Evaluation of indicators of curvilinear movement of a road train using mathematical simulation

Full Text

Введение Широко распространенным способом перевозки крупногабаритных и тяжеловесных неделимых грузов по дорогам и местности является применение многоосных колесных транспортных комплексов, представляющих собой автопоезда. При этом вследствие значительных габаритных размеров одним из важнейших свойств таких машин является поворотливость, то есть возможность двигаться по траектории большой кривизны на ограниченной площади, что особенно актуально при проведении погрузочно-разгрузочных работ. Закономерным решением, призванным повысить маневренность автопоездов, является применение поворотных колес на прицепном звене. Тем не менее реализация подобных систем влечет за собой усложнение и удорожание конструкции, а также дополнительные затраты мощности на привод поворота колес. В связи с этим оценка эффективности применения всеколесного рулевого управления прицепного звена автопоезда на этапе проектирования является актуальной задачей. Для оценки поворотливости автопоездов рациональным подходом является метод математического моделирования, позволяющий учитывать особенности взаимодействия колесного движителя с опорной поверхностью, перераспределение нормальных реакций между опорно-ходовыми модулями, а также силовые факторы, возникающие в сцепном устройстве и обеспечивающие взаимодействие между тягачом и прицепным звеном. Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо создать математическую модель движения многоосного колесного автопоезда, позволяющую учитывать перечисленные особенности взаимодействия машины с внешней средой. Транспортное средство при этом целесообразно рассматривать в виде совокупности твердых тел, движущихся в пространстве под действием внешних возмущений и объединенных шарнирными и силовыми связями [1, 2, 3]. В общем случае в зависимости от конфигурации машины и требуемой точности имитации движения, для описания автопоезда может использоваться различное количество тел и связей, что потребует составлять каждый раз новую систему дифференциальных уравнений. В связи с этим, для автоматизации синтеза указанной системы уравнений при создании модели целесообразно применять обобщенный подход к моделированию динамики систем тел, реализованный в таких программных комплексах как: ADAMS [4], Euler [5], Универсальный механизм [6], ФРУНД [7], MATLAB Simscape/Multibody [8, 9]. Указанный подход является распространенным при решении задач динамики автопоездов [10]. При этом важнейшим вопросом остается создание математической модели взаимодействия движителя с опорной поверхностью (ОП), позволяющей учитывать пространственное движение транспортного средства как системы твердых тел. Математическая модель взаимодействия колесного движителя с опорной поверхностью В рамках данной работы предполагается исследование поворотливости колесного автопоезда, в связи с этим считается, что транспортное средство движется по опорной поверхности типа «плотный грунт». Под ОП такого типа понимается поверхность, малодеформируемая по нормали и в касательной плоскости, а бульдозерный и экскавационный эффекты при взаимодействии движителя с ОП отсутствуют. Представленное в данном разделе математическое описание взаимодействия колесного движителя с опорной поверхностью типа «плотный грунт» предназначено для обеспечения возможности исследования прямолинейного и криволинейного движения колесных машин как по плоской опорной поверхности, так и (в случае необходимости) по гладким неровностям рельефа, габаритные размеры которых превышают диаметр колеса. В связи с этим при создании математической модели взаимодействия колеса с опорной поверхностью (ОП) приняты следующие допущения: · пятно контакта шины с ОП представляет собой прямоугольную площадку постоянных габаритных размеров; · эпюра нормальных напряжений распределена равномерно по площади пятна контакта; · взаимодействие колеса с опорным основанием в направлении нормали к опорной поверхности описывается упруго-демпфирующей неудерживающей силовой связью; · касательная сила взаимодействия в каждом элементе пятна контакта с опорным основанием направлена против скорости скольжения этого элемента; · проекция центра колеса по нормали к опорной поверхности совпадает с центром пятна контакта; · опорная поверхность задается функциональной зависимостью вертикальной