Оптимизация переходных процессов следящего пневматического привода с учетом модели трения с эффектом Штрибека

Полный текст

Введение Для исследования воздействия на систему силы трения разработаны различные математические модели трения. Среди таких моделей трения можно выделить: модель вязкого трения, Кулонова трения, модель трения с эффектом Штрибека, а также динамические модели трения, такие как модель Даля или ЛуГре. При рассмотрении влияния таких моделей на устойчивость системы пневматических устройств было выявлено, что модели трения более приближенные к реальности, т.е. учитывающие как можно больше свойств трения, могут оказывать действие на устойчивость системы, т.е. способность системы сохранять текущее состояние при влиянии внешних воздействий [1]. Наиболее широкое распространение получила модель трения, учитывающая эффект Штрибека, так как она обладает наиболее полным описанием процесса трения и относительной простотой. Анализ результатов показывает, что применение модели трения Штрибека для следящего пневматического привода приводит к неустойчивости системы (рис. 1) и возникновению в ней колебаний. Одним из способов получения желаемой точности и качества переходного процесса является применение регуляторов. Очевидно, что для данной системы с целью устранения колебаний необходимо ввести в состав ее структуры ПИД-регулятор и определить оптимальные его параметры. Рис. 1. Графики переходных процессов исполнительного звена пневматического следящего привода при использовании модели трения Штрибека: 1 - график изменения перемещения; 2 - график изменения скорости Fig.1. Transient graphs of the actuator of the pneumatic servo drive when using the Striebeck friction model: 1 - graph of displacement change; 2 - graph of speed change Широкое распространение в области регулирования получили ПИД-регуляторы. Популярность таких регуляторов связана с простотой использования, возможностью применения в различных системах и низкой стоимостью. ПИД-регуляторы применяют в системах управления тогда, когда требуется улучшить как вид переходного процесса, так и точность установившегося значения. Под синтезом такого регулятора понимают расчёт параметров настройки регулятора. Можно выделить следующие методы синтеза ПИД-регуляторов: эмпирическая настройка, методы Зиглера-Никольса и производственные методы, алгебраические методы, методы модaльного синтеза, методы синтеза в частной области, методы оптимального синтеза, метод оптимальной передаточной функции замкнутой системы [2]. Несмотря на то, что к настоящему времени существует большое число рекомендаций по настройке, расчёту и оптимизации параметров типовых регуляторов, универсальной методики их синтеза пока не предложено. При разработке программных алгоритмов определения оптимальных параметров ПИД-регулятора выбор используемого математического алгоритма представляет собой компромисс между точностью приближения к точке оптимума, временными затратами электронной вычислительной машины и простотой реализации [3]. Для технического воплощения ПИД-регулятора необходимо перейти от аналоговой (непрерывной) системы к цифровой (дискретной). Это напрямую связано с тем, что основой всех систем управления является микропроцессор, который оперирует с переменными, полученными из аналоговых сигналов после их дискретизации по времени и квантования по уровню. Для этого необходимо правильно выбрать шаг дискретизации. Кроме того, переход к цифровой системе и правильный выбор шага дискретизации даёт возможность подобрать для системы программируемый логический контроллер. Такой контроллер позволит автоматизировать систему, а значит повысить эффективность и безопасность производственного процесса. Подбор параметров ПИД-регулятора ПИД-регулятор измеряет отклонение стабилизируемой величины от заданного значения и выдаёт управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из которых пропорционально этому отклонению, второе пропорционально интегралу отклонения и третье пропорционально производной отклонения [4]. Такой регулятор описывается выражением: , (1) где - время; - коэффициент пропорциональности; постоянная интегрирования; постоянная дифференцирования; сигнал рассогласования (ошибка) [5]. Тогда передаточная функция регулятора имеет вид: , (2) где - оператор Лапласа; коэффициент интегрирующего звена; коэффициент дифференцирующего звена; коэффициент фильтра. Фильтр используется для ослабления помех, усиленных дифференциатором. Блок-схема регулятора представлена на рисунке 2. Рис 2. Блок-схема ПИД-регулятора [5] Fig. 2. PID controller block diagram [5] Задачей оптимизации называется задача поиска минимума скалярной функции на множестве значений ее аргумента, удовлетворяющих некоторым ограничениям [6]. В отношении ПИД-регулятора задача оптимизации - определение оптимальных коэффициентов (параметров) регулятора, удовлетворяющих критериям качества переходных процессов системы. В настоящее время существует большое разнообразие алгоритмов и методов поиска оптимума, основанных на различных математических методах. Их можно разделить на два типа: методы локальной оптимизации и глобальной. Преимуществами