Calculation of the dosimetric characteristics of the radiopharmaceutical “¹⁸⁸re-albumin microspheres” in the body of mice based on pharmacokinetic modeling

Full Text

Список сокращений

РФЛП – радиофармацевтический лекарственный препарат

МСА – микросферы сывороточного альбумина

ЩЖ – щитовидная железа

ПД – поглощённая доза

Микросферы сывороточного альбумина человека являются уникальным транспортом для селективной доставки разнообразных лекарств и радиоизотопов к очагам поражения органов и тканей. Радиоактивные МСА широко применяются в ядерной медицине для диагностики и терапии онкологических и неонкологических заболеваний. В качестве перспективного РФЛП для терапии в нашей стране хорошо зарекомендовал себя препарат на основе МСА, меченный изотопом рения-188 (¹⁸⁸Re-Микросферы альбумина) [1]. Преимущества этого радиоизотопа состоят в том, что он является генераторным и может быть использован для получения РФЛП в клинике ex tempore [2]. Терапевтический эффект рения-188 обусловлен β–излучением, а наличие в спектре γ-квантов позволяет отслеживать распределение РФЛП в организме с помощью гамма-камеры [3].

В работе [4] получены экспериментальные данные фармакокинетики меченных ¹⁸⁸Re МСА диаметром 10−20 мкм в организме интактных мышей при внутривенном введении. Для оценки стабильности РФЛП «¹⁸⁸Re-Микросферы альбумина» in vivo там же исследована фармакокинетика свободного рения-188 в виде Na¹⁸⁸ReO₄. На основе экспериментальных результатов с помощью статистических методов было показано, что данный препарат может быть полезен для радионуклидной терапии опухолей разной локализации при внутрисосудистом введении.

Фармакокинетическое (камерное) моделирование кинетики РФЛП в организме экспериментальных животных позволяет количественно описать течение процесса in vivo, математически рассчитывать скорости перехода РФЛП между органами и тканями (камерами модели), а также зависимые от них фармакокинетические и дозиметрические характеристики [5]. Кроме того, метод камерных моделей и построения экспоненциальных функций камерного накопления–выведения даёт естественную возможность строить индивидуальные модели кинетики РФЛП в критических органах и патологических очагах и тем самым обеспечить более адекватную оценку уровней их внутреннего радиационного облучения, чем применение стандартных методик из рекомендаций Международной комиссии по радиологической защите [6].

Таким образом, цель работы заключалась в разработке камерной математической модели кинетики меченных ¹⁸⁸Re МСА в соответствии с условиями эксперимента [4] и расчёте на её основе дозиметрических характеристик (накопленных и полных поглощённых доз) данного РФЛП в организме интактных мышей.

Материал и методы

Объектами исследования являлись меченный рением-188 препарат на основе МСА (¹⁸⁸Re-Микросферы альбумина диаметром 10−20 мкм) и перренат натрия (Na¹⁸⁸ReO₄). Методика получения этих РФЛП описана в работе [4].

Изучение фармакокинетики ¹⁸⁸Re-МСА проводили на беспородных белых мышах массой 25 ± 3 г. Для оценки стабильности ¹⁸⁸Re-МСА in vivo также было исследовано распределение свободного рения в виде элюата Na¹⁸⁸ReO₄ в организме интактных мышей. Всего было использовано 48 животных.

Всем животным внутривенно в хвостовую вену вводили РФЛП по 185 кБк (мышам первой группы − ¹⁸⁸Re-МСА, второй группы − Na¹⁸⁸ReO₄). Через интервалы времени 5 мин, 1, 3, 24, 48 и 72 ч по 4 животных каждой группы забивали декапитацией, выделяли пробы органов и тканей, помещали в пластиковые пробирки, взвешивали на электронных весах и проводили их радиометрию. По данным радиометрии рассчитывали содержание РФЛП в 1 г (мл) органа или ткани в процентах от введенного количества. Статистически обработанные результаты радиометрии приведены в работе [4].