координаты макропрофиля от продольной и поперечной координат рассматриваемого участка местности в неподвижной системе координат ; · вектор нормали к опорной поверхности в каждом элементе пятна контакта незначительно отличается от вектора нормали, соответствующего точке опорной поверхности, расположенной под центром колеса вдоль вертикальной оси. Перейдем к описанию взаимодействия колеса с опорным основанием. В связи с тем, что взаимодействие колеса с ОП в направлении нормали к опорной поверхности описывается упруго-демпфирующей связью, для вычисления значения сил необходимо определить деформацию шины, а также скорость ее изменения. Так, величина деформации шины может быть вычислена как: (2) где - деформация шины; - свободный радиус колеса; - динамический радиус колеса. Так как динамический радиус представляет собой расстояние от оси колеса до опорной поверхности, то при принятых допущениях он может быть вычислен как проекция вектора, направленного из центра колеса к опорной поверхности вдоль оси Z на нормаль в центре пятна контакта (принято допущение, что нормаль в каждой точке контакта и непосредственно под центром колеса в направлении оси Z отличаются слабо, рис. 1): (3) где - координаты центра колеса в глобальной системе координат (определяются в результате интегрирования уравнений динамики машины в каждый момент времени). Рис. 1. Расчетная схема определения деформации шины Fig. 1. Design scheme for determining tire deformation Взаимодействие колеса с ОП носит неудерживающий характер, в связи с этим если , то величины всех силовых факторов, возникающих в пятне контакта, принимаются равными 0 и дальнейших вычислений не производится. Скорость деформации шины есть абсолютная скорость центра колеса в направлении нормали к опорной поверхности, то есть: (4) где - скорость колеса в глобальной системе координат (определяется в результате интегрирования уравнений динамики машины в каждый момент времени). В связи с тем, что эпюра нормальных напряжений распределена равномерно по пятну контакта, величину суммарной нормальной реакции, действующей на колесо, можно определить как: (5) где - величина суммарной нормальной реакции, действующей на колесо; - жесткость шины; - коэффициент демпфирования шины. Для анализа режимов нагружения рулевого привода необходимо определить момент сопротивления повороту колеса, возникающий вследствие скольжения элементов контакта шины по опорной поверхности. В связи с этим пятно контакта разбивается на конечное число элементарных площадок , тогда , (6) где - составляющая нормальной реакции, действующая на каждую элементарную площадку пятна контакта; За счет того, что эпюра нормальных напряжений распределена равномерно по пятну контакта, в рамках исследования движения машины будет получена гарантированная оценка режимов нагружения рулевого привода. Подход к определению касательной составляющей силы взаимодействия каждой элементарной площадки пятна контакта с опорной поверхностью основывается на представлении об «эллипсе трения». Считается, что вектор касательной реакции каждой элементарной площадки направлен против скорости скольжения центра этой площадки (рис. 2) [11]. Рис. 2. Расчетная схема взаимодействия колеса с опорным основанием Fig. 2. Design scheme of interaction of the wheel with the support base Для определения величины и направления скорости скольжения каждой элементарной площадки необходимо из абсолютной скорости ее центра в глобальной системе координат вычесть составляющую, направленную по нормали к опорной поверхности (рис. 2): (7) где - вектор абсолютной скорости центра i-ой элементарной площадки в глобальной системе координат; - вектор угловой скорости поворота колеса в глобальной системе координат (определяется в результате интегрирования уравнений динамики машины в каждый момент времени); - радиус-вектор расположения центра i-ой элементарной площадки относительно центра колеса (в компонентах проекций на оси глобальной системы координат); - проекция вектора абсолютной скорости центра элементарной площадки на вектор нормали к опорной поверхности; - вектор скорости скольжения центра i-ой элементарной площадки. Компоненты вектора вычисляются следующим образом. В связи с тем, что геометрические размеры пятна контакта приняты постоянными, координаты каждой элементарной площадки относительно его центра известны (рис. 2): , . Далее определяется