Дискретные отображения осцилляторов и эффект нелинейного резонанса

Full Text

Обоснование. Нелинейные явления в физических системах находятся в центре внимания современной науки и техники. Их исследование позволяет получить новые знания о законах окружающего мира и разработать технические устройства, функционирующие на новых физических принципах. Сложность нелинейных явлений определяет актуальность применения к ним метода математического моделирования. Поэтому разработке нелинейных математических моделей в настоящее время уделяется большое внимание исследователей.

Цель — проектирование дискретных во времени нелинейных динамических систем, отображающих характеристики резонанса в колебательной системе с нелинейной емкостью. Метод проектирования должен учитывать данные, полученные в ходе экспериментальных исследований.

Методы. Решение поставленной задачи основано на методах теории нелинейных колебаний и цифровой обработки сигналов. За основу были взяты результаты, полученные в работах [1, 2]. Следуя им, для дискретизации времени в аналоговом осцилляторе использован метод инвариантности импульсных характеристик (МИИХ). Метод находит широкое применение в теории и практике проектирования линейных дискретных фильтров. Он привлекателен с физической точки зрения, т. к. сохраняет временные характеристики отклика линейной системы на внешнее воздействие.

Исследование проводится в два этапа. На первом из них формулируется дифференциальная модель аналоговой системы — колебательного контура с барьерной емкостью обратносмещенного p–n-перехода, в малосигнальном режиме определяется зависимость резонансной частоты Ω_r контура от напряжения смещения.

На втором этапе проводится дискретизация времени в дифференциальной модели нелинейного осциллятора. В результате получается разностное уравнение:

y[n] – 2α cos(2πΩ_r (y [n – 1])) y [n – 1] α² y[n – 2] = εx [n – 1], (1)

где y[n] — осциллирующая переменная, функция дискретного времени, α и ε — параметры потерь и внешнего воздействия. Сформированное таким образом уравнение (1) и есть искомое дискретное отображение нелинейного осциллятора. Являясь итерируемым отображением, оно дает простой алгоритм генерации временного ряда y[n] под внешним воздействием x[n]. Компьютерный анализ характеристик ряда y[n] целесообразно проводить методами цифровой обработки сигналов. В качестве объекта теории колебаний в дискретном времени систему, определяемую отображением (1), можно также обозначать как дискретный осциллятор Дюффинга.

Результаты. Проанализированы резонансные характеристики контура с барьерной емкостью p–n-перехода при гармоническом внешнем воздействии. Показано, что зависимости амплитуд колебаний от частоты внешнего воздействия асимметричны относительно резонансной частоты линейного контура и могут содержать гистерезисные участки. Наличие гистерезиса характерно и для зависимости от амплитуды внешнего воздействия. Показано, что результаты математического моделирования находятся в хорошем соответствии с данными эксперимента.

Выводы. В работе предложено моделировать нелинейные эффекты в колебательных системах методом дискретных отображений с учетом экспериментально установленных характеристик нелинейных элементов, составляющих систему. Для численного анализа осцилляций следует использовать методы цифровой обработки сигналов.

About the authors

Author for correspondence.
Email: nazar.kudryashkin@mail.ru

студент, группа 4301-030302D, физический факультет

References

Supplementary files