Прямой метод и алгоритм построения сплайнов третьего порядка в задачах управления работой приводов движения

Полный текст

Введение Основным путем повышения эффективности оборудования является автоматизация основных и вспомогательных производственных операций. Выполнение последних, как правило, сопровождается недетерминированным изменением внешней нагрузки на приводах. В работе [1] на наборе эталонных кривых произведен сравнительный анализ эффективности методов интерполирования траектории перемещения в задаче управления приводами с прогнозированием внешней нагрузки. Результаты показали, что наилучшим методом интерполирования в задачах управления приводом движения является интерполирование сплайнами Фергюссона. Рациональным шагом является проведение дополнительного исследования на предмет возможности модификации метода с целью снижения вычислительных затрат и увеличения точности. В цифровых системах управления вращательным движением при моделировании внешней нагрузки M = M (t, φ (t)), действующей на рабочий вал привода вращательного движения, в виде набора постоянных коэффициентов , имеющих смысл усредненных значений частных производных по времени t и углу поворота вала j, мгновенную величину M (t, φ (t)) в общем случае можно представить в виде скалярного произведения , в котором вектор называемый вектором кинематических характеристик, соответствующим модели , зависит только от t и производных j по t, имеющих порядок от первого до k – порядка модели . При таком способе представления внешней нагрузки для расчета управляющего воздействия в данной системе используется работа A, которую должен совершать двигатель на заданном периоде импульсного управления T. Необходимая величина работы на отрезке изменения времени [ti, ti+1] как функция времени будет рассчитываться по формуле: . (1) Как следует из общего вида формул, получаемых после раскрытия интеграла (1), в них входят только производные j по t, порядков от 1 до k. В частности, в случае использования модели нагрузки второго порядка максимальный порядок производных j по t в формуле (1) равен 2. Поскольку сама зависимость j (t) в (1) явно не входит, то это свойство решаемой задачи можно использовать для упрощения вспомогательной задачи интерполирования траектории перемещения вала по заданным ее узловым точкам. Допустим, задан упорядоченный массив узлов Рi = (ti, ji) (i = 0, ..., n), лежащих на траектории перемещения. Для построения кусочно-полиномиальной кривой второй степени гладкости, проходящей через заданные узлы, наилучшим решением являются интерполяционные кубические сплайны [2, 3], которые на промежутках между узлами представляют собой кубические параболы, непрерывно соединяющиеся в точках t1, ..., tn-1 (называемых внутренними) с гладкостью степени 2. Также они обладают следующим важным свойством. Если наложить на сплайн в начальном и конечном узле краевые условия j¢¢(t0) = j¢¢(tn) = 0, то он будет минимизировать функционал , который в случае перемещения равен минимуму работы, совершаемой инерционными нагрузками, создаваемыми перемещаемым звеном. Рассмотрим глобальную переменную t. В математической форме полная совокупность геометрических условий относительно t, накладываемых на кубические параболы {Si (t), i=1,2,…,n}, имеет вид: а) j (t) = Si (t) при ti-1 £ t £ ti; i =1, 2, …, n. – условие кусочности j (t); б) Si (ti-1) = Pi-1; Si (ti) = Pi, i = 1, 2, …, n – условия прохождения сплайна Si (t) через заданные узлы ломаной Pi-1 и Pi; в) , i = 1, …, n-1 – гладкость порядка 1 во внутренних узлах; г), i=1, …, n-1 – гладкость порядка 2 во внутренних узлах; д) S1¢¢(t0) = Sn¢¢(tn) = 0 краевые условия в начальном и конечном узлах. (2) Общепринятым методом построения кубических интерполяционных сплайнов является использование локальных сплайнов Эрмита. Данные сплайны строят по двукратным узлам ti, в которых помимо значений Si (ti) заданы также величины первых производных Si¢(ti). Поскольку в исходной задаче значения первых производных Si¢(ti) не задаются, их рассматривают в качестве неизвестных величин задачи, для решения которой составляют линейную систему уравнений. Матрица ее трёхдиагональна, что позволяет решать систему при помощи специальной упрощенной модификации метода Гаусса – метода прогонки [1, 2]. Основными стадиями метода прогонки являются: 1) расчет коэффициентов матрицы, 2) прямая прогонка, 3) обратная прогонка. Расчет трудоемкости реализации алгоритма прогонки (таблица 1) показывает, что при максимальном сокращении расчетных формул вычислительные затраты при построении n сплайнов относительно невелики и составляют (после суммирования пп.1 – 3 таблицы 1): сложений 9n-3, умножений 8n-3, делений 4n-2. Существенной особенностью данного метода является то, что: 1) независимой переменной каждого сплайна Si является нормированная на отрезке [ti-1; ti] локальная переменная ti = (t ti-1)/hi, где hi =( ti ti-1), 2) результирующие сплайны Si имеют вид полиномов Эрмита. При каждом расчете значений сплайна Si переход 1) от глобальной переменной t к локальной ti при однократном расчете длин отрезков требуется выполнение одного вычитания и одного деления. Таблица 1 Расчет минимального числа расчетных операций при построении n сплайнов Стадии Сложения и вычитания Умножения Деления 1.Расчет коэффициентов матрицы 5n-2 4n-2 (n-1) 2. Прямая прогонка 3n-1 3n-1 3n-2 3.Обратная прогонка n n 1 4а. Переход к каноническому виду по ti 5n 5n 0 4б. Переход к каноническому виду по t 19n 28n 2n ИТОГО при переходе к каноническому виду по ti, 14n-3 13n-3 4n-2 ИТОГО при переходе к каноническому виду по х 28n-3 36n-3 6n-2 Однако затраты при расчете полинома Эрмита 2) по сравнению с использованием схемы Горнера для кубического полинома (3 сложения и 3 умножения) слишком высоки, и при большом числе расчетов значений сплайна Si необходимо перейти от полинома Эрмита к каноническом виду по локальной переменной ti. Данный переход при максимальном сокращении расчетных формул при построении n сплайнов требует относительно невысоких вычислительных затрат (п.4а таблицы 1): сложений 5n, умножений 5n. Таким образом, для построения n сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от локальных переменных ti, необходимо затратить (сумма пп.1 – 4а таблицы 1): сложений 14n-3, умножений 13n-3, делений 4n-2. Существенной особенностью интерполирования при решении рассмотренной выше задачи управления является то, что в формулы интегралов работ (1) входят только старшие коэффициенты {C1, C2, C3} канонических кубических полиномов, зависящих от глобальной переменной t. Свободный коэффициент C0 не входит. Переход от сплайнов в форме полиномов Эрмита, зависящих от локальных переменных ti, к каноническим полиномам по глобальной переменной t, требует значительных вычислительных затрат (п.4б таблицы 1). В сумме для построения n сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от глобальной переменной t, необходимо затратить (сумма пп.1 – 3 и 4б таблицы 1): сложений 28n-3, умножений 36n-3, делений 6n-2. Постановка задачи Для существенного снижения вычислительных затрат предложен прямой метод построения кубических интерполирующих сплайнов, в котором сплайны рассматриваются сразу в канонической форме по глобальной переменной t без использования полиномов Эрмита, а также не рассчитываются свободные коэффициенты сплайнов C0. Такое интерполирование в отличие от традиционного назовем частичным. Введем для упрощения расчетов новую относительную глобальную переменную t = t – t0. Постановка задачи. На плоскости tOj задан набор из (n +1) точки вида , i = 0 ,…, n. Рассмотрим на отрезках [] кубические сплайны: Si (t) = C0i + C1i t + C2i t2/2 + C3i t3/3, i = 1, …, n. (3) Необходимо найти коэффициенты {C1i, C2i, C3i} всех сплайнов {Si (t)} (i = 1, …, n) из условия гладкости степени 2 во внутренних узлах при заданных краевых условиях: S1¢¢(0) = 0; Sn¢¢(tn) = 0. (4) Поскольку свободные коэффициенты C0i сплайнов {Si (t)} не требуется определять, рассматриваем вместо Si (t) их первые производные, которые являются квадратными параболами вида: Di(t) = (Si (t))t¢ = C1i + C2i t + C3i t2. (5) Таким образом, частичное решение задачи интерполирования (без определения свободных коэффициентов) сплайнов Si (t), зависящих от глобальной переменной t, сведено к полному расчету коэффициентов {C1i, C2i, C3i, i = 1, …, n} соответствующих им квадратных парабол {Di(t)} (5). Прямой метод частичного решения задачи интерполирования Для решения задачи полного расчета коэффициентов {C1i, C2i, C3i, i = 1, …, n} квадратных парабол {Di(t)}, зависящих от глобальной переменной t, предложено использовать упрощённый (по сравнению с прогонкой, основанной на использовании полиномов Эрмита) метод, основная идея которого заключается в непосредственном расчете искомых коэффициентов без использования промежуточных представлений. Поэтому метод назван прямым. Для определённости параболу D1(t) будем называть начальной, параболы D2(t) – Dn-1(t) – внутренними, Dn(t) – конечной. Как и в методе прогонки, в предлагаемом методе для расчета искомых коэффициентов используем прямой и обратный ход. Прямой ход Основная идея прямого хода заключается в том, что старший коэффициент текущей параболы Di(t) (i = 1, …, n-1) линейно выражается через старший квадратный коэффициент C3i+1 следующей за ней параболы Di+1(t), а свободный C1i и линейный C2i коэффициенты параболы Di(t) выражаются C3i: C3i = A3i C3i+1 + B3i; C1i = A1i C3i + B1i; C2i = A2i C3i + B2i. (6) Отдельно рассмотрим начальную параболу D1(t), внутренние параболы D2(t) Dn-1(t) и конечную Dn(t). 1. D1(t). Из условия S1¢¢(0) = 0 следует: (D1(0))¢ = C21+C31×0 = 0. Отсюда получаем: C21 = 0. При этом для коэффициента C21: A21 = В21 = 0. (7) Из условий прохождения сплайна S1(t) через точки и следует: S1 (t0= 0) = C01 = j0; S1 (t1) = C01+ C11 t1 + C21 t12/2 + C31 t13/3 = j1 . Вычтем из второго соотношения первое с учетом C21 = 0: C11t1 + C31 t13/3 = Dj1, где Dj1 = j1 j0. Из этого равенства выразим линейную зависимость C11 (C31): C11 = Dj1 /t1 C31 t12/3 = A11 С31 + В11; A11 = -t12 /3; В11 = Dj1 /t1. (8) Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов C11 и C21 начальной параболы через старший C31 следующие: A11 = -t12 /3 В11 = Dj1/t1 A21 = 0 В21 = 0. (9) Выражение (6) для старшего коэффициента C31 у начальной параболы определяется при анализе параболы D2(t). 