Расширение множества центральных композиционных планов

Аннотация

Рассматривается подход, позволяющий расширить множества центральных композиционных планов. Применение свойств точечного материального тела позволяет обеспечить ортогональное планирование.

Полный текст

Обработка результатов эксперимента является важной операцией в технологическом процессе проведения экспериментальных исследований. Линейная модель наблюдений явля- ется основой для обработки экспериментальных данных [1, 2]. Вектор параметров  для линейной модели наблюдений при выбранном плане экспе- римента и функции отклика определяется как решение нормального уравнения [1, 2]: β  ( X T X )1 X T y . (1) Желательно, чтобы при проведении эксперимента план был выбран таким, чтобы планирование было ортогональным, то есть матрица X T X была диагональной. Боксом и Хартли для функции отклика в виде полинома второй степени [1, 2] были по- строены планы, которые обеспечивали ортогональное планирование. Эти планы были назва- ны центральными композиционными планами или планами Бокса-Хартли. В данной статье рассматривается подход и даётся метод, позволяющий расширить множество центральных композиционных планов. Рассмотрим метод, предложенный Боксом и Хартли для построения центрального ком- позиционного плана для полинома второй степени: 0 1 1 2 2 11 1 22 2 y  β  β x  β x  β x2  β x2 . (2) Парное взаимодействие x1x2 мы исключили, так как оно не оказывает никакого влияния на суть предлагаемого метода. Для функции отклика (2) в качестве центрального композиционного плана выбираем план D1 (рисунок 1):  1  1 1  1     1  1 1 1     D1    0   . (3) 0    0      0    0 0     0 0    Центральные композиционные планы состоят из точек полного факторного экспери- мента 2k (или его дробных реплик), «звёздных» точек и точек, расположенных в начале ко- ординат. Рисунок 1. План Бокса-Хартли Значение  (значение «звёздного» плеча) в плане D1 не определено. В соответствии с       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  линейной моделью наблюдений [1, 2] получим матрицы X , X T , X T X :  1 1 1   1  1 1 1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1   0 2 0   1 1 1 1         0 0  , 0 0 0 0  0 0 0 0  X    , X T   1 1 1 1 0 0  1   0 2 0   2 2  1 0   0 2   1 1 1 1      2 2   1 0   0 2   1 1 1 1 0 0   0 0    (4)  1 0 0 0 0   1 0 0 0 0     10 0 0 4  22 4  22     0 4  22 0 0 0  X T X   0 0 4  22 0 0  .    4  22 0 0 4  22 4     4  22 0 0 4 4  22    Планирование не получается ортогональным, так как элементы матрицы (4) a14 , a15 , a41 , a51 , a45 , a54 не равны нулю. Тогда Боксом и Хартли была проведена замена переменных x2 и x2 : x x2  c, 4 2 x x2  c, где c - постоянное число, требующее определения. 1 2 3 1 При замене переменных осуществлён переход от системы координат ме координат 01 x1x2 x3 x4 . 1 2 1 2 0x x x2 x2 к систе- В системе координат 01 x1x2 x3 x4 функция отклика (2) примет вид: y  β0  β1x1  β2 x2  β11x3  β22 x4 , где: β0  β0 T  β11c  β22c. T (5) В системе координат 01 x1x2 x3 x4 матрицы X , X , X X в уравнении (1) примут вид:  1 1  1 1 1 1 c 1 1 c 1 c  1 c     1 1  1 1 1 1  c 1 1  c 1 c  1 c   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       1   0 2  c  c   1 1 1 1     0 0 0 0  X    , X T   1 1 1 1 0 0     0 0  , (6)  1   0 2  c  c    2 2  1 0    c 2  c   1 c 1 c 1  c 1 c   c   c c  c c  c     2 2   1 0    c 2  c   1 c 1  c 1  c 1  c  c c   c   c c  c     1 0 0  c  1 0 0  c c  c     10 0 0 4(1 c)2  2(α2  c)  4c 4(1 c)2  2(α2  c)  4c  0 4  2α2 0 0 0 0 0 4  2α2 0 0       X T X    .  