Visualization as one of the methods of activating cognitive activity in the process of studying mathematics

全文:

Введение. Наглядность – это один из принципов обучения. Под наглядностью понимают свойство, которое выражает степень доступности и понятности психических образов объектов познания для познающего субъекта.

Целью данного исследования является определение возможностей применения наглядных методов обучения для повышения уровня познавательной деятельности студентов в процессе изучения дисциплины «Математика» на экономических специальностях.

Объект исследования – процесс обучения математике студентов экономических направлений и специальностей в вузе. Предметом же служат содержание, методы и формы изучения математики с использованием наглядных представлений решений задач профессионально направленного содержания.

Методы исследования. Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:

- провести анализ теоретических и методических аспектов наглядности в педагогической и методической литературе;

-разработать технологию обучения математике с использованием наглядных методов для обучающихся экономического профиля;

- определить особенности применения метода наглядности при решении математических задач;

- привести примеры использования метода наглядности для решения некоторого класса задач экономического содержания;

-на практических занятиях по математике проверить эффективность использования метода наглядности в усвоении учебного материала обучающимися;

Для решения поставленных задач рассматриваемого данного исследования произведен анализ дидактической, психологической, методической литературы, в том числе учебно-методических пособий по математике для обучающихся экономического профиля, а также эмпирическое наблюдение за усвоением учебного материала с использованием наглядных методов при решении профессионально-направленных задач.

История вопроса. Для начала следует учесть принцип полезности, предполагающий отбор только того учебного материала, который имеет для обучающихся практическую ценность. Кроме того, необходимо обеспечить энциклопедичность и взаимную связность знаний, при этом информация представляется в виде целостной системы. Бесспорно, следует стремиться к чёткому разграничению знаний в темах и материалах. Это необходимо, чтобы обучающиеся имели возможность лучше понять и усвоить информацию. Самую важную роль играет последовательность в обучении, так как новые знания должны опираться на ранее полученные. Ещё один важный момент заключается в том, что взаимосвязанные темы рекомендуется изучать одновременно, что способствует улучшению понимания изучаемого материала. Усвоенные знания должны надолго оставаться в памяти, для этого следует уделять внимание стимуляции самостоятельного мышления обучающихся и развитию их способностей. Необходимо найти баланс между памятью, разумом и речью, чтобы знания были не только усвоены, но и легко воспроизводимы вербально. Особое внимание следует уделять повторению изученного материала и применению его на практике в целях закрепления полученных знаний. То есть соблюдение дидактических принципов и применение рациональных методов обучения выступают в качестве основных условий эффективной организации учебного процесса. Классики мировой и отечественной педагогики – И.Г. Песталоцци, Я.А. Коменский, А. Дистервег, Дж. Локк –считали, что принцип наглядности обучения является одним из основополагающих в дидактике. Работы В.П. Беспалько, Н.М. Шахмаева, В.Г. Болтянского¹ и др. посвящены разработке теоретических положений и условий применения средств наглядности в процессе обучения. Теоретические положения и условия применения средств наглядности нашли свое отражение в публикациях Ю.О. Овакимяна, И.А. Зимней, И.С. Якиманской, М.А. Холодной, С.И. Архангельского² и др. В России педагогами с конца восьмидесятых годов прошлого века начинают осваиваться и применяться активные методы обучения [Гаджиев М. Ш., с. 19]. Такие психологи, как В.В. Давыдов, П.Я. Гальперин, Р. Арнхейм, В.П. Зинченко³ и др., описали особенности зрительного восприятия знаковой информации. Принцип наглядности нашёл своё применение в практике преподавания различных дисциплин. Одной из таких дисциплин является математика. Наглядность помогает обучающимся сформировать первое представление о предмете, а затем развить способность логического мышления и закрепить полученные знания. В целях подготовки обучающихся к реальной трудовой деятельности, следует связать в их сознании понятия и выводы с понятными образами соответствующих объектов [Знаенко Н.С., с. 10].

Использование наглядности в процессе обучения принесёт положительные результаты, если с её помощью обучающиеся смогут выделить и осмыслить главные характеристики объектов и предметов.