2. Рассмотрим внутренние параболы Di(t), i = 2, …, n -1. К началу их анализа для предыдущей параболы Di-1(t) известны линейные зависимости: C1i-1 = A1i-1 C3i-1 + В1i-1; C2i-1 = A2i-1 C3i-1 + В2i-1. (10) Подставим формулы парабол Di-1 (t) и Di (t) в условия гладкости второй степени в узле t = ti-1 для сплайнов Si-1 (t) и Si (t) (Si-1¢(ti-1) = Si¢(ti-1); Si-1¢¢(ti-1) = Si¢¢(ti-1)): C1i-1 + C2i-1 ti-1 + C3i-1 ti-12 = C1i + C2i ti-1 + C3i ti-12; C2i-1 + 2C3i-1 ti-1 = C2i + 2C3i ti-1. Умножая обе части второго соотношения на (-ti-1), складываем его с первым. При этом получим систему уравнений более простого вида: C1i-1 C3i-1 ti-12 = C1i C3i ti-12; C2i-1 + 2C3i-1 ti-1 = C2i + 2C3i ti-1. Подставим в уравнения полученной системы зависимости (10): (A1i-1 ti-12)C3i-1 + В1i-1 = C1i C3i ti-12; (A2i-1 +2ti-1) C3i-1 + В2i-1 = C2i + 2C3i ti-1. (11) Из условий Si (ti-1) = ji-1; Si (ti) = ji получим уравнение: C1i + C2i(ti-1 + ti) /2 + C3i(ti-12 + ti-1ti + ti2) /3 = Dji / Dti, (12) где Dji = Dji ji-1, Dti = ti ti-1. Складывая (12) с первым уравнением (11) и вторым, умноженным на (ti-1 + ti) /2, получим соотношение, содержащее только коэффициенты C3i-1 и C3i: (A1i-1 ti-12)C3i-1 + В1i-1 + (A2i-1 + 2ti-1) C3i-1(ti-1 + ti) /2 + В2i-1(ti-1 + ti) / 2 + C3i(ti-12 + ti-1ti + ti2) /3 = Dji / Dti C3i ti-12 + 2C3iti-1 (ti-1 + ti) / 2. Преобразуя его, выразим C3i-1 через C3i: C3i-1 [A1i-1 + A2i-1(ti-1 + ti) /2 + ti-1ti] = C3i[-(ti-12 + ti-1ti + ti2) /3 + ti-1ti] + Dji / Dti-1 В1i-1 В2i-1(ti-1 + ti)/2; C3i-1 = A3i-1 C3i + B3i-1; где t(i)кв =ti2; A3i-1 = Dt(i)кв / (3К); B3i-1 = (Dji / Dti В1i-1 В2i-1 ticp) /К; ticp = (ti-1 + ti) /2 ; К = A1i-1 + A2i-1ticp + ti-1ti. (13) После подстановки (13) в уравнения системы (11) выражаем из них искомые зависимости C1i(C3i) и C2i(C3i): C1i = (A1i-1 ti-12)C3i-1 + В1i-1 +C3i ti-12 = (A1i-1 ti-12)(A3i-1 C3i-1 + B3i-1) + В1i-1 +C3i ti-12 = A1i C3i + B1i, где Fi = A1i-1 t(i-1)кв; A1i = A3i-1 Fi + t(i-1)кв; B1i = B3i-1 Fi + В1i-1; C2i = (A2i-1 +2ti-1) C3i-1+ В2i-1 2C3i ti-1 = (A2i-1 +2ti-1) (A3i-1 C3i-1 + B3i-1)+ В2i-1 2C3i ti-1 =A2i C3i + B2i; где t(i-1)у2 =2ti-1; Gi = A2i-1 + t(i-1)у2; A2i = A3i-1 Gi t(i-1)у2; B2i = B3i-1 Gi + В2i-1. (14) Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов C1i и C2i и старшего коэффициента C3i-1 параболы Di-1 через старший коэффициент C3i параболы Di следующие: t(i-1)кв=t(i-1) 2; t(i)кв =ti2; ticp = (ti-1 + ti) /2 ; Dji = Dji ji-1, Dti = ti ti-1; К = A1i-1 + A2i-1ticp + ti-1ti; Fi = A1i-1 t(i-1)кв; t(i-1)у2 =2ti-1; Gi = A2i-1 + t(i-1)у2; A3i-1 = Dt(i)кв / (3К); B3i-1 = (Dji / Dti В1i-1 В2i-1 ticp) /К; A1i = A3i-1 Fi + t(i-1)кв; B1i = B3i-1 Fi + В1i-1; A2i = A3i-1 Gi t(i-1)у2; B2i = B3i-1 Gi + В2i-1. (15) 3. Конечная парабола Dn(t). К началу ее анализа для предыдущей параболы Dn-1(t) известны зависимости: C1n-1 = A1n-1C3n-1 + В1n-1; C2n-1 = A2n-1 C3n-1 + В2n-1. (16) Из условий гладкости второй степени в предпоследнем узле t = t n-1 для сплайнов Sn-1(t) и Sn(t) (S n-1¢(tn -1) = Sn¢(tn -1); S n-1¢¢(tn -1) = Sn¢¢(tn -1)) получим: C1n-1 + C2n-1 t n-1 + C3n-1 t n -12 = C1n + C2n t n -1 + C3n t n -12; C2n-1 + 2C3 n-1 t n-1 = C2n + 2C3n t n -1. Аналогично умножаем обе части второго соотношения