Generalized mathematical model of vibration load of mobile machines with random kinematical excitation

全文:

Введение Эксплуатация мобильных машин различного назначения показывает, что они имеют повышенную вибрацию на рабочем месте человека - оператора. Она обусловлена поступающими на вход их динамических систем интенсивными кинематическими воздействиями от неровностей профиля пути и тем обстоятельством, что в этом диапазоне лежат собственные частоты колебаний основных масс машин. Тенденция повышения транспортных скоростей до 50-60 км/ч, наблюдаемая в последнее время, только усугубляет сложность решения задачи улучшения условий труда. Международные требования на уровень вибрации на сиденье оператора, обеспечивающий комфортные условия труда, весьма высоки [1, 2]. Поэтому проблема создания конкурентоспособных на мировом рынке машин, которые должны существенно повысить производительность труда в сферах их применения, определяет актуальность и необходимость разработки и использования современных методов проектирования систем виброзащиты. Этот путь заключается в проведении на стадии проектирования многовариантной расчетной оценки качества функционирования системы виброзащиты по разработанной математической модели и критериям, выбора ее рациональной структуры и оптимальных параметров ее отдельных ступеней в соответствии со стандартами [1, 2], регламентирующими, в свою очередь, применение искусственных треков с заданными эталонными случайными профилями пути и скоростями движения. Такой подход, несмотря на теоретическую сложность решения поставленной задачи, неизмеримо дешевле и быстрее приведет к результату по сравнению с обычно применяемыми до настоящего времени в машиностроении экспериментальными методами, которые требуют изготовления большого количества образцов и их испытаний. Целью настоящей работы является разработка математической модели и методов оценки вибронагруженности колесной машины, а также рекомендаций по структуре ее виброзащиты с учетом обеспечения выполнения международного стандарта по уровню вибрации на сиденье оператора. При этом конструкция системы должна быть максимально простой и ее оптимальные параметры находиться в области практически достижимых значений для существующей элементной базы. Кроме того, в расчетной схеме и модели целесообразно также учесть такое важное обстоятельство, как возможность создания различных модификаций машины, например, сельскохозяйственной, лесохозяйственной (с манипулятором, грузовой платформой), коммунального трактора, машины военного назначения и др. Поэтому введение в динамическую систему навесных переднего и заднего агрегатов, горизонтального шарнира остова, а также континуальных подвесок мостов и платформы (кабины) позволит существенно расширить границы применения теоретической разработки. Анализ и обоснование основных принятых допущений Основным вопросом при постановке задачи математического моделирования вибронагруженности мобильной машины, от решения которого зависят методы, средства и в конечном счете стоимость и эффективность исследований, является выбор математического аппарата для описания поведения динамической системы и степени детализации ее расчетной схемы. В общем случае колебания твердого тела в поле потенциальных и диссипативных сил описываются нелинейными дифференциальными уравнениями для обобщенных координат. Это обусловлено тем, что положение твердого тела в пространстве определяется с помощью перехода от инерциальной системы координат к подвижной системе координат, неизменно связанной с телом. Такой переход при точном подходе описывается матрицей, содержащей в себе члены с нелинейностями тригонометрического вида [3 c.16-21]. Оценим возможность линеаризации дифференциальных уравнений колебаний масс машины. Для этого достаточно разложить в степенной ряд тригонометрические функции для координаты продольного угла колебаний остова машины q с точностью до третьего члена, положить базу трактора 2,7 м и суммарные прогибы подвесок и шин передних и задних колес от положения статического равновесия 0,12 м. Рассматривая самый неблагоприятный случай при различных по знаку максимальных деформациях передней и задней систем амортизации, получим, что максимальный наклон остова будет равен 5,1º и уже вторые члены разложения составляют соответственно 0,13 и 0,39 % от первых. Практически такие же величины получаются и при поперечных колебаниях остова. Сказанное выше говорит о том, что при теоретических расчетах стационарные колебания можно принять малыми. В этом случае тригонометрические функции углов колебаний масс динамической системы заменяются первыми членами их разложений в степенные ряды, т.