• Натуральная (естественная) наглядность основывается на непосредственном взаимодействии с реальностью, что обеспечивает максимальную достоверность представления материала.
• Изобразительная наглядность – методика визуальной демонстрации. Этот метод предполагает показ видимых образов: плакатов, карт, портретов, моделей, изображений и символов, опытов, технических установок, также сюда относятся презентации, кино/видео материалы и т. п.
• Символическая наглядность – широко применяется в обучении математики: чертежи, графики, схемы, таблицы, она помогает работать с абстрактными понятиями, преобразовывать их и применять. Наглядность в обучении математики можно поставить на первое место, так как она способствует облегчению процесса усвоения знаний и развитию критического мышления, а также обеспечивает творческий подход к решению задач [Миракова Т.Н., с. 28]. Современные образовательные технологии значительно расширяют возможности использования наглядности [Максименко Н.В., с. 3119]. Цифровые платформы, такие как Moodle или GoogleClassroom, интерактивные доски, виртуальная и дополненная реальность позволяют создать динамические и интерактивные образы, которые усиливают образовательный эффект. В связи с этим именно при изучении математики принципы наглядности находят весьма широкое применение. Они играют ключевую роль в повышении качества усвоения новой информации, развитии умственных способностей обучающихся и расширении педагогических возможностей преподавателя.

Основная задача наглядности заключается в генерации актуальных знаний на базе имеющегося опыта. Образное мышление способствует формированию оригинальных концепций через анализ накопленной информации [Пономарева С.Я., с.195].

Креативный подход к рассмотрению графических материалов содействует решению математических задач и уравнений. Образное восприятие благоприятно влияет на обучение и снижает психологическое напряжение. Эффективное применение визуального метода требует регулярных тренировок и развития творческого потенциала.

Наглядность, будучи фундаментальным принципом обучения, активизирует мыслительную деятельность, память и воображение. Образы объектов становятся наглядными только при их осмыслении и сопоставлении с имеющимися знаниями. При этом формируется целостность восприятия учебного материала, что делает процесс обучения более глубоким и эффективным. Интеграция современных технологий с традиционными методами обучения позволяет максимально использовать потенциал наглядности для формирования профессиональных компетенций.

Математические концепции тесно переплетаются с визуальными представлениями. Базовые понятия (расстояние и числовые вычисления) берут начало из реальных ситуаций. Это определяет значимость наглядности при изучении и преподавании математических дисциплин [Худенко В.Н., с. 368].

Визуальный подход к обучению помогает раскрыть взаимосвязи математических объектов. Человеческое мышление опирается на образное восприятие, поэтому инструменты наглядного метода эффективны не только при решении геометрических задач, но и при решении задач из других разделов математики [Белов С.В., c.18].Например, в алгебраических вычислениях и статистическом анализе диаграммы демонстрируют корреляции между параметрами, а графическое отображение информации помогает обнаружить закономерности и отклонения. При изучении сложных разделов (теории чисел или математического анализа) преподаватели активно применяют схемы, рисунки и условные обозначения для упрощения восприятия материала [Попова И.А., с. 67].

Визуализация математических концепций расширяет горизонты познания и делает учебный материал доступнее. Если при взаимодействии педагога с аудиторией возникают сложности в восприятии информации, наглядность помогает преодолеть эти преграды. Внедрение визуальных элементов требуется начинать на начальном этапе образовательного процесса. Данная задача сопряжена с серьёзными трудностями, поскольку развитие образного мышления происходит постепенно. Педагоги при использовании наглядности сталкиваются с рядом затруднений. Основные сложности связаны с подбором эффективных инструментов и адаптацией методик под индивидуальные особенности обучающихся. Главная цель применения наглядности – увеличение интереса к дисциплине и улучшение качества усвоения материала. При отсутствии положительного эффекта от визуализации её интеграция в образовательный процесс теряет смысл.

