Model of oil flow in long journal bearing in field of centrifugal forces

Full Text

Введение Течение несжимаемой смазки в радиальном подшипнике скольжения достаточно хо- рошо изучено. Численное моделирование проводят как методами вычислительной гидроди- намики на основе уравнений Навье-Стокса в общем виде [1], так и с использованием уравне- ния Рейнольдса, полученного при учете особенностей течения смазки в подшипнике [2, 3]. В рамках экспериментальных исследований течения смазки в подшипнике определяют инте- гральные характеристики подшипников: подъемную силу, коэффициенты жесткости и демп- фирования, положение вала в подшипнике, температурное состояние опоры и т.п. [4]. Существует большое количество математических моделей радиального подшипника скольжения, адаптированных к конкретной конструкции подшипника и решаемым задачам. Ряд моделей использует уравнения Навье-Стокса, что позволяет определять характеристики смазки в подшипниках сложной конструкции, учитывать каналы подачи смазки, зоны кави- тации и разрыва смазочной пленки, а также турбулентный режим течения [1]. Однако такой подход требует существенно большего времени на создание модели подшипника, больших компьютерных мощностей и длительного времени счета. При этом сравнение основных па- раметров подшипника, полученных с использованием уравнений Навье-Стокса и различных вариантов уравнения Рейнольдса, показывает, что результаты отличаются не более чем на 5% [1]. Поэтому большинство применяемых на практике математических моделей течения смазки в подшипнике скольжения основаны на различных интерпретациях уравнения Рей- нольдса, которые позволяют с достаточной точностью определить характеристики жесткости и демпфирования опор различной конструкции [3, 5]. Для решения задач применяют интер- претации уравнения Рейнольдса, позволяющие учитывать турбулентный режим течения смазки [6], температурный градиент [7], шероховатость поверхностей [8] и оценивать влия- ние зоны кавитации на характеристики подшипника [3]. Силы инерции в смазочном слое оказывают влияние на давление смазки при определенных условиях. Однако согласно [6] при Re ≤ 10000 влиянием сил инерции в непрерывной смазочной пленке в тонком слое мож- но пренебречь. Поэтому в большинстве моделей, основанных на уравнении Рейнольдса, мас- совые силы не учитываются, что не снижает точность получаемых результатов. В радиаль- ном подшипнике с неподвижной осью массовые центробежные силы, обусловленные «вра- щением» смазки в подшипнике, направлены перпендикулярно поверхностям скольжения и не оказывают существенного влияния на характеристики течения смазки. В то же время су- ществует ряд механизмов, где ось подшипника скольжения вращается вокруг неподвижной оси по окружности существенного диаметра. Например, подобные условия работы подшип- ника скольжения реализуются в опоре сателлита планетарного редуктора (рисунок 1). На рисунке 1 приняты следующие обозначения: OH ось водила; O2 ось сателлита; ω1 , ωH и ω2 - скорости вращения солнечной шестерни, водила и сателлита соответственно; r1 , r2 , r3 и rH радиусы солнечной шестерни, сателлита, эпицикла и водила соответственно. Рисунок 1. Схема планетарного механизма: 1 - солнечная шестерня; 2 - сателлит; 3 - эпицикл; H - водило Планетарные механизмы широко используются в машиностроении и станкостроении, в конструкциях автомобилей и других транспортных средств. Планетарный механизм позволя- ет добиться высокой компактности и больших возможностей в части передачи вращения и крутящего момента. В настоящее время прорабатывается вариант использования планетар- ного редуктора в перспективных турбореактивных двигателях высокой степени двухконтур- ности, что позволяет развязать роторы вентилятора и низкого давления по частоте вращения и открывает новые возможности по выбору оптимальных