The mathematical definition of temperature of dispersed particles while cooling by a cryogenic liquid

详细

The authors consider mathematical models of one-dimensional and two-dimensional problems of freezing of dispersed particles in a cryogenic liquid.

全文:

Основным процессом многих технологий является замораживание. Если необходимо получить высокую скорость замораживания, которая обеспечит структурно-функциональные свойства продуктов, то лучше всего использовать метод криогранулирования. Этот метод применяют в таких областях, как нанотехнологии, медицина, биотехнологии, пищевые технологии. Основными системами процесса криогранулирования выступают система получения и подготовки исходного продукта, система диспергирования, система криогранулирования, включающая в себя криоконсервирование и сублимационное обезвоживание и вспомогательные системы (обеспечение азотом и упаковка). Одним из главных процессов методики расчета криогранулятора является определение времени заморахивания заданного объема продукта [1]. Необходимо установить, как меняется температура в процессе замораживания для капель жидкости (вода) разного диаметра в жидком азоте. В качестве расчетной области для процесса замораживания рассмотрим сферические капли жидкости разного радиуса в жидком азоте при однородном теплообмене на поверхности. В процессе охлаждения образуется область с твердой фазой, граница которой перемещается в пространстве с течением времени, другая же часть расчетной области представляет собой жидкость. Рисунок 1 – Расчетная область для одномерной задачи Задача теплопроводности с фазовым переходом классифицируется как задача с подвижной границей или задача Стефана. Классическая задача Стефана может быть использована только при моделировании процессов кристаллизации чистых веществ. Исследование процесса кристаллизации бинарных расплавов с использованием термодиффузионных моделей показало наличие определенных затруднений и противоречий при использовании фронтовой модели кристаллизации бинарных расплавов: диффузионное преохлаждение перед фронтом фазового перехода; неустойчивость решения фронтовой задачи в случае концентрационного переохлаждения [5]. В начальный момент капля имеет однородную температуру T0. На поверхности капли при rp происходит конвективный теплообмен со средой с постоянной температурой Tg , под воздействием которого происходит кристаллизация, протекающая без переохлаждения и с пренебрежимо малым объемным эффектом. Уравнение теплопроводности для рассматриваемой задачи имеет вид: где: i = 1, 2 – соответственно для твердой и жидкой фаз; – коэффициент теплопроводности; – массовая плотность. Условия сопряжения для отверждения: где: Lm – удельная теплота затвердевания (плавления). Начальные условия при t = 0: T = T0. Граничные условия: r = 0: r = rp: Учет теплоты фазового перехода при отверждении капли в уравнении теплопроводности выполняется путем использования эффективной теплоемкости Срэф. При неравномерном распределении температуры в сечении затвердевающей жидкости каждому локальному объёму (контрольный объём в двухфазной зоне) соответствует равное количество твёрдой фазы, определяемое по правилу рычага для локальной температуры T в данном объёме. То есть для : , где относительное количество твёрдой фазы, находящейся в равновесии с жидкостью при температуре T, определяется формулой: . Для решения нестационарной задачи теплопроводности с разрывными коэффициентами применен численный, экономичный по числу операций конечно-разностный метод. Математической основой метода является вариационное исчисление. Дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия, описывающие процесс теплообмена, используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается численно. Для решения системы однородных уравнений применялась консервативная неявная схема сквозного счета и метод прогонки. Задаваясь коэффициентами теплопередачи и массовой теплоемкости на диаграмме видно их распределение в двухфазной области лед-жидкость: Задаваясь коэффициентами теплопередачи и массовой теплоемкости на диаграмме видно их распределение в двухфазной области лед-жидкость: Рисунок 2 – Изменение температуры с течением времени в капле диаметром 2,5 мм и a=165 Вт/(м2К): 1 – граничный слой, 2 – центр капли Фиксируя коэффициент теплоотдачи a, зависимость которого рассчитывалась по значениям времени, найденным из аппроксимирующих