Математическое моделирование фракталов

Full Text

Обоснование. Фрактальная графика [5] широко применяется во многих сферах жизнедеятельности человека, в том числе и в электротехнике для описания форм электромагнитных полей при разработке многодиапазонных и широкополосных антенн с заданными характеристиками [1, 3].

Фрактальные антенны — это относительно новый класс электрических малых антенн, существенно отличающихся своей формой от известных прототипов, имеющих более сложную форму, отвечающих требованиям для беспроводных коммуникационных устройств и мобильных гаджетов [3]. В антенных решениях используются не подлинные фракталы, а лишь несколько первых их итерационных форм, получивших в геометрии название кривых, заполняющих пространство (SFC) или плоскость (PFC) [1, 2]. Из них очень популярны в качестве излучающих элементов: треугольник Серпинского и ковер Серпинского, кривые Гильберта, кривые Коха, джулианские структуры и формы Contor [2].

Фрактальные технологии на основе ломанных линий позволяют уменьшить габариты антенн и увеличить полосу пропускания, снизить их взаимное влияние с помощью увеличения межэлементного зазора и расширить сектор сканирования благодаря более плотной установке антенных элементов в дипольных решетках. Антенна, выполненная на основе структуры Серпинского, способна заменить несколько антенн, работающих в различных диапазонах частот и имеет хороший уровень согласования на резонансных частотах [1–3]. На рис. 1. показана данная антенна.

 

Рис. 1. Многополосная фрактальная антенна монопольного типа Серпинского

 

Математическое моделирование — инструмент для расчета параметров фрактальных антенн [1].

Цель — реализовать фрактал Серпинского в программе Visual Studio 2019 на языке C#.

Методы. Рассмотрим последовательность построения треугольника Серпинсого (ТС): строим большой внешний треугольник, затем треугольник, получившийся при соединении середин сторон внешнего треугольника, аналогично строим другие треугольники [4]. Алгоритм показан на рис. 2. Теперь напишем код фрактала Серпинского на языке C#.

 

Рис. 2. Алгоритм построения треугольник Серпинского

 

class triangle

{

public void DrawTriangle(int n, PointF osn, PointF right, PointF left, Graphics g, Pen pen)

{

// строим внешний треугольник

g.DrawLine(pen, osn, left);

g.DrawLine(pen, osn, right);

g.DrawLine(pen, left, right);

// рассчитываем середины сторон треугольника

var leftSred = SredPoint(osn, left);

var rightSred = SredPoint(osn, right);

var topSred = SredPoint(left, right);

// рекурсивно вызываем функцию для построения меньших треугольников

if (n > 0)

{

DrawTriangle(n — 1, osn, leftSred, rightSred, g,pen);

DrawTriangle(n — 1, leftSred, left, topSred, g,pen);

DrawTriangle(n - 1, rightSred, topSred, right, g,pen);

}

}

//функция вычисления координат средней точки

private PointF SredPoint(PointF p1, PointF p2)

{

return new PointF((p1.X + p2.X) / 2, (p1.Y + p2.Y) / 2);

}

}

DrawTriangle — функция для построения треугольника, включающая в себя 6 аргументов, где n — количество итераций, osn — точка вершины, right — правая точка основания, left — левая точка основания, g — экземпляр класса Graphics, который представляет собой поверхность рисования [6, 7].

Результаты. Рассмотрен алгоритм построения фрактальной структуры для создания электрически малой антенны и реализован на языке C# в программе Visual Studio 2019. Преимущество программирования состоит в автоматической генерации изображений путем математических расчетов. Результаты написанного кода в данной программе представлены на рис. 3.

 

Рис. 3. Фигура, полученная в программе Visual Studio 2019

 

Выводы. Возможности фракталов, такие как уменьшение размеров и эффективное использование ограниченного пространства, дают явное преимущество фрактальных антенн перед антеннами евклидовой геометрии [2, 3]. Математическое моделирование в программировании позволяет порождать нетривиальные структуры с помощью несложных алгоритмов и строить изображения по уравнениям или по системе уравнений, меняя их коэффициенты, можно получить другую форму, что удобно для подбора параметров построения фрактальной антенны [1, 5].

About the authors

Самарский государственный технический университет

Email: natashka1333@gmail.com

студентка, группа 21НФ-115, направление автоматизация технологических процессов

Russian Federation, Самара

Самарский государственный технический университет

Author for correspondence.
Email: abvfait@mail.ru

научный руководитель, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Электроэнергетики, электротехники и автоматизации технологических процессов»

Russian Federation, Самара

References

Supplementary files