е. sin q =q, cos q =1. Мобильные машины как реальные физические объекты имеют в общем случае динамические системы с нелинейными упруго - диссипативными связями. К таким нелинейностям относятся ограничители ходов подвесок, «сухое» трение как в направляющих устройствах, так и в упругих и демпфирующих элементах, которые, в свою очередь, имеют нелинейные характеристики. Линейные характеристики упругого или демпфирующего элемента – понятие чисто абстрактное, к которому на практике можно приблизиться только в той или иной степени. Выбор линейной математической модели при решении поставленной задачи в нашем случае также обуславливается следующими причинами: · упругие характеристики подвесок колес и, в частности, пневматических подвесок в зоне статического прогиба, где в основном происходит колебания, практически линейны [4]; при значительных величинах «сухого» трения в подвесках и их направляющих механизмах используются методы энергетической и статистической линеаризации [5 и др.]; · упругие и демпфирующие характеристики пневматических шин, подвесок сидений и кабин в области статических прогибов также имеют характер линейных зависимостей; · при близком к нормальному закону распределения ординат профилей пути и их кинематических воздействий [5 с.110, 6] законы распределения выходных оценочных параметров мобильных машин (ускорения, напряжения, прогибы рессор) также близки к нормальному [5 с.110-114, 7 и др.], что подтверждает практическую линейность их динамических систем и малую степень влияния нелинейностей упруго – диссипативных связей на колебания при наличии таких мощных инерционных фильтров нижних частот в системе, какими являются подрессоренные и неподрессоренные массы; · возможностью применения спектрального метода, позволяющего сводить задачу к решению на ЭВМ системы алгебраических уравнений высокого порядка, описывающих стационарные колебания различных масс динамической системы, который по сравнению с численными методами интегрирования систем дифференциальных уравнений требует меньших затрат машинного времени и обеспечивает получение значений целевой функции, не зависящих по точности от длины реализаций, интегрируемых на входе и статистически обрабатываемых на выходе системы. Для обоснования степени детализации расчетной схемы динамической системы машины проведем дополнительно краткий анализ основных принципиальных положений, на базе которых в последующем формируются допущения при моделировании. Как показали проведенные исследования, например [8], горизонтально – продольные и горизонтально – поперечные ускорения на остове трактора составляют небольшие величины (до 0,4) от значений вертикальных ускорений даже при переезде трактором искусственных неровностей с высотой 0,06 м при скорости 5,5 м/с. Для автомобилей среднеквадратические значения (СКЗ) горизонтально-продольных ускорений также незначительны и равны 0,1-0,3 от вертикальных [5 с.100]. Причем эти ускорения остова машины складываются из двух составляющих: во-первых, из ускорений, обусловленных продольными и поперечными реакциями при переезде неровностей профиля пути, и, во-вторых, ускорений, вызываемых продольно-угловыми и поперечно-угловыми колебаниями масс. Малый суммарный уровень этих ускорений дает основание исключить из рассмотрения их первую составляющую и принять при теоретических исследованиях скорость движения машины постоянной. Подрессоренные массы оператора и сиденья существенно меньше массы кабины и остова (обычно их отношение достигает соответственно 10 и 40-50 раз). Поэтому ее влияние (и тем более влияние структуры биодинамической модели человека-оператора) на колебания остова и кабины мало, и в расчетах по оценке выходных характеристик вибронагруженности остова и кабины это влияние можно не учитывать. В ряде работ [9, 10 и др.] установлено, что наибольший уровень колебаний колесных машин возникает при их движении на транспортных работах и в особенности на режимах движения холостым ходом и с навесными с.-х. орудиями в транспортном положении. Поэтому поскольку эти режимы являются лимитирующими, то именно их следует принимать для расчетной оценки вибрации и нагруженности машин. Правомочность этого вывода согласуется также и с тем, что принятыми стандартами [1, 2] испытания тракторов и самоходных машин по оценке уровня вибрации на сиденье оператора проводятся на искусственных треках на холостом ходу. Характеристики возбуждений от профилей этих треков представлены в [11]. Таким образом, в расчетной схеме динамической системы машины целесообразно предусмотреть оба упомянутых выше транспортных режима. Причем динамическая система, имея при этом обобщенную структуру, должна обладать возможностью трансформироваться из одного режима в другой, а также в наибольшей степени учитывать взаимное влияние