Preliminary synthesis of algorithms for automatic control of automobile continuously variable transmissions with flexible links

Full Text

Введение Одним из современных путей развития конструкций колёсных и гусеничных машин, использующих в качестве источника механической энергии двигатели внутреннего сгорания, является внедрение в состав их трансмиссий вариаторов. Наличие вариатора в трансмиссии позволяет выводить двигатель на оптимальные режимы работы в широком диапазоне эксплуатационных ситуаций, повышая тем самым эффективность его использования. В настоящее время вариаторы различных принципов действия и конструкций используются на мототранспорте, легковых автомобилях, карьерных самосвалах, тракторах, сельскохозяйственной и военной технике [1-6]. В энциклопедической статье [7] под вариатором подразумевается совокупность одной или нескольких бесступенчатых передач и обеспечивающих их функционирование устройств. В свою очередь бесступенчатая передача трактуется там же как устройство, позволяющее плавно изменять передаточное число в определённом диапазоне. Отталкиваясь от данных определений, под бесступенчатой трансмиссией станем понимать трансмиссию, в чьём составе имеются один или несколько вариаторов и общее передаточное число которой изменяется бесступенчато. А под трансмиссией диапазонной - трансмиссию, в чьём составе наряду с одним или несколькими вариаторами имеется одна или несколько ступенчатых передач, вследствие чего её общее передаточное число изменяется в рамках ряда по отдельности непрерывных диапазонов, каждый из которых соответствует определённой ступени. Термин же «бесступенчатая коробка передач», достаточно часто встречающийся в настоящее время в популярной технической и даже научно-технической литературе, будем полагать некорректным как представляющий собой оксюморон, поскольку согласно [7] коробка передач есть механизм для ступенчатого изменения передаточного числа. Особо следует остановиться на понятиях передаточного числа и передаточного отношения для конкретизации их смысла и определения целесообразности использования в настоящей работе. Передаточное отношение в [7, 8] определено как отношение скоростей ведущего и ведомого звеньев передачи. Задачи, ставящиеся здесь, не подразумевают уточнённого анализа процессов передачи мощности бесступенчатыми передачами, поэтому в дальнейших рассуждениях не станем учитывать имманентно свойственные им кинематические потери, ведя тем самым речь о передаточном числе, а не о передаточном отношении. Соответствующие коррективы [9] смогут быть внесены в полученные здесь результаты впоследствии. С другой стороны, передаточное число понимается в [7, 8] как отношение определённых геометрических параметров звеньев (чисел зубьев, диаметров и т.п.), взятое таким образом, чтобы его значение было больше или равно единице. Данная общепринятая концепция становится неудобной, когда рассмотрению подвергаются бесступенчатые передачи, у которых в процессе функционирования ведущее звено может обладать по сравнению с ведомым как меньшим, так и большим значением геометрического параметра. В этой связи здесь под передаточным числом будем подразумевать отношение геометрического параметра ведомого звена к соответствующему геометрическому параметру звена ведущего. На основании аналитического обзора материалов [1-8, 10-12] становится возможным классифицировать бесступенчатые передачи по принципу действия. Организационная диаграмма на рис. 1 наглядно иллюстрирует данную классификацию. Наибольшее распространение на текущем этапе развития колёсных и гусеничных машин получили трансмиссионные вариаторы на базе механических фрикционных передач с гибким звеном, применяющиеся преимущественно на легковых автомобилях и мотоциклах [2, 5]. При этом такие служащие для автоматического управления ими механизмы, как центробежные регуляторы и вакуумные камеры [10], на автотранспорте были вытеснены гидрообъёмными приводами с микроконтроллерами или программируемыми логическими интегральными схемами в качестве командных устройств [5]. Последнее обстоятельство сделало актуальными научные изыскания, направленные на выявление оптимальных процессов управления упомянутыми бесступенчатыми передачами автомобильных трансмиссий и синтез алгоритмов для систем автоматики, позволяющих реализовать эти