Вероятность на шахматной доске
- 作者: 1, 1
-
隶属关系:
- Самарский государственный технический университет
- 期: 卷 1 (2022)
- 页面: 225-226
- 栏目: Математика
- URL: https://journals.eco-vector.com/osnk-sr/article/view/107406
- ID: 107406
如何引用文章
全文:
详细
Обоснование. У математики и шахмат много родственного. Шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике, теории графов, теории чисел, вычислительной математике, теории игр. Еще одна точка соприкосновения математики и шахмат — математические игры и задачи на шахматной доске. Важное место среди этих задач занимает ряд комбинаторных и вероятностных задач, связанных с расстановкой и движением фигур на шахматной доске. Обзор таких задач представлен в работах [1, 2]. Расстановке n фигур на шахматной доске n × n посвящено наше исследование.
Цель — найти вероятность расстановки n фигур (слон, ферзь, ладья и конь) на доске n × n, так чтобы ни одна не угрожала другой.
Методы. Для нахождения вероятности использовались различные методы. Предварительно были найдены вероятности расстановки для двух одноименных фигур. Для ладей с использованием формулы полной вероятности удалось вывести конечную формулу для n фигур. Для слонов вероятность находилась как отношение количества расстановок n фигур к количеству сочетаний из n2 объектов по n (Cnn2). Для нахождения количества расстановок слонов использовался метод Георга Фридриха Паррота [1] с поворотом доски на 45° и разбиением ее на две части. При этом был реализован алгоритм на языке программирования C++, который просчитывал все удовлетворяющие условию задачи расстановки и находил соответствующую вероятность. Для ферзей был реализован аналогичный алгоритм. Для коней алгоритм решения задачи в общем виде до настоящего времени не найден. Поэтому расчет вероятности был проведен отдельно для каждого значения n от 2 до 8.
Результаты. Были получены результаты для некоторых значений n: от 2 до 8. Можно увидеть, что с увеличением размерности доски и соответственно увеличением количества фигур на ней вероятность для всех фигур (слон, ладья, конь и ферзь) уменьшается. Результаты приведены в таблице.
Таблица. Вероятность того, что n фигур на доске n × n не будут бить друг друга
Фигура | Количество фигур n на доске n × n | ||||||
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
Ферзь | 0,00 | 0,000 | 0,0010 | 0,00018 | 2 × 10–6 | 4 × 10–7 | 2 × 10–8 |
Ладья | 0,33 | 0,071 | 0,0131 | 0,00225 | 369 × 10–6 | 586 × 10–7 | 9102 × 10–8 |
Слон | 0,66 | 0,309 | 0,1428 | 0,06339 | 27592 × 10–6 | 119011 × 10–7 | 5088592 × 10–8 |
Конь | 1,00 | 0,428 | 0,2263 | 0,17666 | 132107 × 10–6 | 1035133 × 10–7 | 85848282 × 10–8 |
Выводы. Полученные значения вероятности пропорциональны силе фигур. По выведенным показателям вероятности можно также определять силу фигур на доске, а именно: чем ниже вероятность, тем сильнее фигура.
全文:
Обоснование. У математики и шахмат много родственного. Шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике, теории графов, теории чисел, вычислительной математике, теории игр. Еще одна точка соприкосновения математики и шахмат — математические игры и задачи на шахматной доске. Важное место среди этих задач занимает ряд комбинаторных и вероятностных задач, связанных с расстановкой и движением фигур на шахматной доске. Обзор таких задач представлен в работах [1, 2]. Расстановке n фигур на шахматной доске n × n посвящено наше исследование.
Цель — найти вероятность расстановки n фигур (слон, ферзь, ладья и конь) на доске n × n, так чтобы ни одна не угрожала другой.
Методы. Для нахождения вероятности использовались различные методы. Предварительно были найдены вероятности расстановки для двух одноименных фигур. Для ладей с использованием формулы полной вероятности удалось вывести конечную формулу для n фигур. Для слонов вероятность находилась как отношение количества расстановок n фигур к количеству сочетаний из n2 объектов по n (Cnn2). Для нахождения количества расстановок слонов использовался метод Георга Фридриха Паррота [1] с поворотом доски на 45° и разбиением ее на две части. При этом был реализован алгоритм на языке программирования C++, который просчитывал все удовлетворяющие условию задачи расстановки и находил соответствующую вероятность. Для ферзей был реализован аналогичный алгоритм. Для коней алгоритм решения задачи в общем виде до настоящего времени не найден. Поэтому расчет вероятности был проведен отдельно для каждого значения n от 2 до 8.
Результаты. Были получены результаты для некоторых значений n: от 2 до 8. Можно увидеть, что с увеличением размерности доски и соответственно увеличением количества фигур на ней вероятность для всех фигур (слон, ладья, конь и ферзь) уменьшается. Результаты приведены в таблице.
Таблица. Вероятность того, что n фигур на доске n × n не будут бить друг друга
Фигура | Количество фигур n на доске n × n | ||||||
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
Ферзь | 0,00 | 0,000 | 0,0010 | 0,00018 | 2 × 10–6 | 4 × 10–7 | 2 × 10–8 |
Ладья | 0,33 | 0,071 | 0,0131 | 0,00225 | 369 × 10–6 | 586 × 10–7 | 9102 × 10–8 |
Слон | 0,66 | 0,309 | 0,1428 | 0,06339 | 27592 × 10–6 | 119011 × 10–7 | 5088592 × 10–8 |
Конь | 1,00 | 0,428 | 0,2263 | 0,17666 | 132107 × 10–6 | 1035133 × 10–7 | 85848282 × 10–8 |
Выводы. Полученные значения вероятности пропорциональны силе фигур. По выведенным показателям вероятности можно также определять силу фигур на доске, а именно: чем ниже вероятность, тем сильнее фигура.
作者简介
Самарский государственный технический университет
Email: anton_zhelyabin@mail.ru
студент, группа 2-ИАИТ-10, институт автоматики и информационных технологий
俄罗斯联邦, СамараСамарский государственный технический университет
编辑信件的主要联系方式.
Email: ponick25@gmail.com
научный руководитель, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и информатики
俄罗斯联邦, Самара参考
- Гик Е.Я. Математика на шахматной доске. Москва: Наука, 1976. 178 с.
- Яглом А.М., Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. Москва: Книга по Требованию, 2013. 543 с.
- Окунев Л.Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. Москва: Объединенное научно-техничическое издательство НКТП СССР, 1935. 88 с.
补充文件