колебаний различных масс трактора. Расчетная схема и математическая модель С учетом изложенного составим обобщенную расчетную схему динамической системы колесной машины в транспортном режиме эксплуатации (рисунок 1). Данная схема интерпретирована в виде системы 12 твердых тел, соединенных 32 голономными линейными упруго-диссипативными связями, имеет 4 входа и 20 степеней свободы. Дополнительно к допущениям, анализ которых проведен выше, также принято [5 c. 98-101]: · машина симметрична относительно продольно - вертикальной плоскости, проходящей через середину колей передних и задних колес; · связи считаются телами с бесконечно малой массой; при расчетах массы направляющего устройства, упругих и демпфирующего элементов подвесок прибавляются в половинном отношении к массам подрессоренных и неподрессоренных частей машины [5]; · машина движется прямолинейно с постоянной скоростью и кинематические воздействия от профиля пути являются непрерывными функциями времени; · отсутствует влияние продольных и поперечных реакций профиля пути на колебания масс машины; · неуравновешенность вращающихся масс машины и их гироскопические моменты равны нулю. (i= ) - кинематические возбуждения; qi (i= ) - обобщенные координаты; mi (i= ) - массы твердых тел системы; сi (i= ) - жесткости упругих элементов; ki (i= ) - коэффициенты диссипации; Оi (i= ) - центр инерции масс за исключением i=7 и i=8; P1 - центр инерции массы m7; P2 - центр инерции массы m8; Ai и Ui (i= ) - точки крепления подвесок к остову и кабине; Ri (i= ) - точки крепления подвесок колес к мостам; Ei и Fi (i= ) – точки крепления подвесок и навесок к мостам и остову; Hi (i= ) – проекция центра масс навесного агрегата на горизонтальное плечо рычага; Uc – точка крепления сиденья оператора; Oi, Xi, Yi, Zi – система координат тел с массой mi. Рисунок 1. Обобщенная расчетная схема динамической системы машины Для вывода уравнений движения масс динамической системы использовались уравнения Лагранжа второго рода, число которых равно числу обобщенных координат i=19, рассматриваемых нами сначала (без сиденья оператора). Установим: · радиус-векторы центров масс тел с массой mi: i= ; i= ; ; ; · скорости полюсов Oi (i= ): , i= ; ; ; , в с.к. O7, X7, Y7,Z7; ; , в с.к. O7, X7, Y7, Z7; , в с.к. O8, X8, Y8, Z8; · угловые скорости масс: i= ; ; ; ; ; ; ; · тензоры инерции вращающихся масс: , i= . Выражения для вычисления кинетической энергии системы имеет вид: (1) или . Матрица сил инерции рассматриваемой системы имеет вид: M=diag{A1,A2,A3}, (2) где: A1=diag{m1,m2,m3,m4,m5, ,m6, }; ; A3=diag{ , , mg, , m10, m10 , m11, m11 }; R10 и R11 – радиусы инерции масс m10 и m11 относительно горизонтальной оси качания. Обозначим: - вектор обобщенных координат системы; - вектор кинематических воздействий; - расширенный вектор кинематических перемещений; Т - оператор транспонирования. Выражение для вычисления потенциальной энергии системы представим в виде: (3) где: =diag{ci}, (i = ) - матрица коэффициентов жесткости связей; - матрица деформаций упругих элементов; Omхn – нуль-матрица размера mxn; Emхm – единичная матрица размера mxm; ; ; ; ; ; ; ; ; . Выражение для вычисления диссипативной функции Релея представим в виде: (4) где: = diaq{ki}, (i = ) – матрица коэффициентов сопротивления связей. Дифференциальные уравнения малых колебаний масс динамической системы приводятся к матричной форме, которая имеет вид: (5) где: - оператор дифференцирования; M – матрица сил инерции, вычисляется по (1); К - матрица коэффициентов сопротивления; С - матрица коэффициентов жесткости; В1 - матрица коэффициентов сопротивления при кинематических воздействиях; В2 - матрица коэффициентов жесткости при кинематических воздействиях. Используя соотношения (3) и (4), а также и (6) где: - диагональная матрица коэффициентов жесткости при воздействиях (шин); - диагональная матрица коэффициентов сопротивления при воздействиях (шин), можно вычислить матричные коэффициенты К, С, В1, В2 векторного дифференциального уравнения (5). Реакция многомерной динамической системы на стационарное воздействие находится с помощью матрицы частотных характеристик системы, которая определяется путем преобразования Фурье векторного дифференциального уравнения (5) и решения полученного алгебраического уравнения: , (7) , (8) где: W(jω)19х4 – матрица частотных характеристик системы; A-1(jω) – обратная матрица A(jω)= M(jω)2+ K(jω)+C; B(jω)= B1(jω)+ B2. Для количественной и качественной оценок выходных колебательных процессов масс динамической системы необходимо использовать спектральные характеристики компонент вектора обобщенных координат системы и их производных. Матрица спектральных плотностей n-ой производной компонент вектора обобщенных