Собственные колебания неоднородного длинного цилиндра

Full Text

Обоснование. Тела цилиндрической формы часто используются в современных конструкциях: резервуары для воды, сжиженного природного газа, нефтепродуктов и др., поэтому важно уметь предсказывать их поведение при приложении различных видов нагрузок (статической, динамической, внезапно приложенной и др.), а также вычислять напряжения и деформации в различных точках цилиндров. Хорошо известны решения о колебаниях однородных и анизотропных бесконечных цилиндров [1, 2]. В работе рассматривается цилиндр, неоднородность которого заключается как в изменении упругих постоянных по толщине цилиндра, так и в изменении его плотности. Такими телам являются, например, сосуды высокого давления, изготовленные из рулонированных обечаек, сваренных кольцевыми швами между собой [3]. Такая конструкция имеет механические характеристики, изменяющиеся вдоль радиуса дискретно. Рулонированные (многослойные) цилиндры более экономичны в изготовлении, требуют меньше трудозатрат и более безопасны в силу своей конструкции.

Цель — вычисление частот собственных колебаний неоднородного бесконечного цилиндра и построение соответствующих форм колебаний.

Методы. Задача решается методом конечных интегральных преобразований, предложенным Ю.Э. Сеницким. В работе свойства материала приняты степенной функцией радиуса:

${\lambda }^{н}=\lambda {\overline{r}}^n,{\mu }^{н}=\mu {\overline{r}}^n,{\rho }^{н}=\rho {\overline{r}}^n,c_1^{н}={с}_1,$ (1)

ρ — плотность материала; λ, μ — постоянные Ламе; n — показатель неоднородности; $c_1^{н}$ — cкорость распространения волн расширения.

Дифференциальное уравнение теории упругости в перемещениях, описывающее радиально-симметричные колебания цилиндра в сферических координатах, имеет вид [1, 2]:

$\frac{{\partial }^2{u}^{н}}{\partial r^2}+\frac{n+1}{r}\frac{\partial u^{н}}{\partial r}-\frac{1-n\beta }{r^2}{u}^{н}=\frac{1}{c_1^2}\frac{{\partial }^2{u}^{н}}{\partial t^2}.$ (2)

Начальные

$u\left(r\mathrm{,0}\right)=f\left(r\right), \frac{\partial u\left(r\mathrm{,0}\right)}{\partial t}=g\left(r\right),$ (3)

и краевые условия задачи

${\sigma }_r\left(a,t\right)=A\left(t\right), {\sigma }_r\left(b,t\right)=B\left(t\right).$ (4)

Здесь u(r, 0) — радиальное перемещение цилиндра; f(r), g(r) — функция перемещения и функция скорости перемещений, определяющие начальное состояние системы в момент приложения динамической нагрузки; a, b — соответственно внутренний и наружный радиусы цилиндра [4].

Для решения задачи вводится конечное интегральное преобразование с ядром $K({\xi }_i,r)$ [2]:

$\overline{W}({\xi }_i,t)={\int }_a^{b}W(r,t)K({\xi }_i,r)dr.$. (5)

Формула обращения данного преобразования имеет вид:

$W(r,t)=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{\overline{W}({\xi }_i,t)K({\xi }_i,r)}{{||K({\xi }_i,r)||}^2}.$. (6)

 

Рис. 1. Изменение частоты собственных колебаний от толстостенности $\alpha$ цилиндра

 

Здесь ξ_i — частоты собственных колебаний, образующие счетное множество; $||K({\xi }_i,r)||$ — норма в пространстве функций, интегрируемых с квадратом, она определяется выражением

${||K({\xi }_i,r)||}^2={\int }_a^b{K}^2({\xi }_i,r)dr.$ (7)

Ядро преобразования представляется в виде комбинации функций Бесселя:

$K({\xi }_i,r)=J_1\left({\xi }_{i}r\right)\left[{\xi }_i{Y}_0\left({\xi }_{i}a\right)-h_1{Y}_1\left({\xi }_{i}a\right)\right]-Y_1\left({\xi }_{i}r\right)\left[{\xi }_i{J}_0\left({\xi }_{i}a\right)-h_1{J}_1\left({\xi }_{i}a\right)\right]$, (8)

J(ξ_i, r), Y(ξ_i, r) — функции Бесселя I и II рода, а собственные значения ξ_i находятся при решении трансцендентного уравнения:

$\begin{array}{l}\left[{\xi }_i{J}_0\left({\xi }_{i}b\right)-k_1{J}_1\left({\xi }_{i}b\right)\right]\left[{\xi }_i{Y}_0\left({\xi }_{i}a\right)-h_1{Y}_1\left({\xi }_{i}a\right)\right]=\\ =\left[{\xi }_i{J}_0\left({\xi }_{i}a\right)-h_1{J}_1\left({\xi }_{i}a\right)\right]\left[{\xi }_i{Y}_0\left({\xi }_{i}b\right)-h_1{Y}_1\left({\xi }_{i}b\right)\right].\end{array}$ (9)

Здесь h₁ и k₁ параметры, зависящие от вида рассматриваемого напряженного состояния — плоской деформации или плоского напряженного состояния.

Результаты. В качестве примера рассмотрим цилиндр наружного радиуса b = 100 см, различной толстостенности a = 0,5; 0,7; 0,875. Коэффициент Пуассона v = 0,4, E = 2,059 · 105 МН/м2. В таблице приведены первые 5 безразмерных корней характеристического уравнения и соответствующие им частоты собственных колебаний цилиндра с различными показателями неоднородности.

 

Таблица. Корни характеристического уравнения и частоты собственных колебаний цилиндра

№	Параметр	1	2	3	4	5
n = 0, a = 0,875	ξ	11,5488	37,3845	62,6441	87,8306	112,9932
	ω	165,425	535,494	987,31	1258,08	1618,51
n = 1, a = 0,75	ξ	15,264	25,919	46,97	57,478	78,453
	ω	218,693	371,270	672,939	823,315	1123,77
n = 1, a = 0,875	ξ	11,1259	37,2647	62,5729	87,78	112,9539
	ω	159,368	533,778	896,292	1257,36	1617,95
n = 2, a = 0,875	ξ	10,701	37,152	62,5063	87,7325	112,917
	ω	153,281	532,164	895,337	1256,68	1617,42

 

Выводы. Частоты собственных колебаний неоднородного бесконечного полого цилиндра зависят от его толстостенности (отношения a/b) и от показателя неоднородности n.

About the authors

Самарский государственный технический университет

Email: elekina-e1@yandex.ru

студент, группа 20П4, факультет промышленного и гражданского строительства

Russian Federation, Самара

Самарский государственный технический университет

Author for correspondence.
Email: elekina-e1@yandex.ru

научный руководитель, старший преподаватель кафедры строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов

Russian Federation, Самара

References

Supplementary files