Следует отметить, что вопросы совершенствования математической подготовки студентов, в частности, использование наглядных методов в процесс обучения, по-прежнему актуальны и рассматриваются в работах многих учёных, где описаны разные педагогические подходы к изучаемой проблеме [Борбоева Г.М., с. 54]. Например, исследования А.С. Гребенкиной показали, что для визуализации целесообразно в процессе математической подготовки студентов технических специальностей использовать автоматизированные компьютерные системы [Гребенкина А.С., с. 178].

В настоящей же работе предлагается рассмотреть применение наглядного метода обучения дисциплине «Математика» для обучающихся экономических направлений и специальностей Приволжского государственного университета путей сообщения и представить некоторые аспекты, связанные с построением курса математики с учётом особенностей мышления обучающихся.

Материалы исследования. Знакомство с задачами экономического содержания у обучающихся начинается при сдаче единого государственного экзамена по профильной математике в 11 классе. Как правило, подобные задачи общепринято решать с помощью наглядных методов обучения, например, с помощью составления таблицы, или как мы предлагаем решать такие задачи, используя принцип наглядности «кирпичи в аренду» (рис. 1).

 

Рис. 1. Пример решения задачи с помощью наглядных методов обучения (An example of a solution using visual learning methods)

 

В вузе задачи экономического содержания рассматриваются в разных разделах математики. Принцип наглядности целесообразно использовать при решении, например, задач, предполагающих построения математических моделей. В качестве примера рассмотрим решение задачи линейного программирования графическим методом.

Задача: для изготовления двух видов продукции А₁ и A₂ используют три вида ресурсов B₁, B₂ и B₃. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции и прибыль, получаемую от реализации единицы продукции A₁ и A₂, заданы в таблице 1.

 

Таб. 1. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов и прибыль, получаемая от реализации единицы продукции (Resource stocks, the number of resource units and the profit earned from the sale

of a unit of production)

	В1	В2	В3	Прибыль
А1	7	4	3	12
А2	8	9	1	10
Запасы	474	396	174

 

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.

Составим систему ограничений для х₁-числа единиц продукции A₁и х_{2 -}числа единиц продукции A₂, запланированных к производству.

$\left\{\begin{array}{l}7x_1+8x_2\le 474\\ 4x_1+9x_2\le 396\\ 3x_1+x_2\le 174\\ x_1\ge 0\\ x_2\ge 0\end{array}\right.$

при этом функция Z = 12х₁+10х₂ должна принимать максимальное значение.

Сначала найдём множество решений системы неравенств. Рассмотрим 1-е неравенство и заменим его точным равенством 7х₁ + 8х₂ = 474. Это уравнение прямой в плоскости х₁Ох₂. Строим ее по двум точкам: (0;59,25) и ($67\frac{5}{7};0$)

Так как точка О (0;0) удовлетворяет первому неравенству

7х₁+8х₂≤474(7·0+8·0≤474),

то и все точки полуплоскости, на которые прямая 7х₁+ 8х₂= 474 делит плоскость х₁Ох₂ и которая содержит точку О (0; 0) будут также удовлетворять первому неравенству. Аналогично находим решение всех остальных неравенств и пересечение всех полуплоскостей, определяющих множество решений системы ограничений. Это будет выпуклое множество – многоугольник ОАВСД.

Пусть Z= 120, тогда прямая будет иметь вид :12x₁+10x₂=120. Далее найдём координаты вектора.

$gradZ=\left\{\frac{\partial Z}{\partial x_1};\right.\left.\frac{\partial Z}{\partial x_2}\right\}.$, следовательно, $gradZ=\left\{12;\right.\left.10\right\}.$

Построим этот вектор на координатной плоскости (рис. 2). Так как в направлении вектора grad Z функция Z возрастает, а в противоположном направлении убывает, то, перемещая прямую Z = 120 в направлении grаd Z, мы будем переходить от меньших значений Z к большим.

 

Рис.2. Графический метод решения (Graphical solution method)

 

Точка С области ОАВСД наиболее удалена от начала координат в направлении grаd Z. Следовательно, в этой точке функция Z имеет наибольшее значение. Решая систему уравнений прямых 1 и 3, найдём координаты точки С.