процессы. Материалы и методы исследования В ряде работ [9, 11, 12] поднимаются вопросы, связанные с процессами функционирования, методиками проектирования и расчёта компонентов подобных передач. Особое внимание в работе [12] уделяется явлениям деформации гибкого звена под нагрузками и влиянию этих деформаций на рабочие процессы передач. Действительно, гибкие звенья фрикционных бесступенчатых передач помимо связанных с процессами трения в пятнах контакта нагрузок подвержены в эксплуатации совокупности разнородных динамических воздействий. К ним прежде всего относятся центробежные и действующие со стороны шкивов силы, которые вызывают изгиб и сжатие в поперечном направлении, а также растяжение (или сжатие для гибких звеньев толкающего типа) в направлении продольном. Кроме того, элементы гибких звеньев естественным образом работают на продольный изгиб при прохождении шкивов и испытывают связанные с нагревом деформации. Однако следует учитывать, что перечисленные воздействия сугубо критичны, когда они прилагаются к резинокордным ремнями или ремням с трапецеидальными колодками на резинокордной или иной неметаллической основе [8, 11-13]. В бесступенчатых же трансмиссиях современных автомобилей используются металлические вариаторные цепи и металлические же ремни толкающего типа [5, 8, 9, 14], изменение размеров которых под силовыми и тепловыми нагрузками сравнительно мало. Тем более воспринимающие нагрузки элементы ремней толкающего типа работают в продольном направлении, как было уже упомянуто, не на растяжение, а на сжатие, что обуславливает ещё меньшие значения возможных деформаций и позволяет при предварительном синтезе алгоритма не учитывать таковые. Рис. 1. Классификация бесступенчатых передач Fig. 1. Classification of continuously variable transmissions Разберём задачу с позиций обеспечения наилучших тягово-скоростных свойств автомобиля (так называемый «спортивный режим»). При необходимости её можно будет переформулировать для режима, когда целью управления является минимизация расхода топлива [10], а также для других режимов, характерных для современных автоматических автомобильных трансмиссий. Рассматриваемый режим предполагает развитие двигателем внутреннего сгорания максимальной мощности в процессах разгона, равномерного движения и замедления без разблокировки сцепления или гидротрансформатора. Под разгоном будем понимать процесс увеличения скорости машины с заблокированным сцеплением или гидротрансформатором вплоть до достижения ею максимальной возможной для данной эксплуатационной ситуации скорости. Для описания работы бензиновых двигателей без «полки» крутящего момента на внешней скоростной характеристике может быть использована регрессионная модель, представленная в форме полиномиальной функции двух аргументов: , (1) где - крутящий момент, реализуемый на коленчатом валу; - степень открытия дроссельной заслонки; - угловая скорость коленчатого вала; - параметры регрессии [15]. При данном подходе двигатель воспринимается как «чёрный ящик», а модель является функциональной (в терминологии А.Д. Мышкиса) [16]. В связи с этим дополнительно вводятся ограничения, позволяющие учесть физический смысл, путём задания области применимости модели: ; . Здесь - минимальная устойчивая угловая скорость коленчатого вала, а - его максимальная допустимая угловая скорость, с которой для процессов разгона и равномерного движения уместно сопоставить рубеж «красной зоны» на тахометре приборной панели. Исходя из того, что при и получаем на основе (1) алгебраическое неприведённое уравнение второй степени: . Известный аналитический метод [17] позволяет найти корни данного уравнения. В контексте физического смысла дискриминант его должен быть неотрицателен, тогда как . Из этих посылок можно заключить, что , и только один корень выражает минимальную устойчивую угловую скорость: . Приняв данную модель, легко вывести выражение для мощности двигателя: . (2) Согласно базовым положениям математического анализа экстремумы непрерывной гладкой функции имеются в точках, где её первая производная обращается в ноль [17]. Частная производная функции (2) по переменной . (3) Обозначим через угловую скорость, на которой двигатель развивает наибольшую при определённом значении мощность. Подставив её в (3) вместо и приравняв полученное выражение