координат размерностью 19х19 вычисляется по формуле: (9) где: и - сопряженная и транспонированная матрицы частотных характеристик; - матрица спектральных плотностей компонент вектора кинематических воздействий размерностью 4х4. Матрицу спектральных плотностей n-ых производных деформаций упруго – диссипативных связей вычислим, используя соотношение: (10) где: - матрица спектральных плотностей расширенного вектора кинематических перемещений. Элементы матрицы вычислялись по формулам: Зная (10), можно вычислить матрицы спектральных плотностей сил в упругих и демпфирующих элементах и по формулам: (11) (12) Представим в виде: , (13) где: τ, - матрица оператора сдвига во времени входных кинематических возбуждений от профиля пути или матрица оператора «расстановки» колес по осям машины, ее сопряженная матрица, где: l - продольная база машины; v - скорость движения; R, RT - матрица оператора «расстановки» входов (колес) по колеям дороги, ее транспонированная матрица; - для четырехколесной машины, задние колеса которой идут по следу передних; , LT – сопряженный и транспонированный формирующие фильтры матрицы спектральных плотностей вектора кинематических возбуждений, , где: Н12(jω) - частотная характеристика фильтра линейного преобразования воздействия от левой колеи в возбуждение, поступающее от правой колеи. При независимых кинематических воздействиях на машину от правой и левой колей фазовый сдвиг Θ=±π/2, а Н12(jω)=±j. Когда ординаты колей совпадают Θ=0, Н12(jω)=1. При Θ=π гармонические составляющие спектров воздействий находятся в противофазе и Н12(jω)= – 1. Если координаты точки Uc, в которой оценивается вибрация оператора на «абсолютно жестком» сиденье xc, yc, zc в системе координат O9, X9, Y9, Z9, то соотношение для определения вектора перемещений этой точки имеет вид: (14) где: ; O3x12; O3x4 – нуль-матрицы; . Соотношение для вычисления матриц спектральных плотностей n-ых производных компонент вектора записывается аналогично (9). Так как U – матрица с действительными членами, то: . (15) Если сиденье имеет подвеску в вертикальном направлении с частотной характеристикой WZC(jω), то спектральная плотность n-ой производной вертикальных колебаний оператора (точки Uc) можно вычислить по формуле: , (16) где: - элемент матрицы , стоящей на пересечение третьей строки и третьего столбца; m12 – подрессоренная масса оператора и сиденья. Определив значения диагональных элементов матрицы (15) , , и спектра вертикальных колебаний оператора на сиденье с подвеской (16), можно провести качественный анализ выходных процессов колебаний (оценить резонансные частоты системы, характер распределения дисперсий процессов по частотному диапазону и др.). Для оценок эффективности вибрационных свойств системы и собственно уровня вибрации по стандартам [1, 2] вычисляются СКЗ вторых производных перемещений сиденья оператора в октавных полосах частот и во всем рассматриваемом диапазоне по формуле: (17) где: i - номер полосы частот, (i = ); ωi и ωi+1 - нижняя и верхняя границы полосы частот. Этот же подход можно использовать для расчетной оценки деформаций элементов подвесок и нагруженности машины в точках их установки. При этом в подкоренном выражении формулы (17) будут интегрироваться спектры, вычисленные по выражениям (10)-(12). Таким образом, разработанная математическая модель стационарных пространственных колебаний масс многомерной динамической системы колесной машины с навесным оборудованием, представленная в виде системы 12 твердых тел, соединенных 32 упруго-диссипативными связями, имеющая 4 входа и 20 степеней свободы, позволяет определить частотную и выходные спектральные характеристики по любой обобщенной координате, а также проводить оценку уровней вибрации на сиденье оператора на соответствие международным стандартам и нагруженности машины. Представленная математическая модель является обобщенной и позволяет на стадии проектирования при расчетах на стандартных и лимитирующих по вибронагруженности режимах движения по случайным профилям пути учесть и оценивать влияние и эффективность таких факторов, как навеску на машину переднего и заднего агрегатов, места расположения кабины, кручения рамы машины или наличия горизонтального шарнира, присутствия различных ступеней системы виброзащиты (шины - подвеска остова - подвеска кабины или платформы с грузомподвеска сиденья). Модель позволяет также исследовать свойства континуальных подвесок остова и кабины.

作者简介

V. Podrubalov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: podrubalov@bk.ru podrubalov@gmail.ru

A. Nikitenko

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: an-nikitenko@mail.ru

M. Podrubalov

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

参考

补充文件