The peculiarities of a stationary distribution of melt temperature of the polymer in extruder caused by heat transfer

详细

The author describes the features of stationary temperature distribution of molten polymer in the non-newton rectangular channel single screw extruder caused by thermal interaction in paper.

全文:

Введение Статья посвящена описанию особенностей стационарного распределения температуры неньютоновского течения расплава полимера по высоте прямоугольного канала шнека одношнекового экструдера, вызванных теплообменом между нижней стенкой канала и расплавом вблизи нижней стенки канала. В работах [1-5] рассматривалась эта проблема. Однако описанные в них методики расчета не учитывают теплообмен, который, как правило, возникает между нижний стенкой канала и расплавом вблизи этой стенки. Так в [1, 2] приведены результаты численных расчетов, проведенных с помощью ЭВМ, распределения температуры по высоте канала неизотермического течения расплава полимера в следующих предположениях: температура нижней и верхней стенок канала постоянна, высота канала много меньше его ширины, расплав полимера имеет степенной реологический закон, при этом вязкость имеет экспоненциальную зависимость от температуры. В [3, 4] в тех же предположениях, что и в работах [1, 2] было построено аналитическое решение этой задачи для чисто вынужденного течения. В [3] решена задача нахождения распределения температуры по высоте канала для вынужденного течения, когда шнек адиабатический, а цилиндр экструдера изотермический. В [5] автором была решена задача нахождения распределения температуры по высоте канала шнека, при этом учитывалось наличие противотока, что не рассматривалось в [3] . В отличие от выше приведенных работ в статье впервые дается качественное описание свойств распределения температуры неньютоновского течения расплава полимера, которое учитывает наличие теплообмена между нижний стенкой канала и расплавом полимера вблизи этой стенки. Постановка задачи Пусть положительное направление оси канала шнека, а , где H – высота прямоугольного канала шнека экструдера, η – вязкость расплава полимера, – скорость течения расплава вдоль оси , – скорость сдвига, λ – коэффициент теплопроводности, – значение температуры расплава полимера в точке . Предположим, что вязкость расплава полимера описывается выражением: , (1) где: – некоторые константы, – индекс течения, который мы считаем постоянным, – начальная вязкость. Пусть выполнены условия упрощенной теории потока, которые подробно описаны в [2]. Тогда скорость сдвига и температура удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений: , (2) (3) где: – производная от давления по оси z, которая считается постоянной. Сформулируем теперь граничные условия для системы уравнений (2) и (3): , , (4) , , (5) где: — скорость движения верхней стенки канала экструдера, — коэффициент теплопередачи, — температура нижней стенки канала экструдера. Отметим, что условие (4) означает следующее: а) скорость сдвига течения у нижней стенки канала постоянна и равна , б) верхняя стенка канала движется с постоянной скоростью . Из граничного условия (5) следует, что, во-первых, происходит теплообмен между нижней стенкой канала, имеющей температуру , и расплавом, а во-вторых, температура верхней стенки фиксирована, то есть осуществляется ее термостатирование. Вывод уравнения и краевых условий, описывающих распределение обезразмеренной температуры расплава по обезразмеренной высоте канала Сначала перейдем к новой системе координат. , (6) где – параметр. Очевидно, что у функции существует обратная функция, т.е. : , (7) Очевидно, что: 1) , и для любого , 2) , и для любого . Таким образом, между и существует взаимнооднозначное соответствие. Перейдем к безразмерной температуре. Обозначим: . (8) Тогда с учетом (1) и (3) будет удовлетворять уравнению: . (9) Рассмотрим уравнение (2). Из него следует, что для любого : . (10) Из (10) следует, что скорость сдвига по определению всегда положительна и допускает представление: . (11) Заметим, что из (11) следует: 1) в силу (4), имеем: , (12) 2) . (13) Подставив (11) в (9), получим: . (14) Теперь в (14) проведем замену переменных , где функция имеет вид (6). Тогда, учитывая, что , (15) , (16) получаем уравнение: , (17) где: . (18) Найдем граничные условия для уравнения (17). Заметим, что , (19) которое с учетом (15) примет вид: . (20) Рассмотрим первое граничное условие в (5). Из (5) и (8) имеем: , (21) где: – нормированная температура нижней стенки. Из (20) и (21) следует, что: . Отсюда граничное условие на нижней стенке канала имеет вид: , (22) где: – число Нуссельта. Рассмотрим теперь второе граничное условие (5). Очевидно, что оно имеет вид: . (23) Таким образом, мы пришли к краевой задаче (22), (23) для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (17). Проведем понижение порядка уравнения (17). Для этого умножаем левую и правую часть (17) на , имеем: . (24) Проинтегрируем (24) в пределах от 0 до , имеем: . (25) Из (25) следует, что левая часть равенства больше нуля, поэтому и его правая часть тоже больше нуля. Поэтому для любого выполняется неравенство . (26) Из (26) следует, что (25) можно переписать в виде . (27) Теперь нужно выбрать знак, стоящий перед корнем в правой части (27). Для этого рассмотрим уравнение (17) и граничное условие (22). Проинтегрируем (17) в пределах от нуля до , имеем . (28) Исследуем правую часть (28). Здесь возможны два случая: 1) , 2) . Рассмотрим первый случай. Из (28) и (22) следует, что для любых выполняется неравенство . (29) Очевидно, что если , то есть температура расплава полимера у нижней стенки больше температуры самой нижней стенки канала шнека экструдера, то (29) будет выполнено для любого . В этом случае является убывающей функцией . При этом свои экстремальные значения она принимает в точках и , т.е. , (30) . (31) Рассмотрим теперь случай, когда и для любого выполняется неравенство: . (32) Очевидно, что в силу непрерывности функции найдется такое , что выполняется равенство . Следовательно, для всех имеем , где , а для имеем . В этом случае является вогнутой функцией, поскольку из уравнения (17) следует, что для любого . Следовательно, , . Из (29) следует, что надо выбирать знак “–” в выражении, стоящем в правой части. Рассмотрим теперь второй случай. Из (28) и (22) следует, что для любого справедливо неравенство . (33) Из (33) следует, что для любого неравенство получает вид: . (33а) Следовательно, в силу произвольности ξ, имеем неравенство . Значит и . Из (33) также следует, что является возрастающей функцией . Поэтому в силу граничного условия (23) имеем , (34) . (35) Следовательно, в этом случае в правой части (27) надо выбирать знак “+”. Рассмотрим (27). Так как , то имеем для любого . Отсюда следует . Мы пришли к противоречию. Значит, второй случай невозможен. Выводы 1) В правой части (27) надо выбрать знак “–”, поэтому уравнение (27) будет иметь вид: , (36) причем для любого . 2) Температура расплава полимера является убывающей вогнутой функцией , поэтому , а . 3) Если температура нижний стенки не равна температуре расплава полимера у нижний стенки канала экструдера, то имеет место скачок температуры, равный . Если этот скачок умножить на коэффициент конвективной теплопередачи, то получившаяся величина определяет поток теплообмена между нижний стенкой канала и расплавом у стенки канала, а также его направление.