ориентация рассматриваемого пятна контакта в пространстве. Очевидно, что продольная его ось (пятна контакта) должна быть перпендикулярна вектору нормали к опорной поверхности в точке контакта, а также оси вращения колеса, тогда: , (8) где - орт, определяющий продольную ось пятна контакта; - нормаль к плоскости вращения колеса (ось вращения колеса). Поперечная ось пятна контакта определяется аналогичным образом: , (9) где - орт, определяющий поперечную ось пятна контакта. Ось вращения колеса (нормаль к плоскости вращения колеса) изменяется в процессе движения машины, в связи с чем может быть найдена при помощи матрицы поворота , осуществляющей переход из локальной системы координат, связанной с центром колеса, в глобальную систему координат . , (10) где - матрица поворота из локальной системы координат, связанной с центром колеса, в глобальную систему координат (определяется в ходе интегрирования уравнений динамики машины в каждый момент времени); - положение нормали к плоскости вращения колеса в первый момент времени (если оси локальной системы координат колеса в начальный момент времени были сонаправлены с осями , то ). Таким образом, получены направляющие орты, позволяющие определить ориентацию площадки контакта в глобальной системе координат и определить вектор . . (11) Знак «минус» необходим для изменения направления вектора нормали - от центра колеса к опорной поверхности. Известно [11, 12, 13], что величина касательной, составляющей силы взаимодействия колеса с опорным основанием, определяется произведением коэффициента взаимодействия колеса с ОП на нормальную реакцию. Распространим указанное допущение на каждую элементарную площадку пятна контакта, тогда: (12) где - касательная составляющая силы взаимодействия с опорным основанием i-ой элементарной площадки пятна контакта; - коэффициент взаимодействия i-ой элементарной площадки с опорным основанием. Величина коэффициента зависит от большого количества факторов, наиболее значимыми из которых являются коэффициент скольжения и тип опорной поверхности. Так, зависимость от указанных факторов в случае несвязных грунтов описывается следующей экспоненциальной зависимостью [14]: . (13) где - максимальный коэффициент взаимодействия i-ой элементарной площадки с опорным основанием при ; - коэффициент скольжения центра i-ой элементарной площадки; - коэффициент, определяющий форму кривой . Для вычисления коэффициента скольжения центра каждой элементарной площадки помимо скорости скольжения необходимо определить величину ее переносной и относительной скорости (рис. 2). Относительная скорость движения центра каждой элементарной площадки соответствует окружной скорости вращения колеса: (14) где - относительная скорость центра i-ой элементарной площадки; - величина угловой скорости колеса относительно оси вращения; - радиус качения колеса без скольжения (в свободном режиме). В случае, если величина неизвестна, ее можно приближенно оценить через свободный радиус колеса [15]: (15) Переносная скорость центра каждой элементарной площадки может быть определена как разность между скоростью скольжения и относительной скоростью : (16) где - переносная скорость центра i-ой элементарной площадки. Теперь величина коэффициента скольжения i-ой элементарной площадки может быть найдена по формуле: (17) В общем случае взаимодействие колеса с опорным основанием не изотропно, что связано с геометрией контактной поверхности колеса, например, наличием грунтозацепов. В связи с этим для определения коэффициента для текущего направления скорости скольжения используется эллиптическая зависимость (рис.3) [16]. Рис. 3. Эллипс трения Fig.3. Friction ellipse Примем допущение, что максимальный коэффициент взаимодействия каждой элементарной площадки с опорным основанием описывается эллипсом с параметрами и такими же, как и для пятна контакта в целом, тогда: (18) где - максимальные коэффициенты взаимодействия колеса с опорным основанием в продольном и поперечном направлениях; - угол между продольной осью пятна контакта и направлением скорости скольжения i-ой элементарной площадки. Величины косинуса и синуса угла направления скорости скольжения определяются с помощью проекций скорости скольжения на продольную и поперечную оси пятна контакта: (19) Таким образом, на основании вышеизложенного вектор силы взаимодействия i-ой элементарной площадки с опорным основанием