Вероятность на шахматной доске

Full Text

Обоснование. У математики и шахмат много родственного. Шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике, теории графов, теории чисел, вычислительной математике, теории игр. Еще одна точка соприкосновения математики и шахмат — математические игры и задачи на шахматной доске. Важное место среди этих задач занимает ряд комбинаторных и вероятностных задач, связанных с расстановкой и движением фигур на шахматной доске. Обзор таких задач представлен в работах [1, 2]. Расстановке n фигур на шахматной доске n × n посвящено наше исследование.

Цель — найти вероятность расстановки n фигур (слон, ферзь, ладья и конь) на доске n × n, так чтобы ни одна не угрожала другой.

Методы. Для нахождения вероятности использовались различные методы. Предварительно были найдены вероятности расстановки для двух одноименных фигур. Для ладей с использованием формулы полной вероятности удалось вывести конечную формулу для n фигур. Для слонов вероятность находилась как отношение количества расстановок n фигур к количеству сочетаний из n² объектов по n (Cⁿ_n2). Для нахождения количества расстановок слонов использовался метод Георга Фридриха Паррота [1] с поворотом доски на 45° и разбиением ее на две части. При этом был реализован алгоритм на языке программирования C++, который просчитывал все удовлетворяющие условию задачи расстановки и находил соответствующую вероятность. Для ферзей был реализован аналогичный алгоритм. Для коней алгоритм решения задачи в общем виде до настоящего времени не найден. Поэтому расчет вероятности был проведен отдельно для каждого значения n от 2 до 8.

Результаты. Были получены результаты для некоторых значений n: от 2 до 8. Можно увидеть, что с увеличением размерности доски и соответственно увеличением количества фигур на ней вероятность для всех фигур (слон, ладья, конь и ферзь) уменьшается. Результаты приведены в таблице.

 

Таблица. Вероятность того, что n фигур на доске n × n не будут бить друг друга

Фигура	Количество фигур n на доске n × n
	2	3	4	5	6	7	8
Ферзь	0,00	0,000	0,0010	0,00018	2 × 10–6	4 × 10–7	2 × 10–8
Ладья	0,33	0,071	0,0131	0,00225	369 × 10–6	586 × 10–7	9102 × 10–8
Слон	0,66	0,309	0,1428	0,06339	27592 × 10–6	119011 × 10–7	5088592 × 10–8
Конь	1,00	0,428	0,2263	0,17666	132107 × 10–6	1035133 × 10–7	85848282 × 10–8

 

Выводы. Полученные значения вероятности пропорциональны силе фигур. По выведенным показателям вероятности можно также определять силу фигур на доске, а именно: чем ниже вероятность, тем сильнее фигура.

About the authors

Самарский государственный технический университет

Email: anton_zhelyabin@mail.ru

студент, группа 2-ИАИТ-10, институт автоматики и информационных технологий

Russian Federation, Самара

Самарский государственный технический университет

Author for correspondence.
Email: ponick25@gmail.com

научный руководитель, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и информатики

Russian Federation, Самара

References

Supplementary files