на (-tn-1), складываем его с первым и получаем систему более простого вида: C1n-1 C3n-1 t n -12 = C1n C3n t n -12; C2n-1 + 2C3n-1 t n -1 = C2n + 2C3n t n -1. Подставим в уравнения системы зависимости (16): (A1n-1 tn -12)C3n-1 + В1n-1 = C1n C3n tn-12; (A2n-1 + 2tn -1)C3n-1 + В2n-1 = C2n + 2C3n t n -1. (17) Аналогично из условий Sn(tn-1) = j n -1; Sn(tn ) = jn получим уравнение: C1n + C2n(tn -1 + t n )/ 2 + C3n(tn -12 + t n -1 t n + t n 2)/ 3 = Dj n / Dt n, (18) где Dj n = Djn j n -1, Dt n = t n t n -1. Дополнительно для данной параболы из второго краевого условия (4) получим еще одно уравнение: C2n + 2C3n tn = 0. (19) Четыре уравнения системы (17) – (19) содержат 4 неизвестных коэффициента: C3n-1; C1n; C2n; C3n. Найдем их величины. Выразим из (17) C2n (C3n): C2n = A3n C3n + B3n, где A3n = 2tn; B3n = 0. (20) Полученное выражение подставим во второе выражение (17) и найдем зависимость C3n -1 (C3n): (A2 n -1 + 2tn -1)C3 n -1 + В2 n -1 = 2C3 n tn + 2C3 n tn -1; C3 n -1 = A3 n -1 C3 n + B3 n -1, где A3n -1 = 2Dtn / (A2 n-1 + 2tn -1); B3 n -1 = В2 n -1 / (A2 n-1 + 2t n -1). (21) Подставляя данную зависимость в первое уравнение (17), найдем из него выражение для C1n (C3n): (A1 n -1 t n -12)[-(2Dt n C3 n + В2 n -1)/(A2 n -1 + 2tn -1)] + В1 n -1 = C1n C3 n t n -12; C1 n = A1 n C3 n + B1 n, где A1 n = [-2Dtn (A1 n -1 tn-12)/(A2 n -1 + 2t n -1) + t n -12]; B1 n =В2 n -1 (A1 n -1 tn -12)/(A2 n -1 + 2tn -1)+В1 n -1. (22) Подставляя зависимости (20) и (22) в уравнение (18), найдем из него выражение для коэффициента C3n: [-2Dtn (A1n -1 t n -12) / (A2 n -1 + 2t n -1) + tn -12]C3 n + В2 n -1(A1 n -1 tn -12)/(A2 n -1 + +2tn -1) + В1 n -1 2C3 n tn(tn -1 + tn)/ 2 + C3 n(tn -12 + tn -1 tn + tn 2)/ 3 = Djn / Dtn; C3 n =[Djn/Dtn-В2 n -1(A1n -1 tn -12)/(A2 n -1 + 2tn-1)-В1n -1]/[-2Dt n(A1n -1-t n -12)/(A2 n -1+ +2tn -1)-2Dtn (2tn -1+tn)/3]. (23) Таким образом, для конечной параболы Dn(t) величина старшего коэффициента C3n определяется не зависимостью вида (6), а формулой (23). Для сокращения числа расчетных операций предложен следующий алгоритм расчета коэффициентов конечной параболы {C1n; C2n; C3 n}и значения старшего коэффициента C3n-1 параболы Dn -1(t): C3 n =[Djn/Dtn-В2 n -1 Е n -В1n -1]/[F n( Е n+(G n+tn)/3]; где t(n-1)кв=tn -12; G n=2tn -1; H n=1/(A2 n-1+G n); Е n=(A1n -1-t (n-1)кв)H n; F n =-2Dt n; C1n = [F nЕ n + t (n -1)кв] C3 n + В2 n -1Е n +В1 n -1; C2n = (2tn) A3n C3n; C3 n -1 = F n H n C3 n В2 n -1H n. (24) Обратный ход. Заключается в последовательном расчете коэффициентов оставшихся квадратных парабол Di(t), i = n-1,…,1. Выполняется в последовательности, обратной прямому ходу. Для каждой параболы Di(t) (i=n-1,…,1) по уже рассчитанному значению старшего коэффициента C3i+1 параболы Di+1(t) по формулам (6) вначале рассчитывается старший коэффициент C3i , а по нему – младшие C1i и C2i. Расчетный алгоритм и оценка его трудоемкости Начальные данные: координаты точек , (i = 0, …, n), t0 = 0. Необходимо определить: массивы коэффициенты {C1i, C2i, C3i} набора сплайнов {Si (t)} (i = 1, …, n), обеспечивающих гладкость второй степени во внутренних узлах при краевых условиях: S0¢(0) = 0; Sn -1¢¢(tn) = 0. Начальные действия. Вводим вспомогательные массивы{A3i}, {В3i}, {A1i}, {В1i}, {A2i}, {В2i}, в которых номера элементов изменяются от 1 до n -1. Поскольку в расчетах коэффициентов соседних парабол повторяются вычисления