методов локальной оптимизации является уменьшение временных затрат на поиск решения по сравнению с глобальными, однако возможно попадание решения в локальный минимум. Одним из таких методов локальной оптимизации является метод градиентного спуска. Основная идея метода градиентного спуска состоит в нахождении локального минимума или максимума функции, двигаясь в направлении ее наиболее быстрого убывания, которое определяется антиградиентом: , (3) где номер итерации определения оптимального параметра; градиент функции; шаг, с которым осуществляется градиентный спуск (на практике шаг может выбираться постоянным, дробным, переменным). Применение постоянного или дробного шага может привести к расходимости метода. Поэтому целесообразно выбирать шаг градиентного спуска переменным, что позволяет сократить количество итераций и увеличить вероятность сходимости. Такой метод требует определение шага при помощи одномерной оптимизации. При использовании дифференцируемого по каждому параметру ПИД-регулятора шага градиентного спуска сходимость метода улучшается, а количество итераций поиска оптимума уменьшается [3]. Формулы при использовании дифференцированного шага преображаются: (4) Шаг по каждому параметру ПИД-регулятора определяется исходя из следующих условий [3]: (5) Как известно, основным недостатком методов локальной оптимизации является то, что если функция помимо глобального экстремума имеет несколько локальных минимумов, то решение может сойтись к одному из них. Для устранения этой проблемы следует разбивать всю область поиска оптимальных параметров регулятора на части и для каждой части определять свой минимум. Тогда глобальный экстремум можно определить при анализе локального минимума каждой части. В качестве критерия оптимизации используется интегральный критерий, реализующий математическую зависимость: , (6) где входной сигнал, подаваемый в блок оптимизации [5]. Если выполнен критерий останова, т.е. найдены оптимальные значения коэффициентов ПИД-регулятора, удовлетворяющие заданным условиям, то возвращается текущее значение , , . Переход от аналоговой (непрерывной) системы к цифровой (дискретной) Развитие вычислительной техники привело к распространению цифровой обработки информации. Это связано с тем, что логика в современных компьютерах построена на дискретных системах. Дискретной называется система, в состав которой помимо непрерывных динамических звеньев входит хотя бы один элемент, производящий квантование непрерывного сигнала в дискретный [7]. Такой переход имеет несколько положительных сторон. Во-первых, переход от аналоговой системы к цифровой существенно уменьшает количество поступающих данных. Иными словами, можно использовать данные, взятые через определённые промежутки времени, и извлекать и передавать информацию для обработки цифровыми устройствами. Таким образом, при рациональном выборе шага дискретизации можно снизить затраты на хранение и обработку полученной информации. Во-вторых, аналоговая система управления не может обеспечить таких же высоких показателей точности позиционирования, как дискретная, из-за дрейфа нуля операционных усилителей (самопроизвольного отклонения напряжения или тока на выходе усилителя от начального значения), на которых, как правило, реализуются устройства управления. Дискретные системы обладают более высокой помехозащищенностью и устойчивостью к возмущениям, имеют меньшие габариты и вес [7]. Для перехода из аналоговой системы к цифровой необходимо представить ПИД-регулятор в дискретном виде. Также для соединения цифровой части математической модели и ее аналоговой части необходимо использовать экстраполятор нулевого порядка. Экстраполятор применяется для связывания квантованных данных с непрерывными [5]. Тогда передаточная функция цифрового ПИД-регулятора имеет вид: , (7) где дискретный преобразователь; период дискретизации. Дискретизация по времени является первым этапом преобразования аналогового сигнала в последовательность цифровых отсчетов. Так как в процессе дискретизации аналоговый сигнал заменяется отсчетами, взятыми через интервал дискретизации , то весьма важным является правильный выбор значения этого интервала. При увеличении может оказаться, что в паузах между последовательными отсчетами аналоговый сигнал заметно меняется, и это может привести к потере информации. При уменьшении дискретный сигнал точнее соответствует исходному аналоговому, так как при уменьшении длительности паузы между последовательными отсчетами разница между значениями отсчетов также уменьшается. Оптимальным значением периода дискретизации принято считать такое значение , при котором обеспечивается восстановление исходного аналогового сигнала по совокупности его дискретных отсчетов. Для определения этого значения существует несколько подходов. Первый метод определения периода дискретизации на основании теоремы Котельникова (теоремы отсчетов). Минимальное значение частоты дискретизации должно удовлетворять равенству: , (8) где частота дискретизации сигнала; частота спектра сигнала. Различные радиотехнические устройства (фильтры, усилители и другие) имеют ограниченную полосу пропускания, что