколькими сжимающими ее в поперечном направлении выжимными элементами здесь будет предпочтительнее, чем насос с U-образно расположенной трубкой и роликами. В то время как насосы с трубкой, расположенной по кругу, и роликами хорошо изучены и для них создан ряд методик расчета (например, работы [3-5]), насосам линейного типа посвящено меньшее количество работ. В них, как правило, приводится результаты экспериментальных исследований разработанной конструкции насоса [6, 7]. Данная работа является продолжением исследований, проведенных в работах [8] и [9]. В работе [8] представлена методика аналитического расчета подачи перистальтического насоса линейного типа c полным сжатием трубки и сравнение результатов с данными эксперимента. Численное моделирование, проведенное в работе [9], показало наличие колебательных процессов и возможность возникновения кавитации вследствие понижения давления, которые при аналитическом расчете учтены не были. Целью данной работы является доработка предложенной в работе [8] методики для расчета характеристики насоса в случае неполного сжатия трубки и проведения серии численных экспериментов для установления ограничений применения данной методики. Расчет характеристики насоса квазистационарным методом Для получения характеристики перистальтического насоса определим сначала, как изменяется средняя скорость жидкости в выходном его сечении. Выжимные элементы сжимают трубку по очереди в соответствии с алгоритмом, показанным на рис. 1. Рис. 1. Порядок срабатывания выжимных элементов перистальтического насоса Рис. 2. Расчетная схема работы перистальтического насоса во время сжатия трубки первым выжимным элементом На рис. 2 показана расчетная схема, характеризующая работу перистальтического насоса в момент срабатывания первого выжимного элемента. Участок длиной l5 на схеме выделен штриховкой, так как он не является частью насоса и добавлен для имитации нагрузки. При исследовании расчет проводился несколько раз с разными значениями l5, чтобы получить достаточно точек для построения характеристики насоса. Рассмотрим сжатие трубки насоса первым выжимным элементом. При этом жидкость будет вытесняться не только по направлению к выходному сечению, но также и к входному сечению. Сумма объемов жидкости, перетекающих через входное и выходное сечения трубки насоса в единицу времени, будет равна объему, который вытесняет выжимной элемент за то же время: , (1) где dSh - изменение площади поперечного сечения в области сжатия за интервал времени dt, м2; a - длина выжимного элемента, м; vвх и vвых - мгновенные значения средних скоростей во входном и выходном сечениях, которые являются функциями от времени, т.е. vвых = vвых(t) и vвх = vвх(t), м/с; Sвх и Sвых - площади входного и выходного сечений, м2. В области сжатия будет создаваться некоторое давление pсж и площадь поперечного сечения Sh, меняющаяся со временем. Обратим внимание, что в общем случае поперечное сечение трубки в области сжатия не является круглым в том числе и тогда, когда выжимные элементы находятся в верхнем положении (для этого площадь сечения обозначена Shm). В соответствии со схемой составлены уравнение Бернулли для сечения 1-1 и входного сечения, а также уравнение Бернулли для сечения 2-2 и выходного сечения: (2) где pсж - давление в области сжатия, Па; pвх - давление на входе в насос, Па; pвых - давление на выходе после участка длиной l5, Па; v1 - средняя скорость жидкости в сечении 1-1, м/с; v2 - средняя скорость жидкости в сечении 2-2, м/с; g - ускорение свободного падения, м/с2; ρ - плотность жидкости, кг/м3; αвх, αвых, α1, α2 - коэффициенты Кориолиса в соответствующих частях трубки, причем αвх = 2, αвых = 2, α1 = 1, α2 = 1. Для несжимаемой жидкости очевидно, что: (3) где v3 - скорость жидкости в области, где расположены вторая и третья пластины, с площадью поперечного сечения Shm, м/с; d - внутренний диаметр трубки на участках l1 и l4, м; dвых - внутренний диаметр участка l5, м. Если пренебречь местными сопротивлениями, то потери напора будут состоять только из потерь на трение, которые можно определить по формуле Дарси [10]: ; , (4) где λ3 - коэффициент потерь на трение по длине в области расположения второй и третьей пластины; λ4 - коэффициент потерь на трение по длине в области после пластин перед сужением; λвх и λвых - коэффициенты потерь на трение по длине в начале и в конце трубки, соответственно; Phm - смоченный периметр в области сжатия, когда пластина находится в верхнем положении, м, k3 - коэффициент, учитывающий влияние формы некруглого сечения на потери [11]. Для ламинарного режима течения принимаем: ; ; ; , (5) где µ - коэффициент динамической вязкости жидкости, Па∙с. После подстановки выражений (1), (3), (4) и (5) в систему (2) получим: (6) Выражение (6) является квадратным уравнением с двумя корнями, один из которых будет решением, а второй отбрасывается из-за неправдоподобного значения. Проведя аналогичные рассуждения, получим выражения для сжатия трубки вторым и третьим выжимными