определяется как (рисунок 3): (20) Далее, вектор суммарной силы взаимодействия колеса с опорным основанием вычисляется по формуле: (21) Проекции суммарной силы взаимодействия на оси пятна контакта определяются как: (22) где - продольная и поперечная составляющие касательной реакции в контакте колеса с опорной поверхностью. Известно, что мощность, подводимая к колесу машины через трансмиссию, расходуется на совершение полезной работы - создание тяги, а также на гистерезисные потери в эластичной шине. В связи с этим момент сопротивления вращению колеса , нагружающий трансмиссию машины, вычисляется следующим образом: (23) где - коэффициент сопротивления качению колеса в ведомом режиме. Тогда, очевидно, что момент должен соответствовать проекции момента взаимодействия колеса с опорным основанием в направлении его оси вращения. Таким образом, общий вектор момента взаимодействия колеса с опорным основанием представляет собой момент от силы, реализуемой в элементарных площадках , с учетом гистерезисных потерь в шине, и может быть определен как: (24) Знак «минус» перед обусловлен тем, что положительная величина силы создает отрицательный момент относительно оси вращения колеса. Представленный подход к описанию взаимодействия колеса с опорным основанием был реализован в программном комплексе MATLAB Simulink. Математическая модель динамики автопоезда Для исследования поворотливости колесного автопоезда была создана имитационная математическая модель, структурная схема которой показана на рис. 4. Модель выполнена на базе программного комплекса MATLAB, с использованием стандартных блоков библиотек Simulink и Simscape/MultiBody. Рис. 4. Пользовательский интерфейс модели, выполненной в программном комплексе автоматизированного анализа динамики систем твердых тел Fig. 4. User interface of the model made in the software for automated analysis of the dynamics of rigid body systems Разработанная модель была разбита на функциональные блоки, соответствующие узлам транспортной машины. Так, корпус тягача и прицеп представляют собой твердые тела, обладающее соответствующими массо-инерционными характеристиками. Поворотные кулаки колес также представляются твердыми телами и связаны с корпусом при помощи инструмента создания вращательного шарнира Revolute Joint, обеспечивающего возможность поворота вокруг вертикальной оси. Координаты точек связи поворотных кулаков с корпусом машины соответствуют геометрическим параметрам рассматриваемого объекта исследования. Поскольку в данной работе исследуется поворотливость, то на первом этапе движение колесной машины осуществляется по ровной горизонтальной опорной поверхности, в связи с чем система подрессоривания транспортного средства не моделируется. Колеса тягача и прицепного звена также представлены твердыми телами и связаны с поворотными кулаками при помощи вращательных шарниров Revolute Joint, обеспечивающих возможность их поворота относительно осей вращения. Тягач связан с прицепным звеном через седельно-сцепное устройство, которое в разрабатываемой модели представлено в виде сферического шарнира Spherical Joint, имеющего три вращательные степени свободы. Разработанная имитационная модель позволяет исследовать движение автопоезда в пространстве с учётом кинематики поворота колес, а также взаимного влияния тягача и прицепа в процессе движения. При этом для проведения вычислительных экспериментов по оценке поворотливости транспортного средства модель дополнена блоком рулевого управления, согласующим углы поворота управляемых колес с задающим воздействием. Рулевое управление Кривизна траектории движения задаётся водителем транспортного средства с помощью рулевого колеса. Взаимосвязь между задаваемой кривизной траектории и углами поворота управляемых колёс описывается при помощи геометрии «Аккермана» [17]. Рис. 5. Схема поворота согласно геометрии «Аккермана» Fig. 5. Turning scheme according to the Ackermann steering geometry Так, при традиционной схеме рулевого управления (рис. 5) уравнение связи теоретической кривизны траектории и угла поворота i-го колеса в общем виде имеет вид: (25) где - требуемый угол поворота -го колеса; - продольная координата -го колеса относительно центра масс машины; - продольная координата последнего колеса (последней оси) относительно центра масс машины; - координата полюса поворота, отсчитываемая относительно последней оси