приводит к ограничению спектра сигнала некоторой граничной частотой , которая определяется свойствами получателя. Частота спектра определяется при разложении в ряд Фурье с заданной точностью. Стоит заметить, что при увеличении частоты дискретизации более чем в 2 раза по сравнению с верхней частотой спектра возмущающих сигналов (по теореме Котельникова), дальнейшего улучшения качества регулирования не происходит. При выборе времени дискретизации необходимо учитывать также то, что время переходного процесса должно превышать период дискретизации . На практике используют второй способ, основанный на анализе вида переходного процесса: для выполнения требуемого качества регулирования шаг дискретизации не должен быть больше чем 1/15...1/6 от времени переходного процесса, или выбирается так, чтобы сделать влияние дискретизации незначительным, рекомендуют скорость квантования выбрать в 5-10 раз больше, чем полоса пропускания замкнутого контура [5]. Анализ результатов Для получения качественного управления ПИД-регулятор необходимо настроить по заданным критериям качества. В данной задаче критерием качества было выбрано качество переходного процесса, так как основной задачей работы была настройка ПИД-регулятора для получения наилучшего переходного процесса, что подразумевает минимальную колебательность, максимальную точность и устойчивость системы. Как известно, основными показателями для оценки качества переходного процесса являются: время переходного процесса (время, по истечению которого переходный процесс попадает в канал допустимых отклонений ( ) [1]), статическая ошибка и динамическая ошибка. А значит, необходимо подбирать параметры ПИД-регулятора так, чтобы эти показатели были минимальными. Критериями качества для оптимизации переходного процесса данной системы были заданы: начальное значение - 0 м, время роста - 5 секунд, время регулирования (время переходного процесса) - 7 секунд, перерегулирование - 10 %, установившееся значение - 0,1 м, рост - 80 %, зона установления (канал допустимых отклонений) - 5 %, спад - 1 % (рис. 3). Рис. 3. Показатели качества переходного процесса [8] Fig. 3. Transient quality indicators [8] Как видно из рис. 4, график переходного процесса скорости описывает астатическую систему. Система регулирования называется астатической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому установившемуся постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия [9]. В астатических САУ конечное и исходное состояния равновесия совпадают, поэтому у них динамическая ошибка принимается равной максимальному отклонению параметра в процессе регулирования [10]. Тогда канал заданных отклонений определяется исходя из значения динамической ошибки ( ). Для неустойчивой системы (рис. 4) с целью анализа и сравнения результатов приведены значения максимальной амплитуды и периода колебаний. Оценка качества переходных процессов перемещения и скорости исполнительного звена пневматического следящего привода - пневматического цилиндра (далее ПЦ) представлена в таблице 1. Рис. 4. Графики переходных процессов исполнительного звена пневматического следящего привода при использовании модели трения с эффектом Штрибека аналоговой системы: 1(а) - график переходного процесса перемещения без ПИД-регулятора; 1(б) - график переходного процесса скорости без ПИД-регулятора; 2(а) - график переходного процесса перемещения при использовании ПИД-регулятора; 2(б) - график переходного процесса скорости при использовании ПИД-регулятора Fig.4. Transient graphs of the actuator of the pneumatic servo drive when using the friction model with the Striebeck effect of the analog system: 1(а) - graph of the transient process of movement without a PID controller; 1(b) - speed transient graph without PID controller; 2(а) - PID displacement transient graph; 2(б) - speed transient graph when using a PID controller Таблица 1 Оценка качества переходных процессов ПЦ аналоговой системы с ПИД-регулятором и без него Table 1. Evaluation of the quality of transient processes of analog system with and without PID controller Без ПИД-регулятора При использовании ПИД-регулятора Переходный процесс перемещения ПЦ Переходный процесс скорости ПЦ Переходный процесс перемещения ПЦ Переходный процесс скорости ПЦ Время переходного процесса (период колебаний), с 8.9 9 3.4 2.9 Динамическая ошибка (максимальная амплитуда), м 0.16 0.157 0 0.176 Статическая ошибка, % 0 0 0 0 Для перехода к дискретной системе необходимо определить период дискретизации. В соответствии с вышеописанным методом период дискретизации исследуемой системы принимаем равным 0,2 с. Графики переходных процессов аналоговой и цифровой системы и оценка их качества представлены на рис. 5 и в таблице 2. Рис. 5. Графики переходных процессов исполнительного звена пневматического следящего привода при использовании модели трения с эффектом Штрибека и ПИД-регулятора: 1(a) - аналоговая система; 2 - дискретная система ( = 0,2 с) Fig.5. Transient graphs of the actuator of the pneumatic servo drive when using the friction model with the Striebeck effect and the PID controller: 1(a) - analog system; 2 - discrete