элементами, а также для возвращения выжимных элементов в начальное положение. Схема насоса при сжатии трубки вторым выжимным элементом показана на рис. 3. Рис. 3. Расчетная схема сжатия трубки вторым выжимным элементом Схема идентична предыдущей с той лишь разницей, что участок длиной l3 стал меньше и добавился сжатый участок длиной lсж и площадью поперечного сечения Sсж. С использованием этой схемы было получено выражение: (7) В выражении (7) появился еще один коэффициент kсж, который аналогичен введенному ранее коэффициенту k3, но относится к сжатому участку трубки. Рис. 4. Расчетная схема сжатия трубки третьим выжимным элементом Для сжатия трубки третьим выжимным элементом получим схему, изображенную на рис. 4. Здесь сделано допущение, что к этому моменту первый выжимной элемент можно считать полностью вернувшимся в начальное положение. Для схемы на рис. 4 получено выражение: (8) где lhm - длина области сжатия первым выжимным элементом, м; vhm - средняя скорость в этой области, м/с; khm - коэффициент, учитывающий влияние формы сечения на потери. Далее рассмотрим течение жидкости в насосе, когда выжимные элементы возвращаются в начальное положение и трубка восстанавливает свою форму. При этом направление течения жидкости будет противоположным рассмотренному ранее: жидкость будет заполнять образующуюся при разжимании трубки полость, в которой будет пониженное давление pразр. Схема возвращения первого выжимного элемента с допущением, что третий выжимной элемент еще не сжал трубку, показана на рис. 5. Рис. 5. Расчетная схема возвращения первого выжимного элемента в начальное положение Для схемы на рис. 5 было получено выражение: (9) Схемы возвращения второго и третьего выжимных элементов в начальное положение показаны на рис. 6 и рис. 7, соответственно. Рис. 6. Расчетная схема возвращения второго выжимного элемента в начальное положение Рис. 7. Расчетная схема возвращения третьего выжимного элемента в начальное положение Для схемы на рис. 6 получено: (10) Аналогично, для схемы на рис. 7: (11) Для построения характеристики насоса необходимо найти значение давления, создаваемого насосом. Для этого удобнее сначала найти давление в выходном сечении насоса, то есть в сечении между участком длиной l4 и участком длиной l5. Обозначим его как p45 и будем считать, что на выходе из участка l5 давление равно атмосферному, так же как и на входе в насос. Тогда получим: . Так как входное и выходное сечения могут иметь разную площадь, то давление, создаваемое насосом можно определить как: . (12) Подача насоса определялась по формуле: . (13) Осредненные по времени значения давления (12) и подачи (13) затем использовались для построения характеристики насоса. Численное моделирование Для проведения численного моделирования использовался программный комплекс Star-CCM+. Для расчетов использовалась та же модель, что и в работе [9], но с добавлением в нее модуля «Многофазность Эйлера», при помощи которого можно моделировать кавитацию. Давление насыщенных паров было принято равным 3170 Па. Сжатие трубки задавалось силой, действующей на область трубки, где ее должен сжимать выжимной элемент. Заданные зависимости значений силы от времени показаны на рис. 8. Приведенные на рис. 8 графики соответствуют времени цикла работы насоса, равном 0,1 с. Расчеты проводились и для других частот; в таком случае изменение силы задавалось точно так же, но время срабатывания выжимных элементов, интервал между их срабатыванием и т.д. увеличивались пропорционально в соответствии с длительностью цикла. Рис. 8. Изменение сжимающей силы от времени: 1 - в области сжатия первым выжимным элементом; 2 - в области сжатия вторым выжимным элементом; 3 - в области сжатия третьим выжимным элементом Расчеты, результаты которых приведены в работе [11], показали, что при перекачке маловязкой жидкости (воды) насос выходит на режим, начиная с 3-4 цикла, в то время как для более вязкой жидкости циклы работы насоса друг на друга не влияют. В разработанной квазистационарной модели влияние циклов друг на друга не учтено, также как и возможность возникновения кавитации. На основе этих данных была проведена серия численных экспериментов для различных значений вязкости перекачиваемой жидкости, продолжительности цикла работы насоса и геометрических параметров конечного участка трубки, имитирующего нагрузку. На входе и на выходе давление было принято равным атмосферному. Результаты и их обсуждение Графики изменения средней скорости в выходном сечении насоса в зависимости от времени, когда dвых = 2 мм и l5 = 4 см, показаны на рис. 9 для продолжительности цикла 0,2 с и на рис. 10 - для продолжительности цикла 0,1 с. В обоих случаях рассмотрено несколько значений вязкости. Цикл работы насоса будет влиять на следующий цикл, если скорость жидкости не успеет опуститься до нуля к концу цикла. На рис. 9 этого влияния нет уже при µ = 20 мПа·с, в то время как при работе на большей частоте влияние прекращается только при µ = 40 мПа·с. Видно, что влияние циклов