параметров [9, 10]. В качестве опор редуктора применяют подшипники скольжения, которые вносят существенно нелинейный вклад в характеристики жесткости опор зубчатых колес редуктора и, соответственно, в ха- рактеристики жесткости силовой схемы двигателя. Поэтому применяемые для расчетов мо- дели течения смазки в подшипнике скольжения должны учитывать специфические особен- ности работы опор зубчатых колес редуктора. При вращении сателлита с подшипником вокруг оси OH его поверхности скольжения, несвязанные с водилом, участвуют в сложном движении (рисунок 2). За счет полного смазы- вания поверхностей скольжения в подшипнике кинематические характеристики на поверх- ностях скольжения являются граничными условиями для течения смазки в зазоре. Поэтому при вращении редуктора смазка в большинстве сечений смазочного слоя подшипника сателлита совершает сложное движение относительно неподвижной оси OH . Это определяет действие центробежных сил инерции в смазке, которые направлены вдоль линии OH M . Эти массовые силы в большинстве сечений имеют ненулевые проекции на окружное направление в подшипнике и при определенных соотношениях скоростей вращения водила и сателлита могут оказывать существенное влияние на распределение давления в смазочном слое и, со- ответственно, на характеристики подшипника. а) б) Рисунок 2. Скорости и ускорения на поверхностях скольжения подшипника сателлита: а - скорости; б - ускорения Прецизионная математическая модель опоры сателлита планетарного редуктора требу- ет учета всех параметров, влияющих на характеристики смазки. Центробежные массовые си- лы в смазке опоры сателлита могут оказывать существенное влияние на давление смазки и жесткость подшипника. Их учет требует разработки специализированной модели течения смазки в зазоре подшипника сателлита. Кинематика подшипника скольжения при сложном движении опоры Определение кинематических характеристик смазки для их последующего учета в мо- дели течения смазки проведено для однорядного планетарного редуктора (рисунок 1). Передаточное отношение редуктора с солнечной шестерней с числом зубьев z1 , эпицикла с числом зубьев z3 и сателлитов с числом зубьев z2 определяется в виде: u1H 1 1 z3 , H z1 (1) а связь угловой скорости водила со скоростью сателлита имеет вид: 2 1 z3 . (2) H z2 Гидродинамический клин в подшипнике скольжения обусловлен относительным дви- жением поверхностей скольжения. Массовые силы инерции, действующие на слой смазки при вращении сателлита, зависят от его вращения относительно неподвижной оси централь- ных колес. Поэтому необходимо получить выражения для абсолютных величин ускорений, действующих в слое смазки при вращении сателлита. При определении скоростей и ускорений примем, что ось водила OH неподвижна, а ось опоры сателлита O2 вращается равномерно вокруг оси водила с угловой скоростью H (рисунок 2). Угловая скорость вращения са- теллита 2 равна угловой скорости относительного движения поверхностей скольжения в радиальном гидродинамическом подшипнике. Ось O2 совпадает с осью шейки вала подшипника сателлита (рисунок 2б). Скорости и ускорения определяются при кинематическом анализе опоры сателлита, совершающей сложное движение: вращение оси сателлита O2 относительно оси водила OH и относительное вращение шейки вала и обоймы подшипника скольжения. Для вычисления инерционных сил, действующих на произвольную точку M в смазочном слое, запишем вы- ражения для скоростей и ускорений точек M1 и M2, находящихся на смазочных поверхностях (рисунок 2). Точка M1 расположена на поверхности скольжения шейки вала и не перемещается в системе координат xO2y. Точка M2 расположена на поверхности скольжения втулки и вращается в системе координат xO2y относительно начала координат O2 с угловой скоростью 2 . Таким образом, точка M1 совершает вращательное движение