Climb in analytical calculation of spatial truss

详细

For spatial truss with triangular section and small camber, the analytical solution for the deflection is found. This allowed to find a proper camber at which the farm is rectified under the load. A simple asymptotic solution is given. Basis for the solution was the method of induction by means of Maple computer mathematics.

全文:

Введение Для расчета плоских ферм можно применять метод сечений, метод вырезания узлов, метод замены стержней и графические методы (теперь уже только в учебных целях). При расчете пространственных ферм обычно используют только метод вырезания узлов или приближенные методы, основанные на разложении нагрузки по плоскостям фермы, которые выделяются в пространственной конструкции [1]. В настоящей работе описан расчет фермы, в которой одна из граней не плоская и метод разложения неприменим. Основной целью работы является получение аналитического решения для произвольного числа панелей. Аналогичные задачи были уже решены для пространственных ферм [2-5], найдены оптимальные размеры, неожиданные условия вырождения систем. Здесь же еще решается практически важная задача о выборе строительного подъема конструкции. Схема фермы Пространственная ферма состоит их двух плоских ферм с треугольными решетками, соединенных стержнями нижнего пояса. Нижний пояс имеет в центре излом и плоскую ферму не образует (рисунок 1). Высота фермы - h, ширина в основании - b, длина одной панели - a, число панелей - n=2k, подъем в середине пролета - kс. Принятое четное число панелей не снижает общность результата. Для нечетного числа панелей решение принципиально не отличается, а для большого числа стержней оба решения практически совпадают. При с=0 ферма совпадает с фермой, рассчитанной в [2], но для другой схемы нагрузок (одна нагрузка в середине пролета). Стержни предполагаются упругими, возможность потери устойчивости и исчерпание прочности здесь не изучаются. Шарниры, соединяющие стержни, идеальные. Ферма представляет собой статически определимую конструкцию. Рисунок 1 Метод Ферма загружена уравновешенной системой вертикальных сил. Силами P равномерно загружен верхний пояс фермы, четыре одинаковых силы , имитирующих реакции вертикальных опор, приложены по углам основания (рисунок 1, k = 2). Такая схема нагрузок позволяет избежать раскрытия неизбежной при четырех угловых опорах статической неопределимости. Усилия в стержнях определяем методом вырезания узлов с использованием метода индукции [2] и системы Maple. Заметим, что использование системы компьютерной алгебры существенно упрощает аналитическое решение, особенно для ферм с произвольным числом пролетов. Однако, как и в численном расчете, где существует так называемое «проклятие размерностей», имеющее в данном случае характер накопления ошибок округления при решении систем линейных уравнений, в решении задач в символьном виде это проявляется в нереально большом времени счета систем с числом панелей фермы более 10. При этом, если проблему накопления ошибок в численном счете еще как-то можно решить, увеличивая точность вычислений, то скорость преобразования символьных выражений зависит только от производительности компьютера. Немного ускоряет счет наличие нескольких ядер (в последних версиях Maple это используется) и увеличение оперативной памяти, но здесь есть предел, и этот предел быстро достигается, не позволяя в принципе решить аналитически задачу о прогибе фермы с десятками панелей. В реальных же конструкциях несколько десятков панелей вполне допустимая ситуация. Кроме того, скорость зависит и от степени сложности самой задачи. Так, при c = 0 (ферма без строительного подъема) скорость преобразований в несколько раз выше. Именно эти проблемы стимулировали автора разработать индуктивный метод, пригодный для анализа ферм с неограниченным числом панелей. Решение Стержни предполагаются упругими. Ферма представляет собой статически определимую конструкцию. Усилия в стержнях определяются методом вырезания узлов. Задаются координаты узлов. Ось x направлена по ширине фермы, ось y - по длине, z - по высоте (рисунок 1): , где: Указываются номера узлов по концам стержней, условно представленных векторами. Составляется [2] матрица направляющих косинусов и решается система уравнений где: - вектор усилий в стержнях, - число стержней, - вектор правых частей (внешних нагрузок, приложенных к узлам). Из решения системы определяются усилия в стержнях. В стержнях решетки основания, как и следовало ожидать, усилия оказываются равными нулю (кроме двух крайних стяжек, в которых усилия равны и в средней стяжке на изломе основания, сжатой усилием при числе панелей k). Если для решения системы (1) использовать программу Maple [6, 7], то усилия можно рассчитать как в численном, так и аналитическом представлении. Например, усилия в продольных стержнях одной половины пролета верхней (загруженной силами P) грани фермы имеют вид: . В другой половине пролете усилия симметричны. Прогиб середины пролета (вертикальное перемещение точки приложения силы P) определяем по формуле Максвелла-Мора, принимая жесткость EF стержней одинаковой: где: - усилия в стержнях от единичной силы, приложенной к середине верхнего пояса, - усилия в стержнях от нагрузки, - длины стержней. Подставляя значения длин и усилий, для малых значений параметра c (в степенном ряду удерживался линейное слагаемое) получаем где: , , . Формула для прогиба получена индуктивным методом. Суть метода такова. При последовательном решении задачи для увеличивающихся значений k в решении выявлялись подобные, не меняющиеся при разных k коэффициенты. В данном случае это выражения . При , например, получилась следующая последовательность коэффициентов: 2, 5, 10,17,26, 37… Найти общий член этой последовательности можно и в уме, но в общем случае лучше воспользоваться помощью команды rgf_findrecur пакета genfunc системы Maple. Сначала эта команда получает рекуррентное уравнение, которому удовлетворяет искомая функция , потом оператор rsolve находит решение этого уравнения. Порядок рекуррентного уравнения, а следовательно, и длина необходимой для ввода в Maple последовательности в различных случаях оказывается разной. Наиболее сложным оказался коэффициент . Для его нахождения сначала пришлось решать задачу о прогибе десять раз при k=1,…,10 и получить последовательность 1, 19, 99, 316, 775, 1611, 2989, 5104, 8181, 12475, для которой команда rgf_findrecur получила уравнение пятого порядка: . Затем, используя пять начальных условий , с помощью rsolve и был найден коэффициент . Разложение решения в ряд для его линеаризации по c произведено оператором mtaylor, предназначенным в общем случае для функций многих переменных, что удобнее, чем оператор taylor, который помимо разложения дает еще и остаточный член, от которого необходимо избавляться. Анализ Приравнивая прогиб строительному подъему kc, можно найти значение параметра c, при котором нижний пояс фермы после нагружения принимает прямолинейное очертание - «выпрямляется» под действием нагрузки: . При эта зависимость имеет предел: . Предел также вычисляется в системе Maple (оператор limit(с,k=infinity)). Проект реальной фермы всегда включает выбор ее оптимальной высоты. Пусть задана - длина половины пролета фермы. Зависимость безразмерного прогиба от высоты h (рисунок 2) обнаруживает минимум. На рисунке 2 зависимости найдены при , b=1, c=0,1-0.14 (все размеры в метрах) и k = 5. Заметим, что оптимальная высота не зависит от строительного подъема. С увеличением c минимальный прогиб заметно уменьшается. Рисунок 2 Выводы Рассчитаны усилия в пространственной балочной ферме, имеющей строительный подъем. Найдены аналитические выражения для прогиба середины фермы при произвольном числе панелей. Получена зависимость от параметров задачи величины подъема, при котором балка-ферма под действием нагрузки выпрямляется. Показана эффективность метода индукции в работе с системой аналитических вычислений Maple.