$\left\{\begin{array}{l}7x_1+8x_2=474\\ 3x_1+x_2=174\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}7x_1+8x_2=474\\ x_2=174-3x_1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}7x_1+8(174-3x_1)=474\\ x_2=174-3x_1\end{array}\right.\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}7x_1+1392-24x_1=474\\ x_2=174-3x_1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-17x_1=-918\\ x_2=174-3x_1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=54\\ x_2=12\end{array}\right.$

Подставим найденные координаты точки С в функцию Z.

Итак, Zmax = Z(C) = Z (54;12) = 12·54+10·12 = 768.

Можно сделать вывод, что продукции вида А₁ следует производить 54 ед., вида А₂–12 ед., при этом максимальная прибыль от реализации составит 768 ед.

Предложенным методом данная профессионально направленная задача решается при изучении дисциплины «Математика» в разделе «Аналитическая геометрия на плоскости».

Рассмотрим симплекс метод решения этой же задачи. Расширенная система задачи имеет вид:

$\left\{\begin{array}{l}7x_1+8x_2+x_3=474\\ 4x_1+9x_2+x_4=396\\ 3x_1+x_2+x_5=174\end{array}\right.$

Заносим её в исходную симплекс-таблицу (рис. 3).

 

Рис. 3. Начальная симплекс-таблица (The initial simplex table)

 

Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых при расчёте наибольшего возможного значения вводимой в базис переменной. Последняя строка таблицы является строкой оценок разложения векторов условий по базису опорного решения. Оценка разложения вектора условий A_jпо базису опорного решения находится по формуле

${\Delta }_j=\sum _{i=1}^m{C}_{Б}{x}_{ij}-c_j$

В последней строке таблицы с оценками в столбце "B" записываем значение целевой функции на начальном опорном решении Z(X₀):

$Z\left(X_0\right)=\sum _{i=1}^m{C}_{Б}{b}_i=0\cdot 474+0\cdot 396+0\cdot 174=0.$

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как оценки ${\Delta }_1=-\mathrm{12,}{\Delta }_2=-10$ для векторов-условий А₁и А₂ противоречат признаку оптимальности (в задаче на максимум все оценки должны быть неотрицательными).

Вводим в базис вектор с наибольшей (по модулю) отрицательной оценкой, т.е. вектор А₁.

Выводим из базиса вектор с минимальным оценочным отношением для первого столбца. Вычисляем оценочные отношения ${\theta }_{i1}=\frac{b_1}{a_{i1}}$.

Минимум оценочного отношения ${\theta }_{i1}$ достигается в третьей строке:

${\theta }_1=\min \left\{\frac{474}{7},\frac{396}{4},\frac{174}{3}\right\}=\min \left\{67\frac{5}{7}\mathrm{,99,58}\right\}=58.$

Следовательно, выводим из базиса вектор A₃. Выполняем преобразование Жордана-Гаусса с разрешающим элементом a₁₃=3:

 

 

Рис. 4. Вторая симплекс-таблица (The second simplex table)

 

Получаем второе опорное решение X=(58, 0, 68, 164,0) с единичным базисом Б=(A₁,A₃,A₄). Оценки разложения векторов - условий по базису опорного решения находим аналогично 1-му шагу.

Полученное решение не является оптимальным, т.к. вектор A₂ имеет отрицательную оценку ${\Delta }_2=-6.$

Для улучшения решения вводим в базис вектор A₂. Вектор, выводимый из базиса, определяем по минимуму оценочного отношения для второго столбца:

${\theta }_2=\min \left\{\frac{68}{\raisebox{1ex}{$17$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.},\frac{164}{\raisebox{1ex}{$23$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.},\frac{58}{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}\right\}=\min \left\{\mathrm{12,21}\frac{9}{23}\mathrm{,174}\right\}=12.$

Т.е. выводим из базиса вектор А₃. Выполняем преобразование Жордана-Гаусса с разрешающим элементом a₁₂=17/3 (рис. 5):

 

Рис. 5. Третья симплекс - таблица (The third simplex table)

 

Получение решение X* = (54, 12, 0, 72,0) является оптимальным, т.к. для всех векторов – условий, не входящих в базис, оценки положительные. Значение целевой функции при этом равно Z(X*) = 768.