относитель- но центра OH цилиндрической системы координат, а точка M2 участвует в сложном движении - вращении вокруг точки OH вместе с системой координат xO2y с угловой скоростью H и вращении относительно точки O2 с угловой скоростью 2 . Скорости и ускорения точек М1 и М2 для их последующего учета в уравнениях для смазки удобно представить в виде проекций на орты eφ и er цилиндрической системы координат, связанной с осью сателлита O2 . Выражения для синуса и косинуса угла α1 (рисунок 2) в зависимости от размеров подшипника, расстояния от центра подшипника, угла φ поворота точек M1 и M2 вокруг O2 и угла φH поворота точки O2 вокруг OH могут быть получены из тригонометрических соотношений: sin rH sin O O M rH sin , 1 H 2 1 2 2 OH M1 rH R 2rH R cos (3) cos 1 sin2 R rH cos , 2 2 1 1 r R 2r R cos H H где: R - радиус втулки подшипника. При записи выражений для скорости и ускорения точки M2, с учетом малой величины зазора в подшипнике скольжения по сравнению с остальными размерами, можно принять: OH M1 OH M2 и 1 2 , (4) что позволяет воспользоваться зависимостями (3) и для угла α2 . Составляющие скоростей и ускорений точек M1 и M2 для планетарного редуктора в системе координат O2r z с учетом допущений (4) представлены в таблице 1. Схемы, иллюстрирующие направления скоростей и ускорений, показаны на рисунке 2. Выражения для скоростей и ускорений точек на поверхностях скольжения подшипника могут быть обобщены для смазочного слоя (таблица 2). Скорости и ускорения на поверхностях скольжения Таблица 1 Скорости и ускорения в смазочном слое Таблица 2 Одномерная модель течения смазки в подшипнике с учетом инерционных нагрузок Соотношения для ускорений в смазочном слое (таблица 2) позволяют записать выраже- ние для силы инерции в слое смазки, которая для единичной массы примет вид: 2 F a a a 2 r e 2 R r u u e e i e c lub H H sin 2 H H ( H cos ) 2 H R r 0 z fs e f y er fz ez , (5) где: fs , f y , fz - проекции силы инерции на соответствующие координатные оси в системе координат O2r z , связанной с подшипником. Уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности для ламинарного изотермическо- го течения несжимаемой смазки с постоянной вязкостью в подшипнике с зазором малой ши- рины (толщина смазочного слоя мала по сравнению с радиусами кривизны поверхностей скольжения) удобно рассмотреть в системе координат sy z [11, 12]: du f p 2u 2u 2u 2u 2v 2 w ; dt s s f s2 y 2 z2 3 s2 s y s z dv f p 2v 2v 2v 2v 2v 2v ; dt y s2 y 2 z2 3 s y y 2 y z (6) dw p 2 w 2 w 2 w 2 w 2 w 2 w dt fz s2 y 2 z2 ; 3 s z y z z2 u v w 0, s y z где: p p(s, y ', z) давление в смазочном слое; ρ - плотность смазки; η - динамическая вязкость смазки; u, v, w - компоненты скорости смазки (рисунок 3). Учет выражения (5) в уравнениях Навье-Стокса (6) позволяет получить модифициро- ванное уравнение Рейнольдса для слоя смазки при учете центробежных сил инерции. Рисунок 3. Схема смазочного зазора в подшипнике Для получения уравнения Рейнольдса к системе уравнений (6) необходимо применить стандартные упрощения, обусловленные малой величиной зазора: скорость течения смазки в подшипнике в окружном направлении существенно боль- ше, чем скорость в радиальном и осевом направлениях: v u, w ; изменение компонент скорости в окружном и осевом направлениях существенно 2 2 2 меньше их изменения в радиальном направлении: , и s z y , . s2 z2 y 2 s sR ; y yh ; z zR ; (7.1) u uV ; v v (h / R)V ; w wV , (7.2) Для исключения слагаемых, имеющих пренебрежимо малый порядок, в уравнениях (6) удобно использовать подход, основанный на переходе к безразмерным переменным одного порядка [12]. Для этого в уравнениях (6) необходимо произвести замену переменных для ко- ординат и скоростей: где: V 2 R - характерная скорость движения поверхностей. Введенные безразмерные координаты (7.1) являются величинами одного