ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРАНСФОРМАТОРА МАЛОЙ МОЩНОСТИ

Полный текст

1. Введение

Трансформатор малой мощности – пожалуй, одно из самых распространённых электромагнитных устройств. Поэтому их оптимальное проектирование является актуальной задачей. Оптимизация любых устройств при проектировании требует формирования критериев оптимизации. В настоящее время чаще всего используется оптимизация трансформатора по минимальной массе или по минимальной стоимости. Первый вариант имеет смысл при проектировании трансформаторов для устройств специального назначения – летательных, космических или подводных аппаратов, портативной техники и т.п. Второй вариант предпочтителен для стационарных установок и устройств бытового назначения.

В качестве критерия оптимизации используется коэффициент , равный отношению массы М_С стального (ферромагнитного) сердечника к массе М_М обмоток (как правило, медных) (рис. 1):

(1)

Рис. 1. Стержневой трансформатор малой мощности

В известной литературе [1] рекомендуется выбирать  = 2...3 при проектировании на минимум массы, и  = 4...6 при проектировании на минимум стоимости.

Основным уравнением, описывающим работу трансформатора, является закон электромагнитной индукции, который при постоянстве числа витков w во времени t выглядит следующим образом [2]:

. (2)

Если токи I, напряжения U, ЭДС e и магнитный поток Ф изменяются по синусоидальному закону, то закон электромагнитной индукции примет вид [3]:

E = 4,44wfФ_M, (3)

где E – действующее значение ЭДС; f – частота тока; Ф_М – амплитудное значение магнитного потока.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для первичной обмотки трансформатора соотношение ЭДС E и напряжений определяется уравнением [2, 3]:

U₁ = -E₁ + I₁  Z₁. (4)

Здесь слагаемое I₁Z₁ – падение напряжения на первичной обмотке составляет обычно только несколько процентов от напряжения питания U₁. Таким образом, ЭДС E₁ лишь немного меньше напряжения питания U₁.

Кроме того, амплитуда магнитного потока Ф_М зависит от амплитудного значения индукции В_М и площади поперечного сечения сердечника S_C:

Ф_M = B_M  S_C. (5)

В свою очередь индукция В_М не может быть больше индукции насыщения сердечника [4], поэтому задаётся свойствами материала сердечника. Таким образом, магнитный поток Ф_М в (3) определяет массу сердечника М_С.

Площадь поперечного сечения обмоточного провода определяется током, который задан в техническом задании. Тогда масса обмоток М_М (меди) пропорциональна числу витков w в (3). Кроме того, заданы частота f и первичное напряжение U₁, которое мало отличается от Е₁ [5]. Тогда из (3), с учётом (4) и (5), получим:

M_MM_C = A, (6)

где A = const – константа для трансформатора.

2. Оптимизация по минимальной массе

Общая масса трансформатора (без учёта изоляционных материалов) состоит из массы сердечника и массы обмоток, и с учётом (6) получим:

,

или:

.

Находим экстремум (минимум массы трансформатора), приравняв нулю производную. Для массы обмоток (меди):

,

Для массы сердечника:

.

Корни двух последних уравнений соответствуют минимуму массы трансформатора:

и

.

Оптимальное значение  по минимуму массы трансформатора равно:

,

а минимальная масса всего трансформатора (без учёта массы изоляционных материалов) равна:

.

Тогда масса трансформатора при любом значении α в относительных единицах (относительно минимальной массы трансформатора M_MIN) в зависимости от :

.

Масса обмоток (меди) при любом значении α в относительных единицах (относительно минимальной массы трансформатора M_MIN) в зависимости от :

.

Масса сердечника (стали) при любом значении α в относительных единицах (относительно минимальной массы трансформатора M_MIN) в зависимости от :

.

По этим зависимостям построены графики на рис. 2.

Рис. 2. Зависимости относительных масс трансформатора, обмоток (меди) и сердечника (стали) от 

Из графика по рис. 2 видно, что минимум массы трансформатор имеет при  = 1.

3. Оптимизация по минимальной стоимости

Общая стоимость Р и цена р за 1 кг материала (меди или стали) – величины не постоянные и изменяются во времени в зависимости от конъюнктуры рынка. Поэтому и соотношение цены за 1 кг листовой или ленточной электротехнической стали p_C и цены за 1 кг обмоточного провода из меди p_M или алюминия может со временем изменяться. Это соотношение обозначим :

.

Стоимость материалов трансформатора без учёта изоляционных материалов:

,

или:

Находим экстремум (минимум стоимости трансформатора). Для массы обмоток (меди):

.

Из этого уравнения находим минимум

.

Также экстремум для сердечника (стали):

.

Корень этого уравнения:

.

То есть минимум стоимости достигается при:

,

Оптимальное значение  по минимуму стоимости трансформатора:

.

Стоимость трансформатора при любом значении β в относительных единицах (относительно минимальной стоимости трансформатора P_MIN) в зависимости от  и :

.

Стоимость материала обмоток (меди) при любом значении β в относительных единицах (относительно минимальной стоимости трансформатора P_MIN) в зависимости от  и :

.

Стоимость материала сердечника (стали) при любом значении β в относительных единицах (относительно минимальной стоимости трансформатора P_MIN) в зависимости от  и :

.

Для примера, в 2024 году электротехническая сталь марки NV23S-110 с толщиной листа 0,15...0,3 мм стоит около 130 руб/кг.

Обмоточный провод в ПЭТВ-2 с диаметром по меди 0,6 мм стоит около 2300 руб/кг.

.

Тогда оптимальное значение  по минимуму цены трансформатора:

.

Графики зависимостей относительных стоимостей трансформатора, обмоток (меди) и сердечника (стали) от  при  = 17,7 показаны на рис. 3.

Рис. 3. Зависимости относительных стоимостей трансформатора, обмоток (меди) и сердечника (стали) от  при  = 17,7

4. Выводы

1) Для минимальной массы трансформатора без учёта стоимости следует выбирать a=1.

2) Для минимальной стоимости трансформатора без учёта массы следует выбирать a=1/b.

3) При увеличении a от 1 до 2 масса трансформатора М увеличивается всего на 6%, а стоимость снижается на 25% (рис. 4). То есть даже если мы проектируем трансформатор по минимальной массе, можно a увеличить до 2, поскольку стоимость всё же имеет значение практически в любом случае.

4) Если стоимость имеет такое же значение, как и масса, то следует выбирать a от 2 до 3, поскольку здесь масса трансформатора М увеличивается уже на 9%, а стоимость снижается только на 14% (рис. 4).

5) При 4 < a < (1/) масса растёт быстрее, чем снижается стоимость, и этот диапазон следует выбирать, если проектируется трансформатор по минимальной стоимости, но всё же с учётом массы в некоторой степени.

Рис. 4. Зависимости относительных массы и стоимости трансформатора от  при =17,7

Об авторах

Виктор Николаевич Чичерюкин

Автор, ответственный за переписку.
Email: chic-kin@mail.ru
ORCID iD: 0009-0006-9452-8819
SPIN-код: 7887-1200

Канд. техн. наук, ст. научн. сотр., доцент.

Доцент.

Каф. Промышленная теплоэнергетика

Список литературы

Дополнительные файлы