к нолю, получаем ещё одно неприведённое квадратное уравнение: . Несложно убедиться, что на отрезке функция (3) имеет единственный максимум, который соответствует либо большему из двух действительных корней данного уравнения, либо максимальной допустимой угловой скорости коленчатого вала: (4) Здесь - предикат следующего вида: , (5) а и - обозначения для истинности и ложности соответственно. Угловая скорость коленчатого вала соотносится со скоростью автомобиля при разгоне, равномерном движении и замедлении без разблокировки сцепления или гидротрансформатора следующим образом: , где - осреднённый статический радиус ведущих колёс; - передаточное число бесступенчатой передачи; - общее передаточное число прочих агрегатов трансмиссии. Отсюда . Подставляя в эту формулу вместо правую часть (4), получаем (6) Формула (6) справедлива, когда , где и - наименьшее и наибольшее значения передаточного числа бесступенчатой передачи соответственно. Аналогичные построения можно провести и для двигателей с иным протеканием скоростных характеристик, использовав для их аппроксимации полиномы более высоких степеней. При этом алгоритм в виде аналитически заданной функции будет возможно сформировать , если соответствующее первой производной полинома по переменной алгебраическое уравнение будет разрешимо в радикалах относительно неё же. Также имеется возможность использовать для аппроксимации неполиномиальные зависимости, которые, возможно, позволят отразить особенности функционирования конкретных двигателей с большей адекватностью. Однако и в данных случаях получение аналитически заданного алгоритма подразумевает очевидные условия аналитической дифференцируемости описывающей зависимости функции и аналитической же разрешимости сформированных уравнений относительно . В иных случаях выявление описывающей алгоритм зависимости потребует привлечения численных методов. Ясно, что формула (6) является лишь промежуточным результатом, поскольку требуемое значение должно быть обеспечено определёнными значениями основных параметров передачи и в конечном счёте - значением осевого смещения подвижных полушкивов (рис. 2). Пусть текущие посадочные радиусы на ведущем и ведомом шкивах ( и соответственно) в каждом состоянии передачи соотносятся с серединой высоты той части поперечного сечения гибкого звена, которая входит в непосредственный контакт с рабочими поверхностями полушкивов (рис. 2). Текущее значение передаточного числа равно отношению текущих значений посадочных радиусов на ведомом и ведущем шкивах: . (7) Тогда наибольшее и наименьшее возможные значения передаточного числа будут определяться следующими формулами: ; . Здесь и - соответственно минимальное и максимальное значения посадочного радиуса на ведущем шкиве, а и - соответственно минимальное и максимальное значения посадочного радиуса на шкиве ведомом. Основные геометрические размеры ведущего и ведомого шкивов, как правило, одинаковы: ; (рис. 2). Тогда , и . Учтём, что допустимое минимальное значение посадочного радиуса зависит от конструктивных особенностей гибкого звена и составляет около 0,025 м для вариаторных цепей и около 0,031 м для ремней толкающего типа. Во всех дальнейших рассуждениях примем допущения об отсутствии сколь-либо значимых погрешностей изготовления элементов передачи и их пренебрежимо малом износе в процессе эксплуатации. Также для начала будем считать, что образующие полушкивов представляют собой отрезки прямых (полушкивы имеют форму идеальных усечённых круговых конусов), а поперечное сечение гибкого звена в зоне контакта с полушкивами есть равнобокая трапеция (рис. 2). Рис. 2. Основные размеры и параметры бесступенчатой передачи с гибким звеном Fig. 2. Main dimensions and parameters of continuously variable transmission with flexible link На рис. 3,а показан фрагмент схемы передачи с дополнительными построениями. Длина изображённого на нём отрезка соответствует максимальному осевому смещению подвижных полушкивов . Основываясь на простейших геометрических соотношениях, данную величину можно выразить из основных размеров передачи. Поскольку сторона треугольника лежит на образующей усечённого конуса правого полушкива, а сторона параллельна оси его собственной симметрии, по теореме о накрест лежащих углах [17] угол конгруэнтен углу между образующей и упомянутой