машины; - кинематический радиус поворота транспортного средства ( ); - поперечная координата -го колеса относительно центра масс машины. В зависимости от формулы рулевого управления часть осей может являться неповоротными, в этом случае углы поворота соответствующих колес принимаются равными нулю. Для оценки нагруженности элементов рулевого привода управление поворотом колёс осуществляется силовым методом. Система управлений построена на основе пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) регулятора с использованием обратной связи по углу поворота колеса. Ошибка регулирования определяется как разница между требуемым углом поворота колеса и текущим, который в данный момент времени реализован в имитационной модели: (26) где - требуемый угол поворота колеса; - текущий угол поворота колеса. Величина параметра управления привода механизма поворота колеса, необходимая для реализации , определяется при помощи ПИД регулятора: (27) где - параметр управления привода механизма поворота; - пропорциональный, интегральный и дифференциальный коэффициенты ПИД регулятора. Полученный параметр управления привода механизма поворота позволяет осуществлять регулирование крутящего момента (например, в долях от заданной максимальной величины), обеспечивающего вращение поворотного кулака на заданный угол, а также удержание его в заданном положении. Результаты исследования Для проведения исследования выбран автопоезд полной массой 110 тонн, геометрические параметры которого приведены на рис. . В качестве оценочного параметра поворотливости автопоезда выбрана потребная ширина коридора по следам наружнего (забегающего) и внутреннего (отстающего) колес. Для проведения сравнительных исследований виртуальные эксперименты проводились для двух вариантов рулевого управления автопоезда: · колеса прицепа неповоротные (формула рулевого управления 1-2-0-4 - 0-0-0-0-0); · все колеса прицепа поворотные (управляемые, формула рулевого управления 1-2-0-4 - 1-2-3-4-5). Рис. 6. Геометрические параметры объекта исследования Fig. 6. Geometric parameters of the research object Полюс рулевого управления тягача расположен в центре третьей оси. Расположение полюса рулевого управления прицепа получено путем многократных вычислительных экспериментов с применением разработанной модели. Установлено, что его рациональное расположение находится на расстоянии порядка 7,5 м от центра седельно-сцепного устройства. Полученная в ходе виртуальных испытаний зависимость потребной ширины коридора от радиуса поворота автопоезда в случае поворотных и неповоротных колес прицепа представлена на рис. . При моделировании считалось, что транспортное средство движется по опорной поверхности «грунтовая дорога» (коэффициент сопротивления качению - 0,03, максимальный коэффициент взаимодействия движителя с опорной поверхностью - 0,5 [18]). Скорость движения поддерживалась постоянной на уровне 5 км/ч. Рис. 7. Зависимость требуемой ширины коридора от радиуса поворота Fig. 7. Dependence of the required width of the corridor on the turning radius В таблицах 1 и 2 представлены результаты моделирования для ряда расчетных теоретических радиусов поворота. Таблица 1 Результаты моделирования автопоезда с неповоротными колёсами прицепа Table 1. Simulation results of a road train with non-swivel trailer wheels Радиус поворота (теоретический), м Радиус поворота тягача (фактичес-кий), м Радиус поворота прицепа (факти-ческий), м Радиус траектории движения забегающего колеса, м Радиус траектории движения отстающего колеса, м Потребная ширина коридора (по колёсам), м 25 21,6 16,38 23,23 15,08 8,15 30 25,09 20,96 26,64 19,66 6,98 40 32,42 29,36 33,9 28,05 5,85 50 40,65 38,27 42,11 36,95 5,16 80 65,05 63,59 66,47 62,26 4,21 Таблица 2 Результаты моделирования автопоезда с поворотными колёсами прицепа Table 2. Simulation results of a road train with swivel trailer wheels Радиус поворота (теоретический), м Радиус поворота тягача (фактичес-кий), м Радиус поворота прицепа (факти-ческий), м Радиус траектории движения забегающего колеса, м Радиус траектории движения отстающего колеса, м Потребная ширина коридора (по колёсам), м 25 25,44 24,27 27,32 23,03 4,29 30 30,53 29,6 32,33 28,34 3,99 40 40,7 40,02 42,4 38,73 3,67 50 50,88 50,33 52,51 49,04 3,48 80 81,4 81,06 82,94 79,75 3,19 Из полученных данных видно, что применение прицепа, оснащенного всеми поворотными колесами, позволит