4(1 c)2  2(α2  c)  4c 0 0 4(1 c)2  2(α2  c)2  4c2 4(1 c)2  4(2  c)c  2c2     4(1 c)2  2(α2  c)  4c 0 0 4(1 c)2  4(2  c)c  2c2 4(1 c)2  2(α2  c)2  4c2    Чтобы матрица (6) была диагональной, необходимо, чтобы  и с удовлетворяли си- стеме уравнений: 4(1 c)  2(2  c)  4c  0  . 4(1 c)2  4(2  c)c  2c2  0 Решением этой системы уравнений являются следующие значения  и c :   10  2  1.0781, c  2  0.6325 . Тогда матрицы X , X T , 10 10 X T X для полученных значений  и c примут вид:  1 1 1   1  1 1  1 1 1 0.3675 0.3675   1 0.3675 0.3675  1 0.3675 0.3675  1 0.3675 0.3675 10 0 0 0 0     0 6.3246 0 0 0   1 1.0781 0 0.5298  0.6325    X    , X T X   0 0 6.3246 0 0  ,  1 1.0781 0 0.5298  0.6325     1 0 1.0781  0.6325 0.5298   0 0 0 2.7012 0     0 0 0 0 2.7012  1 0 1.0781  0.6325 0.5298    (7)  1 0 0  0.6325  0.6325       1 0 0  0.6325  0.6325   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1.0781  1.0781 0 0 0 0  X T   1 1 1 1 0 0 1.0781 1.0781 0 0  .   0.3675 0.3675 0.3675 0.3675 0.5298 0.5298  0.6325  0.6325  0.6325   0.6325     0.3675 0.3675 0.3675 0.3675  0.6325  0.6325 0.5298 0.5298  0.6325  0.6325 Матрица (7) является диагональной. В системе координат нение (1) примет вид: x1x2 x3 x4 нормальное урав- β  ( X T X )1 X T y . (8) Для решения нормального уравнения (8) необходимо знать вектор наблюдения y. Век- тор наблюдения y для нашего модельного примера может быть сформирован следующим об- разом. Пусть функция отклика (2) имеет конкретный вид: 2 2 y  2  0.5x1  0.5x2  x1  x2 . (9) Тогда компонентами вектора y будут значения функции отклика (9) в точках плана (3): y(3,4, 4,5, α2  α-2, α2  α-2, α2  α-2, α2  α-2, 2, 2)T , или в числовом выражении при   1.7013 : y(3,4, 4,5, 2.6232, 3.7013, 2.6232, 3.7013, 2, 2)T . В этом случае вектор β определяется как решение нормального уравнения (8): или в соответствии с (5): β  (3.2649, 0.5, 0.5,1, 1) , β  (2, 0.5, 0.5,1, 1) . (10) Подход Бокса-Хартли определяет только один план для произвольного значения k. Подход Бокса-Хартли обеспечивает ортогональное планирование за счёт выбора параметров α и c . В работе предлагается другой подход для обеспечения ортогонального планирования. Суть его заключается в том, что задача построения плана и обеспечения ортогонального планирования может быть представлена как задача конструирования точечного материаль- ного тела, то есть материального тела, состоящего из точек единичной массы [3]. Этим точ- кам соответствуют точки плана. Координаты материальных точек суть координаты точек плана. Матрица X T X , построенная для точек плана или для точек материального тела, является матрицей моментов инерций. Если для точек материального тела оси координат, в кото- рой определены точки материального тела, являются главными и центральными, то тогда матрица моментов инерций является диагональной. Подобная аналогия позволяет опреде- лить и метод получения ортогонального планирования. Необходимо для точечного матери- ального тела определить главные центральные оси. Покажем это, используя для сравнения предыдущий пример. Пусть функция отклика останется прежней (2). План эксперимента D2 представлен на рисунке 2.  