осью. Поэтому, . Отказ от учёта поперечной деформации гибкого звена под сжимающей нагрузкой полушкивов даёт нам право утверждать, что отрезок параллелен отрезку , лежащему на образующей усечённого конуса левого полушкива (так как расстояния от точек и до точек и соответственно равны между собой) [17]. Взаимная же симметричность полушкивов, в свою очередь, обуславливает конгруэнтность углов и . Таким образом, треугольник является равнобедренным, и высота его , проведённая к основанию , совпадает с соответствующей медианой, вследствие чего , и [17]. В результате имеем два конгруэнтных [17] прямоугольных треугольника и с общим катетом , чья длина . Перечисленные обстоятельства позволяют из свойственных прямоугольным треугольникам тригонометрических соотношений [17] получить выражение для искомой величины: . (8) Далее проанализируем геометрическое построение, изображённое на рис. 3, б, положив, что окружности с центрами в точках и обозначают соответственно ведущий и ведомый шкивы, причём , а . Рис. 3. Геометрические схемы бесступенчатой передачи с гибким звеном Fig. 3. Continuously variable transmission with flexible link geometry Длина гибкого звена в допущении о его малых деформациях соответствует сумме длин отрезков , и дуг окружностей , : . Отрезки , и являются касательными в своих оконечных точках к обозначающим шкивы окружностям, и вследствие симметричности построений относительно проходящей через центры окружностей прямой . Таким образом, , а , из чего, в частности, следует, что и , а (то есть, ) [17]. Рассмотрим прямоугольный треугольник и связанные с ним построения. Отрезок , являющийся его бо́льшим катетом, как и отрезок , перпендикулярен отрезкам и , ввиду чего , , и [17]. Из вышеизложенного очевидно, что длина гипотенузы данного треугольника , где - межосевое расстояние шкивов (рис. 2), а длина его меньшего катета . При этом на основании элементарных соображений , где - расстояние зазора между шкивами, которое целесообразно выбирать из диапазона 0,002…0,004 м (рис. 2). Тогда по теореме Пифагора [17] . Для нахождения длин дуг и необходимо знать угловые меры и соответственно: ; [17]. Так как , а , оставшаяся часть задачи нахождения длины гибкого звена сводится к выражению угловой меры через известные величины. Вновь обратимся к треугольнику . Зная длины его гипотенузы и катетов, можем вывести интересующую нас формулу: . Таким образом, номинальная длина гибкого звена (9) Оставаясь в рамках предположения о пренебрежимо малых деформациях гибкого звена под силовыми и температурными нагрузками, уместно считать, что значение величины является постоянным при любых взаимосоответствующих значениях посадочных радиусов : . (10) С другой стороны, нетрудно понять, что, если в правой части выведенной ранее формулы (8) заменить на , полученное выражение будет определять уже не максимальное, а текущее осевое смещение подвижных полушкивов (рис. 2). Исходя из этого можно представить как функцию переменной : . (11) На основании (10) и (11), а также того обстоятельства, что значение величины может быть найдено из (9) или непосредственными измерениями, приходим к уравнению, решение которого позволит выявить зависимость от : (12) В тех случаях, когда образующие контактных поверхностей передачи выполняются криволинейными, как рекомендуется в работе [14], задача несколько усложняется, поскольку тогда значения посадочных радиусов зависят помимо прочего от профилей этих поверхностей. Вслед за автором [14] положим, что образующая контактных поверхностей каждого элемента гибкого звена является дугой окружности с радиусом , чей центр находится на расстоянии от середины высоты элемента (рис. 4). При этом . Также допустим, что нам известна функция , которая задаёт форму образующей полушкива как зависимость расстояния между каждой её точкой и образующей воображаемого соосного кругового конуса в радиальном сечении, от соответствующего этой точке посадочного радиуса (рис. 4). Кроме того, будем считать, что контакт рабочих поверхностей является точечным. Рис. 4. Геометрическая схема, основные размеры и параметры фрикционной бесступенчатой передачи с криволинейными образующими контактных поверхностей шкивов и гибкого звена Fig. 4. Geometric diagram, main dimensions and parameters of a frictional of continuously variable transmission