system ( = 0,2 s) Таблица 2 Оценка качества переходных процессов ПЦ аналоговой и дискретной системы Table 2. Evaluation of the quality of transient processes of analog and discrete systems Аналоговая система Дискретная система Переходный процесс перемещения ПЦ Переходный процесс скорости ПЦ Переходный процесс перемещения ПЦ Переходный процесс скорости ПЦ Время переходного процесса, с 3.4 2.9 3.7 4.9 Динамическая ошибка, % 0 0.176 0 0.18 Статическая ошибка, % 0 0 0 0 Определим значения погрешностей между критериями качества преходных процессов аналоговой и цифровой системы (табл. 3) по формуле: , (9) где значение параметра аналоговой системы; - значение параметра цифровой системы. Таблица 3 Оценка погрешностей аналоговой и дискретной системы Table 3. Error estimation for analog and discrete systems Переходный процесс перемещения ПЦ Переходный процесс скорости ПЦ Погрешность времени переходного процесса, % 8 68 Погрешность динамическая ошибки, % 0 2 Погрешность статическая ошибки, % 0 0 Можно заметить, что ошибка переходных процессов аналоговой и цифровой системы достаточно велика, а значит, требуется уточнить параметр . Рекомендуется выбирать время дискретизации так, чтобы погрешности между критериями качества аналоговой и цифровой систем были менее одного процента, тогда можно говорить о корректности работы дискретной системы и правильности выбора контроллера. Поэтому метод на основе анализа вида переходного процесса подходит лишь для выбора начального приближения времени дискретизации. Для достижения поставленной задачи необходимо уменьшить время дискретизации до = 0,001. Результаты расчётов представлены на рис. 4-6. Рис. 6. Графики переходных процессов исполнительного звена пневматического следящего привода при использовании модели трения с эффектом Штрибека и ПИД-регулятора: 1 - аналоговая система; 2 - дискретная система ( = 0,001 с) Fig. 6. Transient graphs of the actuator of the pneumatic servo drive when using the friction model with the Striebeck effect and the PID controller: 1 - analog system; 2 - discrete system ( = 0,001 s) Из рис. 6 видно, что при = 0,001 с графики переходных процессов практически полностью совпадают. Погрешность критериев качества таких графиков составляет менее 1%, а значит время дискретизации выбрано верно. С целью автоматизации системы рекомендуется установить программируемый логический контроллер. Контроллер позволяет осуществлять длительное автономное управление системой, зачастую в неблагоприятных условиях окружающей среды, без серьезного обслуживания и практически без вмешательства человека. Выбор программируемого контроллера является важной и сложной задачей при создании систем автоматического управления технологическими процессами. Основным решающим фактором при выборе контроллера является его быстродействие. Реакция контроллера напрямую зависит от числа и частоты опрашивания входов/выходов контроллера, а также от мощности самого процессора. Таким образом, чем большую частоту дискретизации и меньший период дискретизации имеет контроллер, тем выше его быстродействие. Если контроллер используется не только для регулирования, но и для аварийной сигнализации, то такт дискретизации не может быть меньше, чем допустимая задержка срабатывания сигнала аварии. Пневматические следящие системы требуют большей надежности и точности позиционирования, аналогичные требования предъявляются и к устройствам автоматизации таких систем. Стандартные промышленные контроллеры с частотой 50 Гц (при = 0,1) не могут обеспечить необходимой точности регулирования. Поэтому для управления исследуемой системой пневматического следящего привода стоит применять контроллеры с частотой порядка 1кГц (при = 0,001). Данное время дискретизации позволяет реализовать современные промышленные контроллеры специального назначения, выпускаемые серийно [11]. Производителями таких устройств являются компании: Advantech, VIPA, Schneider Electric, Siemens и др. Выводы 1. Использование ПИД-регулятора для следящего пневматического привода позволяет устранить колебания (автоколебания) и вывести систему в устойчивое состояние, а применение метода градиентного спуска для определения параметров такого регулятора добиться высокого качества переходных процессов. 2. Метод определения периода дискретизации, основанный на анализе переходного процесса, имеет относительную погрешность более 1%, поэтому рекомендуется использовать его как начальное приближение. Для достижения точности с ошибкой менее 1% рекомендуется уменьшить период дискретизации. 3. Уменьшение периода дискретизации позволяет добиться минимальной погрешности между аналоговой и цифровой системой. Отклонения параметров переходных процессов непрерывных и дискретных систем должны составлять не более 1%. Для автоматизации таких цифровых систем, при частоте порядка 1кГц, стоит применять контроллеры специального назначения.

Об авторах

В. А Киреева

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Email: valyavalenti97@yandex.ru
Москва, Россия

К. А Труханов

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

д.т.н. Москва, Россия

Список литературы

Дополнительные файлы