1  1 1 1    1  1 1 1    D2   1 0   . (11) 1 0    0 1    0 1  0 0     0 0    Мы выбрали «звёздное» плечо равным единице, то есть α = 1. Теперь мы не имеет воз- можности варьировать величину «звёздного» плеча для получения ортогонального планирования. Мы могли выбрать значение  в пределах 0    , если выбор точек плана ограничен сферой радиуса R , R  2 . Рисунок 2. Расширенный план Бокса-Хартли В соответствии с линейной моделью наблюдений матрицы X , отклика (2) и плана (11) примут вид: X T , X T X для функции  1 1  1 1 1 1 1  1 1 1     1 1  1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1     1 1 1 1 1 1 0 0 0 0   1 1 0 1 0    X    , X T   1 1 1 1 0 0 1 1 0 0  ,  1 1 0 1 0    0 1 0 0 1 0  1 1   1 1 1 1 1 1 0 0 0 0     1 1 1 1 0 0 1 1 0 0   1 1    (12)    1 0 0 0 0     1 0 0 0 0   10 0 0 6 6   0 6 0 0 X T X   0 0 6 0  6 0 0 6  6 0 0 4 0   0  . 4      6  Матрица (12) не является диагональной. Чтобы матрица (12) стала диагональной, введём новые переменные x3 , x4 (рисунок 3): 3 1 x x2  c, 4 2 x x2  c, где c - постоянное число, требующее определения. При замене переменных осуществлён переход от системы координат ме координат 01 x1x2 x3 x4 . 1 2 1 2 0x x x2 x2 к систе- С точки зрения предлагаемого подхода, такая замена переменных переносит систему координат 1 2 1 2 0x x x2 x2 в центр масс точечного материального тела. В системе координат 01 x1x2 x3 x4 где функция отклика (2) примет вид: y  β0  β1x1  β2 x2  β11x3  β22 x4 , β0  β0  β11с  β22с. (13) Рисунок 3. Изменение осей координат плана для получения ортогонального планирования В системе координат 01 x1x2 x3 x4 матрицы X , X T , X T X в уравнении (1) примут вид:  1 1  1 1 1 1 с 1 1 с 1 с  1 с     1 1  1 1 1 1  с 1 1  с 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 с  1 с   1     0   1 1 0 1 с  с    X    , X T   1 1 1 1 0 0 1 1 0 0  ,  1 1 0 1 с  с     1 0 1  с 1 с  1 с 1 с 1  с 1 с 1 с 1 с  с с  с с    1 с 1  с 1  с 1  с  с с 1 с 1 с  с с   1 0 1  с 1 с    (14)  1 0 0  с с     1 0 0  с с   10 0 0 6(1- c)  4c  0 6 0 0 X T X   0 0 6 0   6(1- c)  4c     6(1- c)  4c  6(1- c)  4c 0 0 4(1 c)2  4(1 c)c  2c2 0 0 4с2 14с  62 0  0  .  4с2 14с  6  4(1 c)2  4(1 c)c  2c2    Чтобы матрица (14) была диагональной, прежде всего необходимо, чтобы элементы этой матрицы a14 , a15 , a41, a51 были равны нулю или чтобы выполнялось условие: 6(1-c)-4c  0 , т.е. c  T 0.6 . T вид: В системе координат 01 x1x2 x3 x4 матрицы X , X , X X для значения c  0.6 примут  1 1  1 1 1 0.4 0.4  1 0.4 0.4     1 1  1 1  10 0 0 0 0   0  1 0.4 0.4  1 0.4 0.4   1 1 0 0.4  1 1 0 0.4   6 0 0 0  0.6 0 0 6 0 0 0 0 2.4    X    , X T X   0  ,  0.6     1 0 1  0.6 0.4   0.4     1 1    1       X T    0 1  0.6 0.4    0.6  0.6  0 0  0.6 0 0  0.6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 0 0 0 0  1 1 1 1 0 0 1 1 0 0  0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4  0.6  0.6  0.6  0.6  0.4 0.4 0.4 0.4  0.6  0.6 0.4 0.4  0.6  0.6   0 0 0 0.4 2.4  . (15)      В матрице (15) элементы a45 и a54 не равны нулю. Если эти элементы рассматривать с позиции точечного материального тела, то они определяют центробежный момент этого тела J относительно осей x3 x4 x3 , x4 в системе координат 01 x1x2 x3 x4 . Чтоб элементы a45 и a54 стали равными нулю, необходимо оси x3 , x4 повернуть к осям x3 , x4 на угол  , при котором x x J  0 . При повороте осей мы перейдём к новой системе координат 3 4 01 x1x2 x3 x4 (рисунок 3). Переменные x3 и x4 связаны с переменными x3 , x4 соотношением:  x3    cos  sin   x3  .        