with curved generatrices of the contact surfaces of the pulleys and flexible link Через обозначим теперь угловую меру, соответствующую половине угла раствора упомянутого воображаемого конуса (рис. 4). Так как отрезки , и на рис. 4 параллельны друг другу и оси собственной симметрии данного конуса, , а угловая мера этих углов по указанной ранее причине равна . Также учтём, что отрезки , и лежат на тех же прямых, что и отрезки , и соответственно, а отрезки , и , будучи радиусами образующих контактных поверхностей гибкого звена ( ), нормальны к образующей полушкива в соответствующих точках контакта. Вкупе с геометрическим смыслом производной это даёт нам основания утверждать, что , где [17]. В частных случаях для минимального и максимального значений посадочных радиусов и . Опираясь на вышеупомянутые тригонометрические соотношения для прямоугольных треугольников , и и формулы приведения [17], можем найти приведённые посадочные радиусы, соответствующие середине высоты для общего и частных случаев: ; (13) ; (14) . (15) Аналогично в отношении приведённого посадочного радиуса на ведомом шкиве: . (16) Подстановка правых частей (14) и (15) в (9) вместо и соответственно позволит найти длину гибкого звена. Снова привлекая тригонометрические соотношения для треугольников и , теорему Пифагора для треугольников и , а также (11) и приведённые выше выражения для угловых мер и с формулами приведения, получаем: (17) Понятно, что отсюда можем найти , если положим . Решение уравнения (17) относительно позволит, используя (13), найти зависимость . Зная её и памятуя о (16), сможем, в свою очередь, решить составленное по аналогии с (12) на основе (10) уравнение следующего вида: (18) выявив тем самым искомую зависимость от . Результаты исследования Имея зависимость от и принимая во внимание формулы (5) - (7) и (11) или решение уравнения (17), мы можем при помощи численных методов найти функцию . Уравнения (12), (17) и (18) являются трансцендентными и подлежат решению численными методами. Для реализации таковых авторами в системе компьютерной математики Mathcad [18] была разработана соответствующая программа. Посредством данной программы были проведены расчёты применительно к легковому автомобилю с двигателем, математическая модель которого (1) характеризуется значениями параметров регрессии, найденными в работе [15]. При этом было учтено, что функционирование рассматриваемого вариатора в реальных эксплуатационных ситуациях не подразумевает использование всего обеспечиваемого им диапазона значений передаточного числа: , , где и - реально используемые минимальное передаточное число передачи и максимальное осевое смещение полушкивов соответственно. Ниже на рис. 5 и рис. 6 приведены ключевые результаты расчётов, полученные для передачи с прямолинейными образующими контактных поверхностей. Рис. 5. Зависимость осевого смещения подвижных полушкивов от требуемого передаточного числа бесступенчатой передачи Fig. 5. Dependence of the axial displacement of the movable pulleys on the required gear ratio of the continuously variable transmission Рис. 6. Зависимости осевого смещения подвижных полушкивов от скорости автомобиля при различных значениях степени открытия дроссельной заслонки Fig. 6. Dependences of the axial displacement of the movable pulleys on the vehicle speed at various values of the throttle valve opening degree Заключение Полученная функция являет собой искомый алгоритм в предварительной форме. Означенная форма не учитывает динамику передачи и привода управления ею, специфику некоторых характерных для автомобилей режимов эксплуатации и ряд других факторов. В то же время её наличие позволяет, ориентируясь на доставляемые ею количественные оценки, предметно подойти к разработке эскизного проекта системы автоматического управления передачей с тем, чтобы на его основе сформировать алгоритм в окончательном виде и реализовать в виде программного обеспечения для цифрового командного устройства.

About the authors

A. E Yesakov

Moscow Polytechnic University

Email: ravn@mail.ru
PhD in Engineering Moscow, Russia

A. V Kretov

Moscow Polytechnic University

PhD in Engineering Moscow, Russia

P. A Krasavin

Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI)

PhD in Engineering Moscow, Russia

References

Supplementary files