функций, и меняя диаметры капли в программе, с помощью которой рассчитывается распределение температур, выдается массив данных для сектора, поделенного на 50 отрезков по оси OX (r). Анализируя данные для центра сферы и ее поверхности, можно составить график зависимости температуры от времени, а именно рассмотреть, как меняется температура в центре капли жидкости и на границе фаз от времени протекания процесса отверждения. Срыв характеристик показывает момент перехода капли в твердое состояние. Для характеристики всего процесса сведем все диаграммы в одну: Рисунок 3 – Изменение температуры с течением времени для капель жидкости разного диаметра: 1 – диаметр 2,5 мм и a=165 Вт/(м2К) (граничный слой); 2 – диаметр 2,5 мм и a=165 Вт/(м2К) (центр капли); 3 – диаметр 3 мм и a=145 Вт/(м2К) (граничный слой); 4– диаметр 3 мм и a=145 Вт/(м2К) (центр капли); 5– диаметр 4 мм и a=120 Вт/(м2К) (граничный слой); 6– диаметр 4 мм и a=120 Вт/(м2К) (центр капли) Срыв характеристик показывает момент перехода капли в твердое состояние. Как видно из диаграммы, чем больше диаметр капли, тем ниже температура отверждения и тем дольше продолжается процесс. Постоянное расширение областей применения криодисперсной технологии обуславливает все более жесткие требования к качеству получаемого продукта, которое во многом определяется пераметрами режима замораживания диспергированной смеси. Обычно для охлаждения используется жидкий криоагент, попадая в который кали довольно продолжительное время плавают на поверхности, отделенные от криогенной жидкости пленкой пара [2, 3]. Расчеты температурного режима и связанного с ним временем плавания капель воды при их охлаждении с отверждением в жидком азоте, выполненные ранее в предположении однородного теплообмена на поверхности капли по одномерной модели, дают заниженные значения данных величин по сравнению с экспериментальными данными. Наблюдения за движением сферических капель, свободно плавающих в криогенной жидкости, показывают, что не зависимо от отношения плотности капли к плотности криогенной жидкости (для водяной капли и азота , образующаяся на поверхности капли пленка пара удерживает каплю на плаву так, что она не полностью погружена в жидкость [6]. Часть капли, как показано на рис. 3, выступает над поверхностью криогенной жидкости. Следовательно, на поверхности капли теплообмен неоднородный. На погруженной в криогенную жидкость части поверхности капли интенсивность конвективного теплообмена (коэффициент теплоотдачи α2) при пленочном кипении будет значительно выше, чем на выступающей над поверхностью криогенной жидкости части капли (коэффициент теплоотдачи α1 ). На выступающей из криогенной жидкости поверхности капли, кроме конвективного теплообмена с газовой средой (пары криогенной жидкости), с температурой мало отличающейся от температуры криогенной жидкости Тf, будет происходить теплообмен излучением с окружающим пространством, со значительно более высокой температурой, чем у криогенной жидкости Т0. Таким образом, математическое моделирование охлаждения капли в криогенной жидкости необходимо проводить как минимум по двумерной модели, позволяющей учесть существенно неоднородные условия теплообмена на поверхности капли [5]. Рисунок 4 – Расчетная область для двумерной задачи Распределение температуры в дисперсной частице T (r, , τ) при неоднородном по поверхности теплообмене определялось из решения двумерного квазилинейного уравнения теплопроводности при 0 < r < rp , , τ > 0 , с начальным: при τ = 0: Т = Т0, и граничными условиями: при r → 0: = 0 , при 0 < r < rp , , : = 0 , при r = rp, : , при r = rp, : , где: r – текущий радиус в капле, м; – текущий угол, рад.; Cp(r, , T) – эффективная объемная теплоемкость капли, Дж/(м3∙К); λ(r, , T) – коэффициент теплопроводности капли, Вт/(м∙К); Tf , T0 – соответственно, температуры криогенной жидкости и начальная температура капли, К; α1, α2 – коэффициенты теплоотдачи, соответственно, на сухой и смоченной поверхностях капли, Вт/(м2∙К); ε – степень черноты для сферической капли; σ – постоянная Стефана-Больцмана, Вт/(м2∙К4); rр – радиус капли, м. Решение поставленной выше нестационарной нелинейной двумерной задачи теплопроводности получено численно методом конечных разностей экономичным методом суммарной аппроксимации. Этот метод сводящий решение многомерной задачи к последовательному решению одномерных задач теплопроводности по каждому из