x4    sin  cos    x4  Угол поворота осей  , при котором обеспечивается равенство нулю центробежного момента x x J  0 , определится из выражения: 3 4 tg2 x x 2J 3 4 , J 2  J 2 x4 x3 где: J 2 , J 2 - моменты инерции точечного материального тела относительно осей x , x . Для x4 x3 3 4 нашего случая   . 4 В системе координат 01 x1x2 x3 x4 функция отклика (2) примет вид: β   β где: 11  cos sin  β11  , y  β0  β1x1  β2 x2  β11x3  β22 x4 , β  (β ,β , β , β ,β ) .      22       sin cos  β22  0 1 2 11 22 В системе координат 01 x1x2 x3 x4 нормальное уравнение (1) примет вид: а матрицы X , X T , β  ( X T X )1 X T y , (16) X T X в уравнении будут равны:  1 1 1 0.4 2 0     1 1 1 0.4 2 0     1 1  1 1 1 0.4 2 0  0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 2. 0 0 0 0 1 0.4 2 0   1 0       1 1 0  0.1 2  0.5 2   0  X    , X T X   0  ,  1 1 0  0.1 2  0.5 2       8 0   1 0 1  0.1 2 0.5 2   2       1 0 1  0.1 2 0.5 2  (17)  1 0 0  0.6 2 0     1 0 0  0.6 2 0    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0         X T    .  0.4 2 0.4 2 0.4 2 0.4 2  0.1 2  0.1 2  0.1 2  0.1 2  0.6 2  0.6 2     0 0 0 0  0.5 2  0.5 2 0.5 2 0.5 2 0 0    В системе координат 01 x1x2 x3 x4 мы получили ортогональное планирование, Матрица (17) стала диагональной. Если в качестве вектора наблюдений y принять вектор y  (3, 4, 4, 5, 2.5, 3.5, 2.5, 3.5, 2, 2) , то из нормального уравнения (16) получим вектор β : β  (2.8, 0.5, 0.5, 2, 0) . Вектор наблюдений y сформирован по аналогии с вектором наблюдений для функции отклика (9). Если из системы координат 2 2 01 x1x2 x3 x4  вернуться к начальной системе координат 0x1x2 x1 x2 , то значения β0 , β11 , β22 при  примут вид: 4 β11   cos sin   2  1           , β0  β0  β11с  β22с  2 . β22   sin cos  0  1 (10). Таким образом, вектор β равен β  (2, 0.5, 0.5, 1, 1) . Мы получили тот же самый вектор β , что и для центрального композиционного плана Применение предлагаемого подхода и метода получения главных центральных осей показано на примере расширения множества центральных композиционных планов для k  2 . Однако данный подход и метод могут быть применены для расширения множества цен- тральных композиционных планов при k  2 . Выводы Предложен подход к расширению множества центральных композиционных планов. Указанный подход основан на представлении задачи построения планов как задачи кон- струирования точечного материального тела, состоящего из точек единичной массы и ко- ординаты которых равны координатам точек плана. Предложен метод, обеспечивающий ортогональное планирование для исходного плана, который основан на построении главных центральных осей для точечного материального тела. Предложенный подход продемонстрирован на примере построения плана на базе цен- трального композиционного плана при k  2 ,   1, который обеспечивает ортогональное планирование.