Камерная модель и методика идентификации её параметров

Для описания кинетики данных РФЛП в организме мышей в соответствии с условиями эксперимента мы разработали камерную модель, геометрическая схема которой представлена на рис. 1. Данная модель включает в себя центральную камеру крови (обозначена цифрой 0) и периферические камеры почек (1), печени (2), лёгких (3), щитовидной железы (4), селезёнки (5), желудка без содержимого (6). Фармакокинетика в остальных органах и тканях не определялась.

Рис. 1. Графическое изображение камерной модели.

Функции удержания активности РФЛП в камерах обозначены как F₀, F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆ (они же функции накопления–выведения). Транспортные константы (биологические константы скорости перехода РФЛП между камерами, на рис. 1 изображены стрелочками) имеют обозначения K_ab, где первый индекс a указывает на камеру, из которой выводится РФЛП, и второй индекс b – на камеру, в которой он накапливается. Константы K₁ и K₂ определяют скорости почечного и печёночного клиренса соответственно (на рис. 1 изображены выходящими стрелочками из камер почек и печени). Также в модели учтён радиоактивный распад изотопа ¹⁸⁸Re, постоянная распада которого λ ≈ 0,041 ч^–1 и период полураспада T_1/2 ≈ 17,0 ч.

Математическая интерпретация данной камерной модели в рамках химической кинетики первого порядка [5] сводится к следующей системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d{F}_0\left(t\right)}{dt}=\sum _{i=1}^6{K}_{i0}{F}_i\left(t\right)-\left(\sum _{i=1}^6{K}_{0i}+\lambda \right)F_0\left(t\right),\\ \frac{d{F}_i\left(t\right)}{dt}=K_{0i}{F}_0\left(t\right)-\left(K_i+K_{i0}+\lambda \right)F_i\left(t\right)\\ \frac{}{}при\stackrel{}{}i=\mathrm{1,}\stackrel{}{}\mathrm{2,}\\ \\ \frac{d{F}_i\left(t\right)}{dt}=K_{0i}{F}_0\left(t\right)-\left(K_{i0}+\lambda \right)F_i\left(t\right)\\ \frac{}{}при\stackrel{}{}i\ge 3.\end{array}\right.$ (1)

Функции F_i удобно выразить в относительных единицах (на единицу введенной активности A₀) и, таким образом, они могут принимать значения от 0 до 1. С учетом внутривенного введения РФЛП начальные условия для системы уравнений (1) запишутся в виде:

F₀(0) = 1, F_i(0) = 0 при i = 1, 2... 6. (2)

Система (1) с условиями (2) представляет собой задачу Коши, решение которой может быть найдено аналитически или при помощи численных методов [7]. При аналитическом решении получаются очень громоздкие математические выражения, в которых фармакокинетические кривые F_i для всех камер представляются через линейную комбинацию экспоненциальных функций, т.е. являются полиэкспоненциальными со многими константами скорости накопления и выведения. Поскольку при доклинических исследованиях не требуется достижение повышенной точности расчётов фармакокинетических и дозиметрических характеристик РФЛП [8], фармакокинетические кривые достаточно выразить через одну экспоненту для камеры крови (учитывает процесс выведения РФЛП) и через комбинацию двух экспонент для остальных камер (учитывают процессы накопления и выведения РФЛП):

$F_0\left(t\right)=C_0\exp \left(-K_{0}t\right), F_i\left(t\right)=C_i\frac{K_{0i}}{K_{0i}-K_{i0}}\left(\exp (-K_{i0}t)-\exp (-K_{0i}t)\right)$ (3)

где C₀ и C_i – максимальные значения соответствующих функций удержания активности.

Задача идентификации кинетических параметров модели (транспортных констант) решается с помощью функционала невязки Φ (K_ab, K₁, K₂), который задаёт меру отклонения расчётной (модельной) характеристики (в нашем случае это функции F_i) от её экспериментальных значений в заданные моменты времени t_j. В качестве таких значений использовались результаты радиометрии органов и тканей крыс, приведенные в работе [4]. Тогда функционал невязки принимает вид:

$\Phi \left(\overrightarrow{K}\right)=\sum _{i=0}^6\sum _{j=1}^N{\left\{F_i^{расч}\left(t_j\right)-F_i^{эксп}\left(t_j\right)\right\}}^2$ (4)

где $\overrightarrow{K}$= [K_ab, K₁, K₂] – вектор кинетических параметров модели, N – количество экспериментальных значений для i–камеры модели.