пространственных направлений. Для решения одномерных задач теплопроводности с разрывными коэффициентами применялась консервативная неявная абсолютно устойчивая по времени конечно-разностная схема сквозного счета и экономичный метод прогонки. Учет теплоты фазового перехода при отверждении капли в уравнении теплопроводности выполняется путем использования эффективной теплоемкости Срэф. Разработан алгоритм и на языке программирования Фортран-90 в системе Compak Visual Fortran составлена программа для ЭВМ. а б Рисунок 5 – Изменение температуры с течением времени в капле диаметром 2,5 мм и a=165 Вт/(м2К): 1 – граничный слой, 2 – центр капли; а – сегмент 1; б – сегмент 45. Для характеристики всего процесса сведем все три диаграммы в одну: а б Рисунок 6 – Изменение температуры с течением времени для капель жидкости разного диаметра: а – сегмент 1; б – сегмент 45. 1 – диаметр 2,5 мм и a=165 Вт/(м2К) (граничный слой); 2 – диаметр 2,5 мм и a=165 Вт/(м2К) (центр капли); 3 – диаметр 3 мм и a=145 Вт/(м2К) (граничный слой); 4– диаметр 3мм и a=145 Вт/(м2К) (центр капли); 5– диаметр 4 мм и a=120 Вт/(м2К) (граничный слой); 6– диаметр 4 мм и a=120 Вт/(м2К) (центр капли) Анализ полученных в данной работе результатов, позволяет предположить, что соотношение площадей поверхности контактирующей с газом S1 и поверхности капли погруженной в жидкость S2, с различными условиями теплообмена, изменяется в зависимости от диаметра капель. Так как с уменьшением диаметра капель расчетные времена охлаждения, вычисленные с одинаковым отношением этих поверхностей S1/S2 для капель всех диаметров, больше отличаются от экспериментальных значений, то для уменьшения расхождений, это отношение должно увеличиваться, т.е. более мелкие капли плавают в азоте с меньшим погружением. В этом случае средний по поверхности капли теплообмен, зависящий от отношений этих площадей, будет уменьшаться, а время отверждения увеличиваться. Двумерная постановка задачи определения температурного режима капель при их криогенном охлаждении в азоте позволяет более полно учесть особенности теплообмена на поверхности капли и повысить точность теплофизических расчетов при получении частиц различных диаметров. Рисунок 7 – Время полного отверждения капель воды в азоте. 1, 2 – время фазового перехода для 1 и 45 сегмента соответственно для двумерной задачи; 3 – время фазового перехода для одномерной задачи Из-за интенсивного теплообмена при кипении криогенной жидкости, между поверхностью сферической капли и жидкостью образуется паровая прослойка толщиной (см. рисунок 4). Под действием этого парового слоя гранулы плавают, перемещаясь по поверхности жидкости, а затем по мере промерзания – тонут. Тепловой поток от более нагретого тела отводится через слой провой пленки криогенной жидкости, который имеет малую теплопроводность. [4] Капля удерживается наплаву некоторое время избыточным давлением пара, которое возникает так как газообразный хладагент имеет вязкость. Для возникновения подъемной силы толщина прослойки должна быть < r . Толщина паровой прослойки определяется следующим образом при предположении, что она равномерно распределена по поверхности: Vк – объем капли; Vп – объем паровой прослойки; VN2 – объем азота. Тогда массы: Mк = Vк – капли; Mп = Vп – паровой прослойки; MN2 = (Vк + Vп) = Mк + Mп. Значит, объем паровой прослойки: Vп = Vк . = 0,0386d. Для капель различного диаметра можно построить графическую зависимость толщины паровой пленки от диаметра (рисунок 8): Рисунок 8 – Зависимость толщины паровой пленки от диаметра капли Тепловой поток и массовый расход можно определить из следующих уравнений: , где: – коэффициент теплоотдачи поверхности капли, Вт/(м К); – температуры соответственно на поверхности капли и азота; – коэффициент теплопроводности капли; Sк – площадь поверхности капли; LN2 – теплота фазового перехода азота. Из данных соотношений можно получить зависимости теплового потока и расхода от температуры капли (рисунок 9). а б Рисунок 9 – Графики зависимости теплового потока (а) и массового расхода (б) от температуры на поверхности капель разного диаметр На основании полученных данных можно будет исследовать математическую модель взаимодействия сферы с поверхностью криогенной жидкости с учетом зависимости толщины паровой прослойки от полярного угла. Тем самым расчетные данные будут более полно отражать нашу картину и приблизятся к эксперименту.