порядка; без- размерные скорости (7.2) также являются величинами одного порядка. Для упрощения пред- ставления уравнений (6) после замены переменных необходимо ввести следующие обозна- чения: h h ; p hm p ; t p0 Vt ; R hm ; Re R Vhm , (8) где: hm - средняя величина зазора, p0 - внешнее давление. После подстановки соотношений (5), (7), (8) в уравнения Навье-Стокса (6) и преобразо- вания слагаемых получаем: 2 2 2 2 Re du Re f p0hm p 1 u 2 u u div(v ); dt s V s h 2 y 2 s 2 z 2 3 s lub 2 2 2 2 Re h dv Re f p0hm 1 p 3h v v 1 div(v ) 1 v ; (9) dt y V h y s 2 z 2 3 h y lub h y 2 2 2 2 2 Re dw p0hm p 1 w 2 w w dt V z h 2 y 2 s 2 z 2 div(vlub ), 3 z где безразмерные массовые силы записаны в следующем виде: 2 r 2 r f H H sin 2 H hv ; f H 1 H cos 2 H u u 2 . (10) s 2 R y 2 R 2 2 2 2 Все безразмерные величины и их производные в уравнениях (9) имеют один порядок, принимаемый равный единице. Поэтому порядок слагаемых в уравнениях (9) и выражениях (10) определяется порядком коэффициента ~ 10 3 и числом Рейнольдса Re. В уравнениях (9) и выражениях (10) можно пренебречь слагаемыми, имеющими поря- док малости больший, чем слагаемое для давления смазки. В первом и третьем уравнении слагаемое для давления смазки имеет порядок , а во втором уравнении - единицу. Поэтому в первом и третьем уравнениях системы (9) можно пренебречь слагаемыми, имеющими по- рядок 2 , а также слагаемым, имеющим порядок 2 Re в выражении для составляющей массовой силы fs . Аналогичным образом во втором уравнении системы (9) можно пренебречь всеми слагаемыми кроме слагаемого, определяющего давление смазки. После подста- новки соотношений (10) в систему уравнений (9) и исключения слагаемых пренебрежимо малой величины, уравнения (9) преобразуются к виду: du dt 0 p ; y r H H 2 sin p 2u ; s y 2 (11) dw p 2 w . dt z y 2 Для подшипника, длина которого достаточно велика по сравнению с радиусом, удовле- творительную точность результатов можно получить используя одномерную модель, в кото- рой течение смазки в осевом направлении отсутствует. При этом давление смазки будет по- стоянно вдоль оси подшипника. Уравнения (11) для одномерной модели смазки упрощаются к виду: du dt 0 p . y r H H 2 sin p 2u ; s y 2 (12) В дальнейшем будем рассматривать стационарные условия работы опоры, для которых полная производная скорости в левой части первого уравнения системы (12) равна нулю. Из второго уравнения (12) следует, что давление не зависит от координаты y . После интегрирования первого уравнения (12) по координате y с учетом граничных условий на поверхностях скольжения: u 0; y 0 (13) u y h 2 R, выражение для скорости смазки в окружном направлении примет вид: u 1 p 2 s r 2 sin s H H R y (h y ) R y . (14) 2 h Уравнение Рейнольдса для одномерного течения смазки в подшипнике с учетом сил инерции получается подстановкой выражения для окружной скорости (14) в уравнение не- разрывности (6) и последующим интегрировании по y : 3 p h 2 3 s s h f1 (s) fins (s) 6 2 R s H s h si nR H r , (15) где: f1 - слагаемое, соответствующее правой части уравнения Рейнольдса без учета инерционных сил; fin - добавочное слагаемое, обусловленное влиянием сил инерции, возникающих при вращении подшипника вокруг неподвижной оси вместе с водилом. Аналитическое решение можно получить при решении уравнения (15) с правыми частями f1 и fin отдельно. Для наиболее простой конструкции подшипника с цилиндрической обоймой и полным охватом шейки вала толщина зазора определяется функцией: s h(s) 1 cos R e , (16) где: - средняя ширина зазора, e / - относительный эксцентриситет, e - угол, определяющий направление эксцентриситета. Решение уравнения (15) с правой частью f1 соответствует полю давлений в одномерном подшипнике при неподвижном водиле ( H 0 ) и может быть выражено в виде [13]: s s p (s) 2 6 R2 sin R e 2 cos R e p . (17) 1 