Для определения истинных значений транспортных констант требуется решить вариационную задачу по нахождению минимума функционала (4) , т.е.

${\left.\delta \Phi \left(\overrightarrow{K}\right)\right|}_{\begin{array}{c}{K}_{ab}>\mathrm{0,}\\ K_1>\mathrm{0,}{K}_2>0\end{array}}=0, {\delta }^2\Phi >0$ (5)

при условии положительных значений всех транспортных констант, которые в данном случае приобретают смысл вариационных параметров. Найденные таким образом значения транспортных констант далее подставляются в упрощённые решения (3) системы уравнений (1) для построения фармакокинетических кривых «Концентрация-время» (без учёта физического распада РФЛП) или «Активность-время» (с учётом распада РФЛП).

При условии быстрого накопления РФЛП в камере (когда значение константы скорости накопления много больше значения константы скорости выведения, K_0i >> K_i0) из второго выражения (3) также следует, что константа накопления для i–камеры может быть определена через тангенс угла наклона касательной, проведенной к фармакокинетической кривой на начальном участке её подъёма:

$K_{0i}{C}_i={F^{\text{'}}}_i(t=0)=tg\left(\alpha \right)$ (6)

Методика расчёта фармакокинетических и дозиметрических характеристик

Зная константы скорости выведения в каждой камере можно рассчитать биологические и эффективные периоды полувыведения РФЛП из камеры (органа/ткани) по формулам:

$T_{bio}\approx t_{\max }+\ln 2/K, T_{eff}=\frac{T_{bio}{T}_{1/2}}{T_{bio}+T_{1/2}}$ (7)

где t_max – время достижения максимальной концентрации в камере, K – биологическая константа выведения РФЛП для данной камеры. Также значения периодов полувыведения можно определить по построенным фармакокинетическим кривым «Концентрация-время» (биологический период полувыведения) и «Активность-время» (эффективный период полувыведения) как время, за которое количество РФЛП уменьшается вдвое по сравнению с его максимальным значением в камере.

Другими важными фармакокинетическими характеристиками для оценки функциональной пригодности РФЛП являются клиренс крови Cl и кажущийся объём распределения V_d [5]:

$Cl=A_0/AUC, V_d=Cl/\left(K+\lambda \right)$ (8)

где AUC (area under curve) – площадь под кривой «Активность-время», физическим смыслом которой является число ядерных распадов РФЛП в камере.

К дозиметрическим характеристикам РФЛП относятся накопленные к определённому моменту времени и полные ПД в органах и тканях организма (камерах модели). Рассчитать их можно для всех камер модели с использованием фармакокинетических кривых «Активность-время». Причём достаточно учесть вклад только от β-частиц, так как именно они оказывают существенный терапевтический эффект, а вкладом от γ-излучения РФЛП можно пренебречь [9].

Накопленная к моменту времени t ПД в i–органе (ткани) определяется через площадь AUC_i в соответствующей i–камере [10]:

$D_i\left(t\right)=k{A}_0\frac{<E_{\beta }>}{m_i}AU{C}_i\left(t\right), AU{C}_i\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{F}_i\left(\tau \right)d\tau$ (9)

где <E_β> – средняя энергия β-частиц распада радионуклида в составе РФЛП (для ¹⁸⁸Re <E_β> = 0,780 МэВ/распад [9]), m_i – масса i–органа (ткани), k – коэффициент пропорциональности. Так как пробег β-частиц в органах и тканях не превышает нескольких мм [9], то органом-источником в этом случае является только сам орган-мишень, в котором и происходит облучение (i–орган). При t → ∞ из формул (9) получаются также полные ПД во всех органах и тканях.

Результаты и обсуждение

Идентификация транспортных констант камерной модели проводилась с использованием численных методов (наименьших квадратов, Хука–Дживса) [7]. Для осуществления процедур минимизации (4), (5) и расчёта дозиметрических характеристик (9) нами была разработана и написана программа на языке программирования C++.