Симплекс-методом данная задача решается при изучении дисциплины «Математика» в разделе «Линейная алгебра». Таким образом, одна и та же профессионально направленная задача решается с помощью двух различных наглядных методов, затем при изучении раздела «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных» данная задача решается аналитическим методом.

Результаты исследования. В результате проведённого исследования определён концептуальный подход к обучению математике для студентов экономического профиля, основанный на использовании наглядного моделирования учебного материала. Обучающиеся учатся строить математические модели, овладевают математическими приёмами и методами решения поставленных задач, при этом накапливаются математические знания, необходимые выпускникам для решения задач уже в будущей профессиональной деятельности [Архипова Н.А., а)], [Архипова Н.А., б)].Кроме того, используя в процесс обучения математике наглядные методы, мы способствуем тому, что у обучающихся развивается логическое мышление, повышается познавательная активность и мотивация к изучению дисциплины. Практическая значимость данного исследования заключается в том, что предложенные подходы (наглядные методы решения экономических задач) могут быть использованы в процессе обучения математике учащихся школ и студентов экономических направлений и специальностей вузов.

Выводы. Таким образом, в данной статье представлена специфика применения наглядных методов в организации учебного процесса. Кроме того, продемонстрировано, как методы наглядности работают при изложении изучаемого материала по математике. Опыт показывает, что решения задач, представленные в виде таблиц, схем или рисунков, дают лучший результат в усвоении математики обучающимися.

 

¹ Беспалько В. П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения [Текст] / В. П. Беспалько. – М.: Изд-во Педагогика, 2018. – С. 60-72; Болтянский В.Г. Формула наглядности - изоморфизм плюс простота [Текст] / В.Г. Болтянский // Советская педагогика. - 1970.- № 5.-С.46-61; Шахмаев Н.М. Средства обучения, Дидактика средней школы; некоторые проблемы современной дидактики [Текст] / Н.М. Шахмаев; под. ред. М.Н.Скаткина. - М., 1982.

² Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы Текст. / СИ. Архангельский. – М: Высшая школа, 1980. – 368 с.; Зимняя И.А. Педагогическая психология Текст.: учебник для вузов / И.А. Зимняя. изд. 2-е., доп., испр. и перераб. – М.: Логос, 2003. – 384 с.; Овакимян Ю. О. Моделирование структуры и содержания процесса обучения Текст. / Ю.О. Овакимян. – М., Изд-во МГПИ, 1976. – 123 с.; Холодная М.А. Психология интеллекта. Парадоксы исследования Текст. / М.А. Холодная: 2-е изд., перераб: и доп. – СПб.: Питер, 2002. – 272 с.; Якиманская И.С. Разработка технологий личностно-ориентированного обучения Текст. / И.С. Якиманская // Вопросы психологии. – 1995. – № 2. – С. 31.

³ Гальперин П.Я. Введение в психологию [Текст] / П.Я. Гальперин. – М.: Высшая школа, 1976. – 336 с.; Давыдов В.В. Лекции по педагогической психологии [Текст] / В.В. Давыдов. – М.: Академия, 2006; Арнхейм Р. Искусство и визуальное восприятие [Текст] / Сокращ. пер. с англ. В. Н. Самохина; Общ. ред. и вступ. статья В. П. Шестакова. – М.: Прогресс, 1974. – 392 с.

作者简介

Natalya Arkhipova

Volga Region State Transport University

编辑信件的主要联系方式.
Email: n_a_arkipova@mail.ru

Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics

俄罗斯联邦, Samara

Natalya Evdokimova

Volga Region State Transport University

Email: evdok22@mail.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics

俄罗斯联邦, Samara

Irina Selezneva

Samara National Research University

Email: kia1971@yandex.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics

俄罗斯联邦, Samara

参考

补充文件