Оптимальный по быстродействию перелет Земля-Марс-Земля

Full Text

Обоснование. Одно из перспективных направлений развития космонавтики является посещение и исследование человеком поверхности Марса.

Цель — рассмотреть задачу эскизного проектирования космического аппарата (КА) для осуществления экспедиции Земля — Марс — Земля за минимально возможное время.

Методы. Для планирования экспедиции важно не только рассчитать полет космического корабля на Марс и возвращение на Землю, но и обеспечение условий, в которых экипаж был здоров и работоспособен. Требуется предусмотреть способы решения всех проблем, с которыми столкнуться в полете члены экипажа. Проблема голода и жажды легко решается в Земных условиях, но каждый день пребывания в межпланетном пространстве одного человека требует нескольких килограмм пищи, воды для питья и гигиенических процедур, что существенно увеличит массу экспедиционного комплекса. И это при условии использования регенерированной воды и сублимированных продуктов. Кроме того, требуется предусмотреть утилизацию продуктов жизнедеятельности и предметов гигиены, а также расходные материалы для систем регенерации воздуха и воды.

Космическое излучение это один из самых опасных факторов во время перелета, так как оно будет воздействовать на человека весь полет. Здесь тоже возможно применение различных систем защиты и активных, с использованием отклоняющего электромагнитного поля, и пассивных.

В любом случае и с любой точки зрения сокращение длительности экспедиции положительно скажется на здоровье космонавтов и сокращении массы необходимых запасов еды и воды. Поэтому мы выбрали оптимальное быстродействие как основной критерий оптимальности.

Упрощенная массовая модель аппарата содержит сумму масс возвращаемой части с экипажем, исследовательского аппарата, остающегося на поверхности планеты назначения, массу рабочего тела вместе с системами подачи и хранения, массу источников энергии и двигательных систем и массу конструкции.

Задачи оптимизации межпланетных траекторий перелета сводились к вариационным задачам определения оптимального управления. Движение КА описывалось следующими уравнениями, в плоской полярной системе координат, приведенными к нормальному виду (1).

$\frac{dr}{dt}=V_r,$,

$\frac{d\varphi }{dt}=\frac{V_{\varphi }}{r},$ (1)

$\frac{d{V}_r}{dt}=\frac{V_{\varphi }^2}{r}-\frac{1}{r^2}+\frac{a_0}{r^2}\cos \lambda ,$,

$\frac{d{V}_{\varphi }}{dt}=-\frac{V_r{V}_{\varphi }}{r}-\frac{a_0}{r^2}\sin \lambda$.

В соответствии с формализмом принципа максимума Понтрягина вводился вектор сопряженных переменных $\overline{P}={\left(\begin{array}{cccc}{P}_r,& P_{\varphi },& P_{V_r},& P_{V_{\varphi }}\end{array}\right)}^T$ и составлялся гамильтониан $H={\left(\frac{d\overline{X}}{dt}\right)}^T\cdot \overline{P}$, где $\overline{X}={\left(\begin{array}{cccc}r,& \varphi ,& V_r,& V_{\varphi }\end{array}\right)}^T$ — вектор фазовых координат системы (1). Из условия максимума гамильтониана найдено оптимальное управление, обеспечивающее минимальную длительность перелета:

$\sin \lambda =\frac{P_{V_{\varphi }}}{\sqrt{{P_{V_r}}^2+{P_{V_{\varphi }}}^2}}$, $\cos \lambda =\frac{P_{V_r}}{\sqrt{{P_{V_r}}^2+{P_{V_{\varphi }}}^2}}$. (2)

При не фиксированной угловой дальности, с учетом условия трансверсальности $P_{\varphi }\left(T\right)=0$ и уравнений для оптимального управления (2), система дифференциальных уравнений для сопряженных множителей имеет вид:

$\frac{d{P}_r}{dt}=P_{V_r}\left(\frac{{V_{\varphi }}^2}{r^2}-\frac{2}{r^3}\right)-P_{V_{\varphi }}\frac{V_r{V}_{\varphi }}{r^2}+\frac{2a_0}{r^3}\sqrt{{P_{V_r}}^2+{P_{V_{\varphi }}}^2}$,

$\frac{d{P}_{\varphi }}{dt}=0$$\Rightarrow$$P_{\varphi }\equiv 0$,

$\frac{d{P}_{V_r}}{dt}=-P_r+P_{V_{\varphi }}\frac{V_{\varphi }}{r}$, (3)

$\frac{d{P}_{V_{\varphi }}}{dt}=\frac{P_{V_{\varphi }}{V}_r-2P_{V_r}{V}_{\varphi }}{r}$.

Таким образом, задача об оптимальном по быстродействию перелете между круговыми, компланарными орбитами сводится к следующей двухточечной двухпараметрической краевой задаче. Требуется найти такие начальные значения параметров ${\lambda }_0=arctg\frac{P_{V_r}}{P_{V_{\varphi }}}$ и $P_r$ ( $\sqrt{P_{V_r}{\left(t_0\right)}^2+P_{V_{\varphi }}{\left(t_0\right)}^2}=1$ — из условия нормировки), чтобы на концах оптимальной траектории выполнялись начальное и конечное условия:

$\overline{X}\left(t_0\right)=\left(\begin{array}{cccc}{r}_0=\mathrm{1,}& {\varphi }_0=\mathrm{0,}& V_{r0}=\mathrm{0,}& V_{\varphi 0}=1\end{array}\right)$, $\overline{X}\left(T\right)=\left(\begin{array}{cccc}{r}_k,& {\varphi }_k-unfixe,& V_{rk}=\mathrm{0,}& V_{{\varphi }_k}=\frac{1}{\sqrt{r_k}}\end{array}\right)$. (4)

Результаты. Приведенная выше методика позволила рассчитать оптимальные по быстродействию перелеты Земля — Марс и Марс — Земля и получить оптимальную схему замкнутого межпланетного перелета для КА со следующими параметрами: конечная масса КА (120 т), номинальная тяга двигателей (300 Н), скорость истечения (70 км/с). Считалась, что стартовая геоцентрическая орбита круговая высотой 400 км и целевая ареоцентрическая орбита высотой 300 км.

Выводы. В результате решения задачи получено время перелета 673 дня при расходе рабочего тела в 56 т, и стартовой массы экспедиционного комплекса 400 т.

About the authors

Тольяттинский политехнический колледж

Email: timofejtuzov4@gmail.com

студент, группы ВП-21, специальность информационные системы и программирование

Russian Federation, Тольятти

Тольяттинский политехнический колледж

Author for correspondence.
Email: timofejtuzov4@gmail.com

научный руководитель коллектива авторов

Russian Federation, Тольятти

Supplementary files