В качестве примера на рис. 2 приведены рассчитанные в результате моделирования фармакокинетические кривые (3) для камеры ЩЖ интактных мышей с использованием ¹⁸⁸Re-МСА (чёрный цвет) и Na¹⁸⁸ReO₄ (красный цвет). Также на рис. 2 квадратиками и кружочками соответственно показаны экспериментальные значения с учётом их погрешности [4]. Можно видеть, что полученные модельные фармакокинетические кривые хорошо согласуются со своими экспериментальными значениями.

Рис. 2. Фармакокинетические кривые и экспериментальные данные для камеры ЩЖ.

В табл. 1 представлены рассчитанные во всех камерах модели (см. рис. 1) транспортные константы накопления и выведения и основные фармакокинетические характеристики двух исследуемых РФЛП. В скобках указаны приближенные значения констант накопления, определённые через тангенс угла наклона касательной по формуле (6). Периоды полувыведения рассчитывались по формулам (7).

Таблица 1. Фармакокинетические характеристики ¹⁸⁸Re-МСА и Na¹⁸⁸ReO₄

(1) ¹⁸⁸Re-МСА

(2) Na¹⁸⁸ReO₄

Анализ результатов моделирования и расчётов характеристик, представленных в табл. 1, показал, что после внутривенного введения происходит максимально быстрая миграция исследуемых РФЛП из крови в периферические камеры (органы и ткани). В то время как биологическое выведение РФЛП из всех камер происходит значительно медленнее – рассчитанные константы выведения в 100–1000 раз меньше констант накопления. При этом ¹⁸⁸Re-МСА существенно быстрее переходит в органы и ткани по сравнению со свободным рением в форме Na¹⁸⁸ReO₄. Его максимальная концентрация в крови примерно в 12 раз меньше максимальной концентрации свободного рения. Однако скорость выведения ¹⁸⁸Re-МСА из крови в целом оказывается в два раза меньше по сравнению со свободным рением (константы выведения равны 0,028 и 0,061 ч⁻¹ соответственно), что указывает на более продолжительное депонирование ¹⁸⁸Re-МСА в периферических камерах.

Сопоставление рассчитанных по формулам (8) эффективных значений клиренса крови и кажущегося объема распределения подтверждает сделанные выше выводы. При A₀ = 185 кБк для ¹⁸⁸Re-МСА Cl = 10,3 мл/ч и V_d = 149,4 мл, в то время как для Na¹⁸⁸ReO₄ Cl = 1,3 мл/ч и V_d = 12,7 мл. Большие значения кажущегося объема распределения по сравнению с общим объемом крови мышей (примерно 4 мл) указывают на депонирование РФЛП в органах и тканях. Для ¹⁸⁸Re-МСА таким органом являются преимущественно лёгкие, хотя существенные значения активности выявлены также в ЩЖ, печени и селезёнке. При этом скорости накопления ¹⁸⁸Re-МСА в них значительно меньше, чем в лёгких (см. константы накопления в табл. 1). Данный процесс может быть вызван дополнительным накоплением в этих органах освободившегося ¹⁸⁸Re в результате частичного распада депонированного ¹⁸⁸Re-МСА в лёгочной ткани по мере рассасывания белковых микросфер.

Показателем стабильности ¹⁸⁸Re-МСА in vivo в целом является уровень накопления активности в ЩЖ и желудке, так как несвязанный рений проявляет тропность к ним. Максимальные концентрации ¹⁸⁸Re-МСА в этих органах примерно в 6−7 раз меньше максимальных концентраций Na¹⁸⁸ReO₄, что указывает на высокую стабильность ¹⁸⁸Re-МСА in vivo.