2 (2 2 ) 2 0 1 cos s R e Решение уравнения (15) с правой частью fin соответствует полю давлений в одномерном подшипнике при условии неподвижного вала ( 2 0 ): 2 s p2 (s) H rH R cos R p0 . (18) Полное решение уравнения Рейнольдса представляет собой комбинацию решений (17) и (18): sin s 2 cos s p(s) 6 R2 R e R e 2 r R cos s p . (19) 2 (2 2 ) 2 1 cos s R e H H R 0 Одномерная модель радиального подшипника скольжения в виде (19) позволяет учесть вклад сил инерции при вращении подшипника относительно неподвижной оси и определить поле давлений в подшипнике с учетом сил инерции. Подъемная сила и ее направление вы- числяются путем интегрирования давления, определяемого формулой (19). Верификация модели и результаты расчета с учетом сил инерции Для верификации модели определения давления смазки была создана трехмерная мо- дель слоя смазки в радиальном подшипнике бесконечной длины (рисунок 4). Проверочные расчеты проведены с использованием универсального программного комплекса для подшип- ника с радиусом шейки вала R = 15 мм, расстоянием от оси сателлита до оси водила rH = 167 мм, радиальным зазором в подшипнике δ = 0,05 мм, плотностью смазки ρ = 900 кг/м3, вязкостью смазки η = 0,02 Па∙с, частотой вращения сателлита n2 = 15000 об/мин, частотой вращения вала водила nH = 6000 об/мин [14]. Давление окружающей среды равно атмосферному давлению p0 = 0,1 МПа. Сравнительный анализ проведен для ряда значений смещения шейки вала в подшипнике. Рисунок 4. Модель смазочного слоя подшипника бесконечной длины Моделирование бесконечной длины подшипника осуществляется путем задания специ- ального условия: составляющие скоростей и ускорений потока вдоль оси Oz приравниваются к нулю. Расчеты проведены на основе решения полной системы уравнений Навье - Стокса методом конечных объемов для ламинарного течения без проскальзывания с постоянным распределением температуры в слое смазки. При этом учитывается воздействие всех составляющих вектора массовых сил, скоростей и ускорений смазки, которые были приняты пре- небрежимо малыми в аналитической модели. Инерционные силы моделируются путем со- здания дополнительной системы координат с началом в точке OH , вокруг которой вращается локальная система координат, связанная с центром подшипника O2 . Для верификации результатов модели, основанной на уравнении (15), использована модель подшипника сколь- жения с канавкой в сечении зазора с окружной координатой s = 0, что вызвано спецификой задания граничных условий в расчетном комплексе. Давление смазки в канавке принято рав- ным атмосферному. Положение канавки в расчете соответствует максимальной ширине за- зора h(0) (1 ) . Аналитическое решение уравнения Рейнольдса для подшипника с канавкой имеет вид: sin s 2 cos s p(s) 6 R2 R e R e 2 r R cos s 1 p . (20) 2 (2 2 ) 2 1 cos s R e H H R 0 Отличие вида решений (19) и (20) объясняется различными граничными условиями. Результаты сравнения эпюр давления смазки в длинном подшипнике, полученные с использованием решения (20) уравнения Рейнольдса и в программном комплексе, представле- ны на рисунке 5 для двух значений относительного эксцентриситета χ шейки вала в подшип- нике. Хорошее согласование результатов расчетов подтверждает разница по величине подъ- емной силы, которая составляет 3% для χ = 0,2 и 2% для χ = 0,4. При расчетах распределения давления не учитываются отрывное течение и кавитаци- онные эффекты в смазке в зоне разрежения. В этих областях расчетные значения абсолютно- го давления меньше нуля. Данные эффекты исследованы в работе [3] и показано, что приме- нение гипотезы, что в зоне разрежения давление равно нулю, несущественно влияет на точ- ность вычисления подъемной силы и ее направление в подшипнике. Рисунок 5. Верификация результатов расчета давления в подшипнике при φe=0 и различных значениях относительного