квадратов значений времени ti, то перед началом вычислений предварительно рассчитываем их: t(i)кв =ti2; 1, …, n . (25) Шаг 1. Прямой ход. Расчет вспомогательных коэффициентов A11, В11, A21, В21 для начальной параболы D1(t). Из (9) следует: A11 = -t(1)кв / 3; В11 = (j1 j0)/t1; A21 = В21 = 0. (26) Шаг 2. Прямой ход. Цикл по внутренним параболам (i = 1, …, n -1). Расчет вспомогательных коэффициентов A1i, В1i, A2i, В2i для внутренней параболы Di(t), а также коэффициентов A3i-1, В3i-1 для параболы Di-1(t) выполняем по формулам (15): ticp = (ti-1 + ti) /2 ; Dji = Dji ji-1, Dti = ti ti-1; К = A1i-1 + A2i-1ticp + ti-1ti; Fi = A1i-1 t(i-1)кв; t(i-1)у2 =2ti-1; Gi = A2i-1 + t(i-1)у2; A3i-1 = Dt(i)кв / (3К); B3i-1 = (Dji / Dti В1i-1 В2i-1 ticp) /К; A1i = A3i-1 Fi + t(i-1)кв; B1i = B3i-1 Fi + В1i-1; A2i = A3i-1 Gi t(i-1)у2; B2i = B3i-1 Gi + В2i-1. (27) Шаг 3. Прямой ход. Расчет коэффициентов C3n, C1n, C2n, C3 n-1 выполняем по формулам (24): G n=2tn -1; H n=1/(A2 n-1+G n); Е n=(A1n -1-t (n-1)кв)H n; F n =-2Dt n; C3 n =[Djn/Dtn-В2 n -1 Е n -В1n -1]/[F n( Е n+(G n+tn)/3]; C1n = [F nЕ n + t (n -1)кв] C3 n + В2 n -1Е n +В1 n -1; C2n = (2tn) A3n C3n; C3 n -1 = F n H n C3 n В2 n -1H n. (28) Шаг 4. Обратный ход. Цикл по параболам с номерами i = n -1, …, 1. Расчет их коэффициентов C1i, C2i, C3i. C3i = A3i C3i+1 + B3i; C1i = A1i C3i + B1i; C2i = A2i C3i + B2i. (29) Замечание. Если необходимо найти свободные коэффициенты сплайнов C0i, например для визуализации формы получаемых сплайнов с целью проверки качества получаемых решений, то их проще всего найти по формуле: C0i = ji C1i ti C2i ti2 /2 C3i ti3 / 3, i = 1, …, n. (30) Суммарные затраты на выполнение прямого сокращенного метода расчета коэффициентов кубических интерполяционных сплайнов представлены в таблице 2. Таблица 2 Количество расчетных операций при построении n сплайнов Стадии Сложения и вычитания Умножения Деления 1. Начальные действия 0 n 0 2. Прямой ход. Расчет переходных коэффициентов A11, В11, A21, В21 для начальной параболы D1(t) (26) 1 0 2 3. Прямой ход. Расчет в цикле по внутренним параболам (i = 1, …, n -1) переходных коэффициентов A1i, В1i, A2i, В2i, A3i-1, В3i-1 (27) 13(n-2) 8(n-2) 4(n-2) 4. Прямой ход. Расчет коэффициентов конечной параболы C3n, C1n, C2n и коэффициента C3 n-1 (28) 10 14 4 5. Обратный ход (29) 3(n-1) 3(n-1) 0 ИТОГО 16n-18 12n-5 4n-2 Заключение Выполненные расчеты трудоемкости алгоритма с применением сплайнов Эрмита и алгоритма прямого частичного расчета коэффициентов кубических интерполяционных сплайнов (таблицы 1 и 2) показывают, что предложенный метод является значительно менее затратным при решении задач управления с прогнозированием. В сравнении с затратами метода прогонки на построение сплайнов, зависящих от глобальной переменной (что требуется в задаче управления с предсказанием), предложенный метод сокращает число каждой из основных операций примерно в 2 раза.

Об авторах

Н. И. Гданский

Университет машиностроения, Российский государственный социальный университет

Email: al-kp@mail.ru
д.т.н. проф.; 8(905)7658738

А. В Карпов

Университет машиностроения, Российский государственный социальный университет

Email: al-kp@mail.ru
доц. к.т.н.; 8(905)7658738

А. А Бугаенко

Университет машиностроения, Российский государственный социальный университет

Email: al-kp@mail.ru
8(905)7658738

Список литературы

Дополнительные файлы