Более высокое значение клиренса крови для ¹⁸⁸Re-МСА (примерно в 8 раз больше по сравнению с Na¹⁸⁸ReO₄) обусловливает меньшие лучевые нагрузки на кровеносную систему в связи с уменьшением активности РФЛП, что также является преимуществом ¹⁸⁸Re-МСА in vivo. Сопоставление рассчитанных значений констант выведения для почек и печени (см. табл. 1) позволяет сделать вывод о том, что свободный рений-188 выводится из организма обоими органами. В то время как ¹⁸⁸Re-МСА выводится преимущественно почками (константа выведения равна 0,020 ч⁻¹). Кроме того, как показали расчёты, константы обратного всасывания обоих РФЛП из камер почек и печени в кровь K₁₀ и K₂₀ (на рис. 1 изображены штриховыми линиями) значительно меньше констант клиренса K₁ и K₂ соответственно, и ими можно пренебречь при расчётах фармакокинетических и дозиметрических характеристик.

Относительно периодов полувыведения (биологических и эффективных) наблюдается обратная закономерность. Чем больше значение периода полувыведения, тем меньше значение константы выведения РФЛП из камеры. Для свободного ¹⁸⁸Re периоды полувыведения во всех камерах модели имеют близкие друг к другу значения. Таким образом, Na¹⁸⁸ReO₄ выводится из всех органов и тканей практически за одинаковые промежутки времени. Напротив, значения периодов полувыведения для ¹⁸⁸Re-МСА лежат в пределах 18,8−102 ч, что указывает на разные скорости выведения данного РФЛП из органов и тканей. Медленнее всего этот препарат выводится из лёгких, печени и селезёнки. Значения эффективных периодов полувыведения отражают элиминацию РФЛП с учётом радиоактивного распада ¹⁸⁸Re и не превышают значения его периода полураспада (17 ч).

С использованием данных табл. 1 по формулам (9) рассчитывались накопленные и полные ПД в органах и тканях для ¹⁸⁸Re-МСА и Na¹⁸⁸ReO₄. В качестве примера на рис. 3 приведена динамика формирования накопленных поглощённых доз в крови интактных мышей с использованием ¹⁸⁸Re-МСА (чёрный цвет) и Na¹⁸⁸ReO₄ (красный цвет). Значения ПД монотонно возрастают со временем, достигая своих предельных значений равных полным ПД примерно к 80 часам от начала введения РФЛП в кровь. При этом, как и следовало ожидать, значения ПД в крови от ¹⁸⁸Re-МСА существенно меньше по сравнению с Na¹⁸⁸ReO₄, что обусловлено большим различием значений клиренса крови этих РФЛП. Полученные в других камерах модели зависимости накопленных ПД аналогичны, однако значения самих ПД в разных органах и тканях при использовании двух исследуемых РФЛП существенно различаются.

Рис. 3. Динамика формирования ПД для камеры крови.

В табл. 2 представлены рассчитанные во всех камерах модели значения полных ПД с использованием ¹⁸⁸Re-МСА и Na¹⁸⁸ReO₄. В скобках указаны значения ПД, определённые через константы накопления с применением формулы (6). Как можно видеть из табл. 2, значения полных ПД для двух исследуемых РФЛП в органах и тканях различаются существенно (примерно в 10−100 раз!), что отражает их индивидуальную фармакокинетику в организме интактных мышей. Так, для Na¹⁸⁸ReO₄ максимальные значения полных ПД получены в камерах ЩЖ и желудка. Именно в этих органах преимущественно накапливается свободный рений. Напротив, для ¹⁸⁸Re-МСА максимальное значение получено в лёгких, что отражает тропность данного РФЛП к этому органу. Также критическим органом (с большим значением ПД) для ¹⁸⁸Re-МСА является ЩЖ, в которой накапливается освобождающийся по мере рассасывания МСА в лёгочной ткани свободный ¹⁸⁸Re, о чём уже говорилось ранее.

Таблица 2. Полные поглощённые дозы.

Динамику формирования ПД в органах и тканях отражают периоды половинного накопления дозы T_D. Они приведены на рис. 4 в виде гистограммы для ¹⁸⁸Re-МСА (чёрный цвет) и Na¹⁸⁸ReO₄ (красный цвет). Значения T_D определялись по полученным модельным зависимостям накопленных ПД (см. рис. 3) как времена достижения половинного значения от полных ПД (см. табл. 2).