эксцентриситета χ Результаты расчетов с использованием формулы (19) при неподвижном и вращающем- ся водиле для различных углов направления и величин эксцентриситета шейки вала в под- шипнике представлены на рисунках 6-8. На рисунке 6 показано распределение давления при различных направлениях постоянного относительного эксцентриситета шейки вала χ = 0,2. Продемонстрировано, что центробежные силы инерции оказывают разнонаправленное влияние в зависимости от ориентации гидродинамического клина в подшипнике. За счет враще- ния водила центробежные силы создают зону нагнетания в наиболее удаленной от центра водила точке смазочного слоя и зону разрежения в точке, максимально приближенной к цен- тру водила. Поэтому при образовании гидродинамического клина в зоне смазочного слоя, удаленной от оси водила ( e / 2, ) , центробежные силы увеличивают суммарное давление смазки. При образовании гидродинамического клина в зоне смазочного слоя, приближенной к центру водила ( e 0,3 / 2) , суммарное давление смазки уменьшается. Также для некоторых направлений эксцентриситета можно отметить уменьшение протяженности зоны положительного давления в подшипнике, как это показано на рисунке 6. Рисунок 6. Давление в подшипнике с относительным эксцентриситетом χ=0,2 при различных направлениях эксцентриситета а) б) Рисунок 7. Подъемная сила в подшипнике: а - в зависимости от φe при постоянном χ=0,2; б - в зависимости от φe и χ Результаты расчета подъемной силы в зависимости от величины и направления смеще- ния сателлита в подшипнике представлены на рисунке 7. Максимальная подъемная сила в подшипнике при вращающемся водиле и χ = 0,2 возникает при e 97,3 и превышает подъемную силу в подшипнике с неподвижным водилом на 37,2%. Аналогично минимальная подъемная сила возникает при e 277, 7 и по величине меньше подъемной силы в подшипнике с неподвижным водилом на 37,1%. При увеличении смещения шейки вала в под- шипнике влияние центробежных сил на подъемную силу уменьшается. Это объясняется тем, что влияние центробежных сил на давление смазки остается на том же уровне, а давление в гидродинамическом клине увеличиваются. Центробежные силы инерции также влияют на угол между направлениями подъемной силы и смещения сателлита (рисунок 8). Максимальная величина угла при χ = 0,2 соответствует e 208,5 , а минимальная - e 344,1 , что отличается от аналогичной величины в подшипнике с неподвижным водилом на 9,0% и 7,7%, соответственно. а) б) Рисунок 8. Угол между направлениями подъемной силы и смещения сателлита (рисунок 5): а - в зависимости от φe при χ=0,2; б - в зависимости от φe и χ Заключение В статье представлена модель длинного радиального подшипника скольжения с учетом центробежных сил инерции в смазке, возникающих при вращении подшипника относительно неподвижной оси. Традиционная форма уравнения Рейнольдса дополнена инерционными членами, полученными при кинематическом анализе движения подшипника. Решение урав- нения Рейнольдса выполнено аналитически. Верификация математической модели проведе- на с использованием численного моделирования в коммерческом программном комплексе. Продемонстрировано существенное влияние центробежных сил на распределение давления смазки в подшипнике. При определенных направлениях эксцентриситета значительно меня- ется не только величина подъемной силы, но и ее направление. Величина подъемной силы при учете центробежных сил изменяется на 37% при относительном эксцентриситете шейки вала 0, 2 и на 10% при 0, 6 .

About the authors

M. J Temis

Central Institute of Aviation Motors; Bauman Moscow State Technical University

Email: mikhail.temis@gmail.com
PhD.; 8 (495) 361-64-82

A. P Lazarev

Central Institute of Aviation Motors; Bauman Moscow State Technical University

Email: tejoum@ciam.ru
8 (495) 361-64-82

References

Supplementary files