Связанная нестационарная задача термоупругости для длинного анизотропного цилиндра

Texto integral

Обоснование. Большинство строительных конструкций испытывает нестационарный неравномерный нагрев, что приводит к образованию больших деформаций и механических напряжений. Для их определения используются различные теории термоупругости, в которых формулируется несамосопряженная система исходных дифференциальных уравнений в частных производных относительно компонент вектора перемещений и функции приращения температуры [1–3]. Сложность ее исследования приводит к тому, что рассматриваемые задачи решаются приближенными численными или вариационными методами. Однако слабую связанность упругих и температурных полей удается учесть в расчетах только с помощью аналитических методов, позволяющих построить замкнутое решение [4, 5]. Один из таких математических подходов — метод неполного разделения переменных в виде конечных интегральных преобразований. При этом в случае исследования несамосопряженных дифференциальных уравнений получить общий интеграл удается при использовании специального разложения в виде обобщенного биортогонального преобразования [6].

Цели — построение нового замкнутого решения связанной нестационарной задачи термоупругости для длинного полого цилиндра в случае действия на его внешней цилиндрической поверхности нестационарной нагрузки в виде функции изменения температуры и заданном законе конвекционного теплообмена на внутренней цилиндрической поверхности (граничные условия теплопроводности 1-го и 3-го рода).

Методы. В общем случае система дифференциальных уравнений термоупругости и краевые условия рассматриваемой задачи в безразмерной форме имеют вид:

$\left(\frac{{\partial }^{2}U}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\bullet \frac{\partial U}{\partial r}-\frac{U}{r^2}\right)-\left(\frac{\partial \theta }{\partial r}+\frac{\theta }{r}\right)+a_1\frac{\theta }{r}=0;$ (1)

$\left(\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}\right)\frac{\partial \theta }{\partial r}-\left(\frac{\partial }{\partial t}+\beta \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\right)\left[\theta +a_2\left(\frac{\partial U}{\partial r}+\frac{U}{r}\right)\right]=0.$ (2)

$r=R,1; {\sigma }_{rr}=\frac{\partial U}{\partial r}+a_3\frac{U}{r}-\theta =0;$ (3)

$\frac{\partial \theta }{\partial r}+a_4\theta =a_{4}P; \theta \left(1,t\right)=\omega \left(t\right);$

$t=0; U=\theta =0; \frac{\partial U}{\partial t}=0; \frac{\partial \theta }{\partial t}=0.$

где $\left\{U, r, R\right\}=\left\{U^{*}, r_{*}, a\right\}/b; \left\{\theta , \omega , P\right\}=\frac{{\gamma }_{33}}{{С}_{33}}\left\{{\theta }^{*}, {\omega }^{*}, P^{*}\right\};$

$\alpha$ — коэффициент теплоотдачи.

В равенствах (1)–(3) $U^{*}\left(r_{*},t_{*}\right)$ — радиальная составляющая вектора перемещений в размерной форме; ${\theta }^{*}\left(r_{*},t_{*}\right)=T\left(r_{*},t_{*}\right)-T_0\left(r_{*},t_{*}\right)$; θ*, T, T₀ — соответственно приращение температуры, текущая температура, а также температура первоначального состояния тела, при котором отсутствуют механические напряжения; $C_{ms}$ — модули упругости анизотропного материала $(m, s = \overline{1, 3})$; γ₁₁ и γ₃₃ — компоненты тензора температурных напряжений (γ₁₁ = С₁₃ · α_t , γ₃₃ = С₃₃ · α_t); Λ, k, α_t — коэффициенты теплопроводности, объемной теплоемкости и линейного температурного расширения материала; β_rel — время релаксации; a, b — внутренний и внешний радиусы цилиндра в размерной форме.

Результаты. Решение задачи осуществляется с помощью обобщенного метода биортогонального конечного интегрального преобразования, основанного на многокомпонентном соотношении собственных вектор-функций двух однородных краевых задач. Окончательные выражения функций перемещений и температуры имеет вид:

$U\left(r,t\right)=H_1\left(r,t\right)+\sum _{i=1}^{\infty }\frac{G\left({\lambda }_i,t\right)N_1\left({\lambda }_i,r\right)}{{||K_i||}^2}, \theta \left(r,t\right)=H_2\left(r,t\right)+\sum _{i=1}^{\infty }\frac{G\left({\lambda }_i,t\right)N_2\left({\lambda }_i,r\right)}{{||K_i||}^2},$

${||K_i||}^2=\underset{R}{\overset{1}{\int }}{K({\lambda }_i,r)}^{2}rdz$.

Здесь H₁, H₂ — стандартизирующие функции; $G\left({\lambda }_i,t\right)$ —трансформанта нагрузки; K1i, $K_{1i}, K_{2i}, N_{1i}, N_{2i}$ — компоненты ядер преобразований; λ_i , μ_i — собственные значения.

Выводы. Разработанный алгоритм расчета может быть использован при проектировании конструкций различного функционального назначения. Он позволяет уточнить напряженно-деформированное состояние, что актуально при определении прочностных характеристик упругих систем. Кроме того, разработанный алгоритм расчета может использоваться в качестве тестовой разработки при решении задач термоупругости приближенными методами.

Sobre autores

Самарский государственный технический университет

Email: a.v.stepashkin99@gmail.com

студент, группа 114М, факультет промышленного и гражданского строительства

Rússia, Самара

Самарский государственный технический университет

Email: sitnova.lesya@yandex.ru

студентка, группа 114М, факультет промышленного и гражданского строительства

Rússia, Самара

Самарский государственный технический университет

Email: ipanmihale@gmail.com

студент, группа 114М, факультет промышленного и гражданского строительства

Rússia, Самара

Самарский государственный технический университет

Email: asoskova.99@mail.ru

студентка, группа 114М, факультет промышленного и гражданского строительства

Rússia, Самара

Самарский государственный технический университет

Autor responsável pela correspondência
Email: d-612-mit2009@yandex.ru

научный руководитель, доктор технических наук, профессор, доцент кафедры строительной механики, инженерной геологии, оснований и фундаментов

Rússia, Самара

Bibliografia

Arquivos suplementares