Рис. 4 Периоды половинного накопления ПД.

Во всех органах и тканях полученные значения периодов полунакопления для ¹⁸⁸Re-МСА превышают значения периодов полунакопления для Na¹⁸⁸ReO₄. Максимальное различие (примерно в 2 раза) достигается в камерах лёгких, печени и селезёнки. Таким образом, ¹⁸⁸Re-МСА характеризуется более медленной динамикой формирования ПД в органах и тканях интактных крыс по сравнению со свободным рением. Также следует отметить, что значения T_D примерно совпадают со значениями эффективных периодов полувыведения в соответствующих камерах модели (см. табл. 1).

Заключение

Разработана камерная математическая модель кинетики ¹⁸⁸Re-МСА в организме интактных мышей в соответствии с условиями эксперимента. С использованием экспериментальных данных радиометрии органов и тканей получены и проанализированы фармакокинетические кривые и кривые накопления ПД в камерах модели, а также определены фармакокинетические и дозиметрические характеристики ¹⁸⁸Re-МСА и Na¹⁸⁸ReO₄ (транспортные константы накопления и выведения, биологические и эффективные периоды полувыведения, максимальные концентрации и времена их достижения, клиренс крови и кажущийся объём распределения, накопленные и полные ПД внутреннего облучения, периоды полунакопления ПД).

Анализ рассчитанных фармакокинетических характеристик показал, что ¹⁸⁸Re-МСА избирательно накапливается в лёгких. При этом данный РФЛП обладает высокой стабильностью in vivo, так как уровень его накопления в ЩЖ и желудке существенно ниже по сравнению со свободным рением-188. Также выявлено его повышенное накопление в камерах печени и селезёнки, что может быть обусловлено частичным распадом депонированного ¹⁸⁸Re-МСА в лёгочной ткани по мере рассасывания белковых микросфер. Показано, что ¹⁸⁸Re-МСА выводится из крови преимущественно почками, при этом значение клиренса крови для него примерно в 8 раз больше по сравнению с Na¹⁸⁸ReO₄.

Из анализа рассчитанных дозиметрических характеристик следует, что значения накопленных ПД в органах и тканях монотонно возрастают от момента введения ¹⁸⁸Re-МСА в кровь, достигая своих предельных значений равных полным ПД примерно к 80 часам. Максимальные значения ПД получены в камере лёгких, что отражает тропность данного РФЛП к этому органу. Также критическим органом для ¹⁸⁸Re-МСА является ЩЖ. В ней выявлены более высокие значения ПД по сравнению с другими камерами модели, но существенно меньшие по сравнению с камерой лёгких. В целом лучевые нагрузки на кровь при использовании ¹⁸⁸Re-МСА примерно в 8 раз меньше по сравнению с Na¹⁸⁸ReO₄. При этом ¹⁸⁸Re-МСА характеризуется более медленной динамикой формирования ПД во всех органах и тканях интактных мышей. Полученные результаты моделирования в совокупности позволяют рассматривать ¹⁸⁸Re-МСА в качестве перспективного РФЛП для радионуклидной терапии опухолей разной локализации при внутрисосудистом введении.

Благодарности

Автор выражает огромную благодарность своему научному консультанту, заведующему лабораторией экспериментальной ядерной медицины МРНЦ им. А.Ф. Цыба – филиала ФГБУ НМИЦ радиологии Минздрава России, д.б.н., профессору Петриеву Василию Михайловичу (умер в 2023 году) за предоставленные экспериментальные результаты, полученные под его руководством, на основе которых в дальнейшем разрабатывалась камерная модель и проводились расчёты дозиметрических характеристик ¹⁸⁸Re-МСА.

About the authors

A. V. Matveev

Author for correspondence.
Email: matav@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6082-8067
SPIN-code: 3487-3740

к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры физики, математики, медицинской информатики

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Graphic representation of the chamber model.

Download (43KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Pharmacokinetic curves and experimental data for the thyroid chamber.

Download (28KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Dynamics of AP formation for the blood chamber.

Download (10KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4 Periods of half accumulation of PD.

Download (34KB)

Indexing metadata