Исследование нагрузок при торможении мостового крана

Full Text

Обоснование. Процесс торможения мостовых кранов характеризуется рядом негативных явлений, основные из которых: дополнительные горизонтальные инерционные нагрузки на металлоконструкцию и раскачивание груза после остановки крана. Возникновение данных явлений связано с несовершенством системы управления процессом торможения механизма передвижения крана вследствие использования в данных механизмах нормально-замкнутых тормозных устройств обеспечивающих «жесткое» торможение. В результате «жесткого» торможения горизонтальные нагрузки могут увеличиваться до 40 %, а раскачивание груза после остановки крана составлять более 1 метра [1, 2], что в свою очередь негативно сказывается на работе всего мостового крана.

Цель — найти оптимальное управление торможением мостового крана, при котором угол отклонения груза от вертикали был бы минимальным, с учетом сокращения времени торможения крана.

Методы. Первоначально была принята упрощенная модель мостового крана в виде двухмассовой системы, соединенной стержнем, на конце которого находится точечная масса (рис. 1). Для этой модели была составлена система дифференциальных уравнений (1) с помощью принципа Гаусса [3] и найдено выражение горизонтальной реакции стержня на ось (2).

$\left\{\begin{array}{l}(m_1+m_2)\dot{v}+m_{2}l\left(\ddot{\phi }\cos \right(\phi )-{\dot{\phi }}^2\sin (\phi \left)\right)=u+f\\ \dot{v}\cos \left(\phi \right)+l\ddot{\phi }+g\sin \left(\phi \right)=0\\ N=(m_1+m_2)g+m_{2}l\left(\ddot{\phi }\sin \right(\phi )+{\dot{\phi }}^2\cos (\phi \left)\right)\end{array}\right.$ (1)

$R=m_2\cdot (l\cdot {\dot{\phi }}^2+g\cos (\phi \left)\right)\cdot \sin \left(\phi \right)$ (2)

где m₁ и m₂ — массы тележки и груза; l — длина стержня; v — скорость крана; φ — угол отклонения стержня от вертикали; N — реакция нормального давления на колеса крана; u — прикладываемая к мосту крана сила; f — сила трения.

 

Рис. 1. Расчетная модель мостового крана

 

Физический смысл системы (1): первое уравнение — движение центра масс; второе уравнение — колебание маятника в неинерциальной системе отсчета, связанной с центром масс крана; третье уравнение — реакция нормального давления.

После составления уравнений была выполнена оценка влияния силы трения f на замедление системы при торможении мостового крана, и она оказалась незначительной. В дальнейшем сила трения не учитывалась.

Результаты. В дальнейшем исходная задача оптимального управления была переформулирована и разделена на две более простые задачи. Нужно было подобрать такое управление силой u, чтобы груз как можно меньше отклонялся от вертикали. При такой формулировке задачи был избран критерий оптимизации, заданный функционалом:

${\rm K}\left(\phi \right)=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{\phi }^{2}dt\to \min$ (3)

где верхний предел Т обозначает время торможения.

Переформулировка задачи состоит в следующем: на первом этапе решения системы (1) второе уравнение нужно рассматривать без учета первого, и управлением в такой задаче будет скорость. После нахождения оптимального управления ускорением крана и закона изменения угла φ(t) нужно будет подставить найденные величины в первое уравнение системы (1) и найти управление u(t). Так как угол φ мал, то можно еще более упростить задачу, приняв, что: cos(φ) ≈ 1, sin(φ) ≈ φ.

Таким образом, задача свелась к системе (4)

$\left\{\begin{array}{l}l\ddot{\phi }+g\phi \approx -\dot{v}\\ {\rm K}\left(\phi \right)=\int {\phi }^{2}dt\to \min \end{array}\right.$ (4)

Данную систему можно решить приближенно методом Ритца.

Скорость была разложена следующим образом [4]:

$v=\frac{v_0}{T}(T-t)+\sum _{k=1}^n{c}_k{t}^k(T-t)$ (5)

Найдено третье приближение решения задачи:

$v=(\frac{1.26}{5}-0.04509\cdot t\cdot -0.00422\cdot t^2-0.00037\cdot t^3)\cdot (5-t)$ (6)

при исходных данных:

$\left\{\begin{array}{l}v\left(0\right)=1.26\frac{м.}{с.}\\ v\left(5\right)=0\frac{м.}{с.}\\ \phi \left(0\right)=0рад.\\ \dot{\phi }\left(0\right)=0\frac{рад.}{с.}\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{m}_1=32000кг\\ m_2=16000кг.\\ l=10м.\\ g=9.81\frac{м.}{с{.}^2}\\ T=5c.\end{array}$

В качестве примера на рис. 2 представлены графики изменения угла и горизонтальной нагрузки.

 

Рис. 2. Пример решения: а — график изменения угла; б — график горизонтальной нагрузки

 

Выводы. В результате исследования задача оптимального управления сведена к более простой вариационной задаче, которая приближенно решена методом Ритца и получены численные значения горизонтальной нагрузки действующей на кран при торможении. Однако следует отметить, так при полученном приближенном решении, торможение крана происходит чуть быстрее, чем подразумевалось краевой задачей.

About the authors

Самарский государственный технический университет, филиал в городе Сызрань

Email: schevschenkolg@mail.ru

студент, группа М-19, кафедра Технологии машиностроения

Russian Federation

Самарский государственный технический университет, филиал в городе Сызрань

Author for correspondence.
Email: schevschenkolg@mail.ru

научный руководитель, кандидат технических наук; доцент кафедры технологии машиностроения

Russian Federation

References

Supplementary files