работы насоса на последующие циклы зависит как от вязкости жидкости, так и от продолжительности цикла. В целом можно сделать вывод, что если насос не будет работать с еще большей частотой, то при динамической вязкости более 40 мПа∙с течение в конце цикла успевает вернуться к тому состоянию, в котором было до срабатывания выжимных элементов. Рис. 9. Изменение средней скорости в выходном сечении при продолжительности цикла 0,2 с: 1 - µ=10 мПа·с; 2 - µ=20 мПа·с; 3 - µ=30 мПа·с Рис. 10. Изменение средней скорости в выходном сечении при продолжительности цикла 0,1 с: 1 - µ=20 мПа·с; 2 - µ=30 мПа·с; 3 - µ=40 мПа·с На рис. 11 построены графики изменения относительной объемной доли паров жидкости по причине возникновения кавитации, осредненной по всему объему, в зависимости от времени. В качестве рабочей жидкости здесь и далее был взят жидкий парафин (плотность 855 кг/м3, коэффициент динамической вязкости 0,088 Па∙с). Как видно, кавитация возникает в интервалы времени, когда выжимные элементы возвращаются в начальное положение. С увеличением продолжительности цикла относительная объемная доля паров уменьшается и при продолжительности цикла 0,3 с и более становится достаточно малой, чтобы кавитацией можно было пренебречь. Время возвращения выжимного элемента в исходное положение составляет 33 мс при времени цикла 0,3 с. Рис. 11. Относительная объемная доля паров жидкости в зависимости от продолжительности цикла Теперь проведем сравнение результатов, полученных с использованием разработанной квазистационарной модели по выражениям (6) - (11) с результатами численных экспериментов. В обоих случаях расчеты проводились с учетом следующих величин: длина выжимных элементов a = 14 мм, расстояние между выжимными элементами - 4 мм, l1 = 5,5 см, l4 =1,5 см, d = 3 мм, dвых = 2 мм, l5 = 8 см, Shm=πd2/4, ρ = 855 кг/м3, μ = 0,088 Па∙с. Изменение площади поперечного сечения Sh и значение периметра Pсж для квазистационарной модели были взяты из результатов численного моделирования. На рис. 12 видно, что в расчетах по разработанной квазистационарной модели нет колебаний скорости, полученных в численном моделировании, причем график, полученный по ней, представляет собой некое осреднение этих колебаний. На рис. 13 показаны результаты численных экспериментов для времени продолжительности цикла 0,2 с и 0,3 с. При времени цикла 0,2 с колебания незначительны, а при 0,3 с их практически нет. Таким образом, разработанную квазистационарную модель можно применять, когда нет слишком быстрого движения выжимных элементов, которое приводит к возникновению колебаний и кавитации. В рассматриваемом случае квазистационарную модель можно применять, если время цикла не меньше 0,3 с. Можно предположить, что получающиеся колебания значений скорости и кавитация связаны между собой и возникают при одних и тех же условиях. Рис. 12. Сравнение результатов численного моделирования (1) и расчетов по квазистационарной модели (2) для продолжительности цикла 0,1 с Рис. 13. Результаты численных экспериментов для времени цикла 0,2 с и 0,3 с На рис. 14 показано сравнение результатов расчетов для времени цикла 0,4 с, когда отсутствуют кавитация и колебания скорости. Расчеты по квазистационарной модели хорошо совпадают с результатами численного моделирования, кроме промежутков времени, в которые выжимные элементы двигаются одновременно, что связано с принятыми в разработанной квазистационарной модели допущениями. Рис. 14. Сравнение результатов численного моделирования (1) и расчетов по квазистационарной модели (2) для времени цикла 0,4 с На рис. 15 представлено сравнение полученных для этого случая расчетных напорных характеристик рассматриваемого перистальтического насоса. Вследствие получающихся больших осредненных по времени скоростей и давлений характеристика, построенная по квазистационарной модели, лежит выше полученной при численном моделировании. Рис. 15. Напорная характеристика перистальтического насоса: 1 - по результатам численного моделирования; 2 - в результате расчета по квазистационарной модели Выводы На основе полученных результатов можно прийти к заключению, что разработанная квазистационарная модель расчета характеристики перистальтического насоса линейного типа может применяться на практике, но с некоторыми ограничениями. Частота срабатывания выжимных элементов и скорость их движения должны быть достаточно малы, чтобы в насосе не возникало кавитации и колебаний скоростей и давлений, а вязкость перекачиваемой жидкости должна быть не менее 40 мПа·с. Кроме того, разработанная квазистационарная модель дает погрешность в случаях, когда есть движение сразу двух выжимных элементов. В дальнейшем планируется провести оценку причин расхождения напорных характеристик, полученных по квазистационарной модели и в результате численного моделирования, а также разработать способы минимизации этого расхождения.

About the authors

A. I Grishin

Moscow Polytechnic University

Email: foxmccloud@rambler.ru

References

Supplementary files