существенно уменьшить потребную ширину коридора для осуществления поворота малого радиуса (до двух раз). При этом задаваемый радиус поворота (теоретический) в случае прицепа с управляемыми колесами близок к фактическому, что говорит о меньшем скольжении колес, а значит меньших потерях энергии на движение. Следующим этапом является оценка потребной мощности привода для обеспечения поворота колес прицепного звена. Для проведения вычислительного эксперимента были выбраны наиболее тяжёлые условия работы рулевого управления - резкий поворот руля при стоянке машины на опорной поверхности с высокими сцепными свойствами. Исходные данные для проведения вычислительного эксперимента представлены в таблице 3. Таблица 3 Исходные данные для оценки потребной мощности привода поворота колес Table 3. Initial data for assessing the required power of the wheel steering drive Параметр Значение Максимальный угол поворота рулевого колеса, град ±360 Максимальный угол поворота колеса, град 27 Скорость поворота руля, рад/с 7 Время поворота руля, с 0,898 Максимальный коэффициент взаимодействия движителя с грунтом 0,7 Результаты моделирования представлены в таблице 4 и на рис. 8-10. Оценка потребного крутящего момента и мощности проводилась для наиболее нагруженной оси прицепного звена - последней. Рис. 8. Заданное изменение угла поворота колёс последней оси прицепного звена Fig. 8. The specified change in the angle of rotation of the wheels of the last axle of the trailer link Рис. 9. Вращающий момент, приложенный к колесам для поворота Fig. 9. The torque applied to the wheels for turning Рис. 10. Мощность привода необходимая для поворота колес Fig. 10. Drive power required to turn the wheels Таблица 4 Результаты моделирования нагруженности привода рулевого управления Table 4. Simulation results of the steering drive load Параметр Значение Максимальный крутящий момент относительно центра пятна контакта, Нм 10800 Максимальная мощность, необходимая для поворота колеса, кВт 6,2 Результаты моделирования позволяют выбрать максимальную мощность привода поворота колеса на уровне 6,2 кВт, то есть для рассматриваемого пятиосного прицепного звена суммарная потребная мощность рулевого привода составит 62 кВт. Проведенное исследование позволяет сформировать требования к приводу поворота колес прицепного звена. В данном случае исследовались наиболее простые случаи, когда все колеса либо управляемые, либо неуправляемые, а положение полюса поворота фиксировано. Очевидно, что описанный в статье подход справедлив и для исследования более сложных алгоритмов поворота колес автопоезда, например, с переменным положением полюса поворота [19], отключением привода поворота некоторых колес и т.д. Подобные алгоритмы наиболее легко реализуются при организации всеколесного привода рулевого управления. В случае, если такой подход к повороту колес организован с помощью электрических машин, то полученный выше уровень мощности привода можно считать соответствующим кратковременному режиму работы. Определение длительных режимов работы системы является задачей отдельного исследования и требует анализа условий эксплуатации машины. Выводы На основании исследования можно сделать заключение, что применение метода компьютерного моделирования с использованием динамики систем твердых тел является эффективным средством для прогнозирования поворотливости автопоездов, а также формирования требований к приводу поворота управляемых колес. Исследование позволило оценить преимущества применения всеколесного рулевого управления на прицепном звене, получить рациональное положение полюса рулевого управления, определить потребную ширину коридора при различных радиусах поворота, а также сформировать требования к приводу поворота колес. Кроме того, в ходе исследования разработана математическая модель динамики автопоезда, позволяющая проводить широкий круг исследований по оценке подвижности колесных машин различной конфигурации.

About the authors

V. A Gorelov

Bauman Moscow State Technical University

DSc in Engineering Moscow, Russia

K. B Yevseyev

Bauman Moscow State Technical University

PhD in Engineering Moscow, Russia

O. I Chudakov

Bauman Moscow State Technical University

PhD in Engineering Moscow, Russia

K. S Balkovskiy

Bauman Moscow State Technical University

Email: konstantin-balkovsky@ya.ru
Moscow, Russia

References

Supplementary files